1、3章末一、选择题1四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相交B垂直C不垂直 D成60角答案B解析0，0，平面ABCD.2在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角为()A60B90C105D75答案B解析如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设高为h，则ABh，可得A，B，B1，C1，这样(0，h，h)，由空间向量的夹角公式即可得到结果3在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在BB1棱上，且BD1.若AD与平面AA1C1C所成角为，则等于()A. B.Carcsin Dar
2、csin答案D解析建立如图所示的直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，0)，D(0，1)OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量为(0，0)，又(，1)，|，|，由向量夹角公式知cos，sinsin(，)cos，.arcsin.4如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60，且AB2，AD1，AA13，M、N分别为BB1、B1C1的中点，则MN与AC所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析如图，本题考查异面直线所成的角易知D1AC即为所求，即为向量与所成的角设a，b，c，则由条件知|a|2，|b|1，|c|3，bc211，ac233，bc
3、13.bc，ab，|21232213，|22212217.，cos，.故选B.二、解答题5如图所示，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点(1)证明：面PAD面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值解析因为PAAD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M.(1)证明：(0,0,1)，(0,1,0)，故0，APDC.又由题设知：AD
4、DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.(2)解：(1,1,0)，(0,2，1)，|，2，cos，.由此得AC与PB所成角的余弦值为.(3)解：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在R，使，(1x,1y，z)，x1，y1，z.要使ANMC，只需0，即xz0，解得.可知当时，N点坐标为，能使0.此时，有0.由0，0，得ANMC，BNMC.ANB为所求二面角的平面角|，|.cos，.故所求的二面角的余弦值为.6已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：(1)AD1平面BDC1；(2)A1C平面BDC1.证明以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1，1)设n(x，y，z)为平面BDC1的法向量，则n，n.所以，所以.令x1，则n(1，1,1)(1)n(1，1,1)(1,0,1)0，知n.又AD1平面BDC1，所以AD1平面BDC1.(2)因为n(1，1,1)，(1,1，1)，知n，即n，所以A1C平面BDC1.
