1、课时跟踪检测(五十九)最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标1(2015贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求的最小值解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由题意得c，2a4，a2，b2a2c21，椭圆C的标准方程为x21.右顶点F的坐标为(1,0)设抛物线E的标准方程为y22px(p0)，1,2p4，抛物线E的标准方程为y24x.(2)设
2、l1的方程：yk(x1)，l2的方程：y(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)由消去y得：k2x2(2k24)xk20，4k416k2164k40，x1x22，x1x21.同理x3x44k22，x3x41，()()|x11|x21|x31|x41|(x1x2x1x21)(x3x4x3x41)84k28216，当且仅当4k2，即k1时，有最小值16.2(2015福建高考)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与
3、直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2
4、.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r .又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切3如图所示，已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q是直线x4上任意一点，求证：直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列解：(1)设直线l的方程为xky4，代入y22px得y22kpy8
5、p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y22kp，y1y28p，而0，故0x1x2y1y2(ky14)(ky24)8pk2y1y24k(y1y2)168p，即08k2p8k2p168p，得p2，所以抛物线方程为y24x.(2)设Q(4，t)由(1)知y1y24k，y1y216，所以yy(y1y2)22y1y216k232.因为kQA，kQB，kQM，所以kQAkQB442kQM.所以直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列4已知F1，F2分别为椭圆C1：1的上、下焦点，F1是抛物线C2：x24y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|.(1)求椭圆C1的方程；(2)
6、与圆x2(y1)21相切的直线l：yk(xt)，kt0交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数的取值范围解：(1)由题知F1(0,1)，所以a2b21，又由抛物线定义可知MF1ym1，得ym，于是易知M，从而MF2 ，由椭圆定义知2aMF1MF24，得a2，故b23，从而椭圆C1的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由知，x1x2x0，y1y2y0，且1，又直线l：yk(xt)，kt0与圆x2(y1)21相切，所以有1，由k0，可得k(t1，t0)，又联立消去y，得(43k2)x26k2tx3k2t2120，且0恒成立，x1x2，x1x2，所以y
7、1y2k(x1x2)2kt，所以得P.代入式得1，所以2.又将式代入得，2，t0，t1.易知211且213，所以2，所以的取值范围为.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2016赣江模拟)如图所示，设F(c,0)是椭圆1(ab0)的左焦点，直线l：x与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B.证明：AFMBFN；求ABF面积的最大值解：(1)|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，e.c2，b2a2c212.椭圆的标准方程为1.(2)证明：当AB的斜率为0时，显然AFMBFN0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的方程为xmy8，代入椭圆方程整理得(3m24)y248my1440.576(m24)0，得m24，yAyB，yAyB.则kAFkBF，而2myAyB6(yAyB)2m60，kAFkBF0，AFMBFN.综上可知，AFMBFN.SABFSBFPSAFP|PF|yByA|，即SABF3，当且仅当3，即m时(此时适合于0的条件)取到等号ABF面积的最大值是3.
