1、宁县二中2020-2021学年度第一学期中期测试题高二 数学注意事项：1开始答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填、涂清楚.2将试题答案填在相应的答题卡内，在试卷上作答无效.3考试时间120分钟，试卷总分150分.第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再求【详解】解：由，得，所以，因为，所以，故选：D2. 的内角，的对边分别为，.若，则的值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理建立方程可得选项.【详解】由正弦定理得，解得，故选：B.【点睛】本题考查运用正弦
2、定理解三角形，属于基础题.3. 已知中内角、的对边分别是、，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，直接利用余弦定理求解即可【详解】因为中，所以由余弦定理得所以，故选：C.4. 数列，的通项公式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式.【详解】因为数列可写成，所以其通项公式为.故选：D.5. 在等差数列中，若则等于 （ ）A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】C【解析】试题分析：由得，得，选C考点：等差数列通项公式6. 在中，角，的对边分别为，若，的面积等于，则的大小为（ ）A. B. C. 4D.
3、 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式求，再应用余弦定理求即可；【详解】，的面积等于，解得，由余弦定理可得，故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角形面积公式解三角形，根据余弦定理的边角关系求边；7. 中，角，的对边分别为，若，则的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到之间的关系，从而确定出三角形的形状.【详解】因为，所以，所以，所以，所以三角形是等腰三角形，故选：B.【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用，通过
4、三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状.8. 若，那么下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据不等式的性质分别对四个选项分析可得解.【详解】对于A，由，得，所以，故A项错误；对于B，由两边同时乘以，得，故B项正确；对于C，由，得，故C项错误；对于D，由，得，故D项错误故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.9. 在等差数列中，若，则（ ）A. 30B. 35C. 40D. 45【答案】C【解析】【分析】利用等差数列性质，若，则及等差中项公式可求.【详解】因为 ，由等差中项公式，得，同理，得，故选：C【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公
5、式.（1）如果为等差数列，若，则 （2）为等差数列，则有.10. 各项为正数的等比数列，则（ ）A. 15B. 10C. 5D. 3【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果.【详解】因为，则.故选：A.11. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.考点：函数的定义域.12. 若，使得成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出的
6、最大值，即可.【详解】可得，当且仅当，即时等号成立，若，使得成立，则，.故选：C.【点睛】本题考查不等式的能成立问题，求最值即可解决，属于基础题.13. 在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（ ）A. 9B. 8或9C. 10或11D. 9或10【答案】D【解析】【分析】首先求出首项和公比，解不等式组，代入通项公式求解出即可【详解】（法一）等比数列，其前项积为，且.，.故.，所以前项积有.又因为，所以为前项积的最大值.（法二），.当时，有最大值，解得.时，有最大值.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列前项积的最大值.其实质是求等差数列前项和的最值的变型.第
7、一步：求出等比数列首项，公比.第二步：解不等式组.满足不等式组的的值，即为使前项积取最大值时的项数.第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）14. 在中，已知，的外接圆半径为1，则_.【答案】【解析】【分析】运用正弦定理，结合三角形面积公式、特殊角的三角函数值进行求解即可【详解】因为的外接圆半径为1，所以由正弦定理可知；，解得，因为，所以，因此，即，所以三角形的面积为：.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角形面积的求法，考查了数学运算能力.15. 数列的前项和，则该数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】先由求出，再求，进行验证，即可得出结果.【详解】因为，所以
8、，又也满足上式，所以.故答案：16. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】10【解析】【分析】由约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，结合图形，即可得到结论【详解】画出不等式组对应的平面区域如图： 由，得，则表示直线的在轴的截距，由图象可知，当直线过点时，直线的在轴的截距最大，此时最大，由，解得，此时，故答案为：.17. 已知，求的最小值_【答案】【解析】【分析】，然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：18. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据，利用基本不等式得
9、出，即，求解即可得到得出的范围.【详解】因为，所以（当且仅当时等号成立），因为恒成立，所以，解得：.故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.三、解答题（共70分）19. 若不等式的解集是，（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；（2）代入的值，解一元二次不等式可得结果.【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；.（2）则不等式，可化为.所以，所以，所以，故不等式的解集.【点睛】本题考查
10、了一元二次不等式的解法，属于基础题.20. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128【答案】最大的利润是18万元【解析】【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为，吨，利润为元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值【详解】解：设每天生产甲乙两种产品分别为，吨，利润为元，则，目标函数为作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由得，平移直线
11、，由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时最大，解方程组，解得：，即的坐标为，则每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元 【点睛】本题考查了线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解本题的关键，属于基础题21. 已知an是等差数列，其前n项和为Sn，已知a55，S515（1）求数列an的通项公式；（2）设anlog2bn，求数列bn的前n项和Tn【答案】(1) ；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由已知得出方程组，解之得通项；（2）由已知根据对数运算得，根据等比数列的定义可得数列bn的是首项为2,公比为2的等比数列.由
12、等比数列的求和公式可得答案.【详解】解:(1)设等差数列的公差为d，则，解之得，所以数列an的通项公式为；（2），由此可得，数列bn的是首项为2,公比为2的等比数列.因此，可得bn前n项和.【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式等知识点，属于中档题.22. 已知等差数列中，公差大于0，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，先得到，由裂项求和的方法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为（），因为，则，因为是与的等
13、比中项，所以，即，化简得，解得或（舍）所以.（2）由（1）知，所以，所以.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型.23. 在中，角的对边长分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理得，则，从而求出角的大小；（2）由条件可得三角形为直角三角形，求出，从而可求出三角形的面积【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得：，所以，因为，所以. （2）因为，所以，因为，所以所以.24. 设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项（1）求角；（2）设，求周长的最大值【答案】（1）；（2）
14、9【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再结合三角恒等换公式可求出角；（2）由正弦定理得，则，从而可得，而，代入上式化简可得，再利用三角函数的性质可得结果【详解】解：（1）由题得，由正弦定理，即得，所以 （2）由正弦定理，所以，故周长，因为，所以，所以当时，周长的最大值为9【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是由正弦定理表示出，从而可得，再利用三角恒等变换公式可求解，考查转化思想和计算能力25. 设函数. （1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立， 即恒成立，因此 ，设，所以，函数在区间上是单调递减的， ， （2）由对于一切实数恒成立，可得， 由存在，使得成立可得，当且仅当时等号成立，【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.