1、第1页专项检测十七 导数的简单应用第2页一、选择题1曲线yex2x在点(0,1)处的切线方程为()Ayx1 Byx1Cy3x1 Dyx1C解析：求导函数yex2，当x0时，ye023，所以曲线yex2x在点(0,1)处的切线方程为y3x1.第3页2设函数f(x)x312xb，则下列结论正确的是()A函数f(x)在(，1)上单调递增B函数f(x)在(，1)上单调递减C若b6，则函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y10D若b0，则函数f(x)的图象与直线y10只有一个公共点C第4页解析：对于选项A，B，根据函数f(x)x312xb，可得f(x)3x212，令3x2120，得x2或x
2、2，故函数f(x)在(，2)，(2，)上单调递增，在(2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b6时，f(2)0，f(2)10，故函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y10，选项C正确；对于选项D，当b0时，f(x)的极大值为f(2)16，极小值为f(2)16，故直线y10与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D错误故选C.第5页3设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点D解析：由题意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，则f(x)
3、在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.第6页4函数f(x)12x2lnx的最小值为()A.12B1C0 D不存在A解析：f(x)x1xx21x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0 x1.f(x)在x1处取得最小值，且f(1)12ln112.第7页5已知函数f(x)xsinxcosxx2，则不等式f(lnx)f(ln1x)2f(1)的解集为()A(e，)B(0，e)C(0，1e)(1，e)D(1e，e)D第8页解析：f(x)xsinxcosxx2，因为f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(ln1x)f(lnx)f(lnx)，所以
4、f(lnx)f(ln1x)2f(1)可变形为f(lnx)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以f(lnx)f(1)等价于1lnx1，所以1ex0)在x1和x2处取得极值，且极大值为52，则函数f(x)在区间(0,4上的最大值为()A0 B52C2ln24 D4ln24D第10页解析：f(x)2axb cx 2ax2bxcx(x0，a0)因为函数f(x)在x1和x2处取得极值，所以f(1)2abc0，f(2)4ab c2 0.又a0，所以当0 x2时，f(x)0，f(x)是增函数；当1x2时，f(x)0，hxx0时，f(x)exx1，f(x)exx1x2，当x(0,1)
5、时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增x1时，f(x)取到极小值e1，即f(x)的最小值e1.又f(x)为奇函数，且x0时，f(x)h(x)，h(x)的最大值为(e1)1e.第15页10设函数f(x)lnx 12 ax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是(1，)解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xaxb，由f(1)0，得b1a.f(x)1xaxa1ax21axxxax1x1x.第16页若a0，当0 x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a1，且f(x)ex1x1.令h(x)ex1x1，则h
6、(x)ex1x120，函数h(x)ex1x1 在(1，)上单调递增，且h(0)f(0)0.可知，当x(1,0)时，h(x)f(x)0，f(x)exln(x1)单调递增函数f(x)的单调递减区间是(1,0)，单调递增区间是(0，)第22页(2)g(x)f(x)axexln(x1)ax，g(x)f(x)a.由(1)知，g(x)在(1，)上单调递增，当x1时，g(x)；当x时，g(x)，则g(x)0有唯一解，记为x0.可知，当x(1，x0)时，g(x)0，g(x)exln(x1)ax单调递增第23页函数g(x)在xx0处取得极小值，即g(x0)ex0ln(x01)ax0，且x0满足e x01x01a
7、.g(x0)(1x0)e x0ln(x01)11x01.令(x)(1x)exln(x1)1 1x1，则(x)xex1x12可知，当x(1,0)时，(x)0，(x)单调递增；当x(0，)时，(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)单调递增第29页因为f(e)1e1e1 0，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.又0 1x1 1，f(1x1)lnx1 x11x11 f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点1x1.综上，f(x)有且仅有两个零点第30页(2)因为1x0elnx0，故点 B(lnx0，1x0)在曲线 yex上由题设知 f(x0)0，即 lnx0 x01x01，连接 AB，则直线 AB的斜率 k1x0lnx0lnx0 x01x0 x01x01x01x01x01x0.第31页曲线yex在点B(lnx0，1x0)处切线的斜率是 1x0，曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是 1x0，所以曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线yex的切线