1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.方程x36x29x100的实根个数是()A.3 B.2 C.1 D.0解析设f(x)x36x29x10,f(x)3x212x93(x1)(x3),由此可知函数的极大值为f(1)60,极小值为f(3)100,所以方程x36x29x100的实根个数为1.答案C2.若存在正数x使2x(xa)1成立,则实数a的取值范围是()A.(,) B.(2,)C.(0,) D.(1,)解析2x(xa)1,ax.令f(x)x,f(x)12xln 20.f(x)在(0,)上单调递增,f(x)f(0)011,实数a的取值范围为(1,).答案D3.(2017山东省实验中学诊
2、断)若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)xf(x)0,则()A.3f(1)f(3)C.3f(1)f(3) D.f(1)f(3)解析由于f(x)xf(x),则0恒成立,因此在R上是单调递减函数,f(3).答案B4.(2017德阳模拟)方程f(x)f(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”,如果函数g(x)ln x的“新驻点”为a,那么a满足()A.a1 B.0a1C.2a3 D.1a2解析g(x),ln x.设h(x)ln x,则h(x)在(0,)上为增函数.又h(1)10,h(x)在(1,2)上有零点,1a2.答案D5.(2017贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1,4,部分对应值
3、如下表:x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示.当1a2时,函数yf(x)a的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析根据导函数图象,知2是函数的极小值点,函数yf(x)的大致图象如图所示.由于f(0)f(3)2,1a2,所以yf(x)a的零点个数为4.答案D二、填空题6.已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点,则c_.解析设f(x)x33xc,对f(x)求导可得,f(x)3x23,令f(x)0,可得x1,易知f(x)在(,1),(1,)上单调递增,在(1,1)上单调递减,若f(1)13c0,可得c2;若f(1)13c0,可得c2.答案2或27
4、.若函数f(x)axln x在上单调递增,则实数a的取值范围为_.解析由已知得f(x)a0对x恒成立,a对x恒成立,2,a2.答案2,)8.(2017安徽江南名校联考)已知x(0,2),若关于x的不等式0.即kx22x对任意x(0,2)恒成立,从而k0,因此由原不等式,得k0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)在(0,1)上单调递减,所以k1时,令g(x)0解得xea11.当0xea11时,g(x)ea11时,g(x)0,g(x)在(0,ea11)上递减,在(ea11,)上递增,g(ea11)1时,不是对所有的x0,都有f(x)ax成立.综上,由(1
5、)(2)可知,实数a的取值范围是(,1.10.(2017武汉调研)已知函数f(x)ln x(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:不等式(x1)ln x2(x1)对x(1,2)恒成立.(1)解定义域为(0,),f(x).a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上为增函数;a0时,f(x)在(a,)上为增函数,在(0,a) 上为减函数.(2)证明法一x(1,2),x10,要证原不等式成立,即证ln x对x(1,2)恒成立,令g(x)ln x,g(x)0,g(x)在(0,)上为增函数,当x(1,2)时,g(x)g(1)ln 10,ln x对x(1,2)恒成立,(x1)ln x2(x1)
6、对x(1,2)恒成立.法二令F(x)(x1)ln x2(x1),F(x)ln x2,ln x.令(x)ln x,由(1)知a1时,(x)在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数.x(1,2),则(x)在(1,2)为增函数,(x)(1)0,即x(1,2),F(x)0,F(x)在(1,2)上为增函数,F(x)F(1)0,(x1)ln x2(x1)对x(1,2)恒成立.能力提升题组(建议用时:25分钟)11.函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数个解析函数定义域为(0,),且f(x)6x2,由于x0,g(x)6x22x1中200恒成立,故f(x)0恒成
7、立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.答案A12.(2014全国卷)已知函数f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则实数a的取值范围是()A.(2,) B.(,2)C.(1,) D.(,1)解析法一由题意a0,由f(x)3ax26x0得x0或x.当a0时,f(x)在(,0)和上单调递增,在上单调递减.且f(0)10,故f(x)有小于0的零点,不符合题意,排除A,C.当a0且唯一,只需f0,即a24,a2,故选B.法二f(x)有唯一正零点x0,等价于方程ax33x210有唯一正根x0,即a有唯一正根x0.令g(x),g(x),g(x)在(,1)上递减,(1,0)上
8、递增,(0,1)上递增,(1,)上递减.又g(1)2,g(1)2,且当x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)的大致图象如图:直线ya与yg(x)有唯一交点,且横坐标x00,只需ag(1)2.答案B13.(2017西安模拟)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x),满足f(x)f(x),且f(0)2,则不等式f(x)2ex的解集为()A.(,0) B.(,2)C.(0,) D.(2,)解析设g(x),则g(x),f(x)f(x),g(x)0,g(x)在R上为减函数,f(0)2,g(0)f(0)2,f(x)2ex,2,即g(x)0,不等式的解集为(0,).答案C14.(2017广州调研)
9、已知函数f(x)exmx,其中m为常数.(1)若对任意xR有f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)当m1时,判断f(x)在0,2m上零点的个数,并说明理由.解(1)依题意,可知f(x)exm1,令f(x)0,得xm.故当x(,m)时,exm1,f(x)1,f(x)0,f(x)单调递增.故当xm时,f(m)为极小值也是最小值.令f(m)1m0,得m1,即对任意xR ,f(x)0恒成立时,m的取值范围是(,1.(2)f(x)在0,2m上有两个零点,理由如下:当m1时,f(m)1m0,f(0)f(m)1时,g(m)em20,g(m)在(1,)上单调递增.g(m)g(1)e20,即f(2m)0.f(m)f(2m)0,f(x)在(m,2m)上有一个零点.故f(x)在0,2m上有两个零点.