1、江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.的内角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据正弦定理即可求出详解】，由正弦定理可得，则，故选C【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.2.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽
2、样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（ ）A. 900B. 1200C. 1500D. 1800【答案】B【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知，高三年级抽取了：人，高三年级抽取的人数占总抽取人数的比例数为：所以该校学生总人数为：人故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.3.某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是A. 至少有一次中靶B. 只有一次中靶C. 两次都中靶D. 两次都不中靶【答
3、案】C【解析】【分析】至多有一次的反面是至少有两次.【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.4.已知两个变量x、y之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下：经计算得回归方程的系数，则（ ）A. 0.45B. -0.45C. -0.35D. 0.35【答案】D【解析】【分析】利用平均数求出样本的中心点坐标，将其代入回归直线方程即可.【详解】由题意，所以，样本中心点坐标，因回归直线方程为，样本中心点在回归直线上，所以，即.故选：D.【点睛】本题考查线性回归
4、方程系数的求法，在线性回归分析中，样本中心点在回归直线上，属于基础题.5.直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）A. B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行得到，排除重合的情况得到，再利用平行直线距离得到答案.【详解】直线与直线平行，则，解得或，当时，两直线均为，两直线重合，舍去；当时，直线和，即的距离为.故选：C.【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，平行直线距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新
5、求得样本的平均数为，方差为，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则， ，故选A【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题7.P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点到圆的距离最小，
6、求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.【详解】解：圆，圆心，半径.由题意可知，点到圆的切线长最小时，直线. 圆心到直线的距离，切线长的最小值为：.故选：C.【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.8.在中，分别是角的对边，若，则的最小值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得,代入到中,再利用均值定理求解即可【详解】由正弦定理可得,所以,由于,当且仅当时等号成立,所以,故的最小值等于,故选:C【点睛】本题考查利用正弦定理化角为边,考查余
7、弦定理应用,考查利用均值定理求最值二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选错或漏选不得分）9.下列说法正确的是（ ）A. 直线必过定点B. 直线在轴上的截距为C. 直线的倾斜角为60D. 过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；设过点且垂直于直线的直线的斜
8、率为因为直线的斜率为，所以，解得则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.10.在ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ,则【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理和同角关系对每一个选项分析判断得解.【详解】A. 若，则所以，所以该选项是正确的；B. 若，则，所以该选项是正确的；C. 若，设,所以该选项错误.D. ,则所以,故该选项正确.故选A,B,D.【点睛】本题主要考查正弦定理，考查同角三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
9、，属于基础题.11.以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A. 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是B. 从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为C. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】【分析】结合选项，利用树状图和列举法，求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，逐项求解，即可求解.【详解】对于A中， 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有种情形，结合
10、树状图，可得玩一局甲不输的情况，共有种情形，所以玩一局甲不输的概率是，所以A不正确；对于B中，设1名男生为，两名女生分别为，则从这3人中选取2人包含：，共3种选法，其中选中一男一女同学包含：，所以选中一男一女同学的概率为，所以B正确；对于C中，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，其中点数和为6的有：，共有5种，所以点数之和是6的概率是，所以C正确；对于D中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是，所以D是正确的.故选：BCD。【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用树状图和列举法求得基本事件的总数是解答的关
11、键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，以及计算能力.12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，点满足设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )A. 的方程为B. 在上存在点，使得到点的距离为C. 在上存在点，使得D. 在上存在点，使得【答案】BD【解析】【分析】通过设出点P的坐标，利用，即可求出曲线的轨迹方程，然后假设曲线上一点坐标，根据BCD选项逐一列出所满足条件，然后与的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点，由，
12、得，化简得，即，故A选项错误；对于B选项，设，由到点的距离为，得，又，联立方程可知有解，故B选项正确； 对于C选项，设，由，得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力和计算能力，属中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品若生产中出现二级品的概率0.02，出现三级品的概率为0.01，则出现正品的概率为_【答案】0.97【解析】【分析】直接利用概率和为1计算得到答案.【详解】出现正品的概率为.故答案为：0.97
13、.【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.14.已知为正实数且，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】所求的式子中“1”用 代入，用基本不等式，即可求解.【详解】解：，因为 ，则，当且仅当，即时等号成立，此时最小值为.故答案为:9.【点睛】本题考查基本不等式求最值.合理运用条件等式是解题的关键，属于基础题.15.在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】设出圆心和半径，根据点在圆上且直线与圆相切列方程组，解方程组求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.【详解】根据题意，圆心在直线上，则设圆心为，半径为，又由圆过点且与直线相切，
14、则有，解可得：，则圆的方程为.故答案：【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心以及半径，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(xm)2(y2)240内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是_【答案】(3，17,9)【解析】由圆的方程知，圆心C(m,2)，半径r2，所以SABCr2sinACB20sinACB，所以当ACB时，SABC取得最大值20，此时ABC为等腰直角三角形，|AB|r4，则点C到直线AB的距离为2，所以2|PC|2，即2 2，解得3m1或7m9.点睛：与圆有关的最值问题主要表现
15、在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知直线l：x2y20.（1）求直线l1：yx2关于直线l对称的直线l2的方程；（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程【答案】（1）7xy140；（2）x2y40.【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点P(2,0)，再求出，即得直线l2的方程；（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x2ym0，求出m的值即得解.【详解】（1）由解得交点P(2,0)在l1上取点M(0，2)，M关于l
16、的对称点设为N(a，b)，则,解得，所以，又直线l2过点P(2,0)，所以直线l2的方程为7xy140.（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x2ym0.在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，所以,所以m4，即所求的直线方程为x2y40.【点睛】本题主要考查点和直线的对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.在中，角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角得到，再由三角形内角和定理和诱导
17、公式有，代入上式化简得到 求解.（2）根据，利用余弦定理求得，然后代入公式求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，由三角形内角和定理和诱导公式可得，代入上式可得，所以 因为，所以，即由于，所以（2）因为，所以由余弦定理，得，解得或（舍）. 所以.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：其中成等差数列且物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不
18、低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率【答案】（1）117.8分；（2）【解析】【分析】（1）计算，再利用平均值公式计算得到答案.（2）计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1），解得， 故数学成绩的平均分： .（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.设两科均为“优
19、”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，符合题意的情况有：，故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.（1）已知，求最大值及取最大值时的值；（2）若对一切，均有成立，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由基本不等式可得即可求出最大值及此时的值；（2）不等式转化为对恒成立,参变分离得对恒成立，通过设对其进行整理变形为，结合基本不等式，即可求出最值，从而可确定实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立所以当时，取最大值是 （2）不等
20、式可等价转化为对恒成立，即对恒成立，设，则 ，因为，所以，所以，当且仅当等号成立，所以.所以，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了不等式恒成立问题.对于第二问，关键是参变分离后，对函数进行变形，这个也是本题的难点.若 恒成立，即说明小于等于函数的最小值；若 恒成立，即说明大于等于函数的最大值.21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；
21、若不是，说明理由【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值【详解】直线x3y10=0与圆O：x2+y2=r2（r0）相切，圆心O到直线x3y10=0的距离为r=（1）记圆心到直线l的距离为d，d=当直线l与
22、x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），即kxy+（12k）=0，解得k=，此时直线l的方程为3x+4y10=0综上，直线l的方程为x=2或3x+4y10=0；（2）点M、N的纵坐标之积为定值10设P（x1，y1），直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），直线PA、PB的方程分别为y3=，y3=令x=0，得M（0，），N（0，），则（*）点P（x1，y1）在圆C上，即，代入（*）式，得为定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，
23、从而得到定值22.“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：），游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑，伦敦眼与建筑之间的距离为12（单位：），游客在乘坐舱看建筑的视角为. （1）当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，视角，求建筑的高度；（2）当游客在乘坐舱看建筑的视角为时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为）【答案】（1）（单位：）；（2）（单位：）.【解析】【分析】（1）先求解三角形的内角，利用正弦定理可求建筑的高度；（2）先建立坐标系，求解的外接圆的方程，结合两圆的位置关系可求.【详解】（1）当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，此时，即，所以.在等腰三角形中，.由正弦定理得，所以.所以建筑的高度为（单位：）.（2）设建筑的高度为（单位：），建立如图所示的直角坐标系，圆，由正弦定理可知，所以，即的外接圆的半径为.由图可知的外接圆的圆心坐标为，所以点在圆上，而点又在圆上，所以，解得.答：建筑的最低高度为（单位：）时，可以拍摄到效果最好的照片.【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用，综合考查了圆与圆的位置关系，求解的关键是明确点满足的不等关系，侧重考查数学建模的核心素养.