1、2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线2xy1=0的斜率是2圆x2+y2+2x2y7=0的半径是3椭圆+=1的焦点坐标是4抛物线x2=4y的准线方程为5双曲线的两条渐近线方程为6若圆x2+y2=4 与圆x2+y22mx+m21=0相外切，则实数m=7已知点P为直线x+y4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是8若方程表示椭圆，则k的取值范围是9已知两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是10已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦
2、点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为11已知点P是圆C：x2+y24ax2by5=0（a0，b0）上任意一点，若点P关于直线x+2y1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是12已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1：，则P点轨迹方程是13设集合M=（x，y）|y=x+b，N=（x，y）|y=3，当MN时，则实数b的取值范围是14已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若 =3，且cosAF2B=，则椭圆C的离心率是二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3、）15已知点P为直线l1：2x3y1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（1，5）（）求过点P 且与直线l3：3x+y1=0平行的直线方程；（）求过点P且与直线MN垂直的直线方程16已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程17某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，O
4、C为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标18过点P（4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点（）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；（）若直线l的斜率为，求弦AB的长；（）若一直线与圆O相 切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标19在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在x轴上（）求抛物线C的标准方程；（）求过点F和OA的中点的直线的方程；（）设点P（1，m），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1
5、+k3=2k220在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为（）求点P的轨迹方程；（）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线2xy1=0的斜率是2考点： 直线的斜率专题： 直线与圆分析：
6、化直线方程为斜截式，由斜截式的特点可得解答： 解：直线2xy1=0可化为y=2x1，由直线的斜截式可知直线斜率为：2故答案为：2点评： 本题考查直线的斜率，化直线方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题2圆x2+y2+2x2y7=0的半径是3考点： 圆的一般方程专题： 计算题；直线与圆分析： 把圆的方程化为标准形式，求得半径解答： 解：圆x2+y2+2x2y7=0可化为圆（x+1）2+（y1）2=9，圆x2+y2+2x2y7=0的半径是3，故答案为：3点评： 本题主要考查圆的标准方程，属于基础题3椭圆+=1的焦点坐标是（1，0）和（1，0）考点： 椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程
7、分析： 利用椭圆的简单性质直接求解解答： 解：椭圆+=1，a2=5，b2=4，c=1，椭圆焦点为（1，0）和（1，0）故答案为：（1，0）和（1，0）点评： 本题考查椭圆的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质的合理运用4抛物线x2=4y的准线方程为y=1考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题分析： 由抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=即可求得抛物线x2=4y的准线方程解答： 解：抛物线方程为x2=4y，其准线方程为：y=1故答案为：y=1点评： 本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题5双曲线的两条渐近线方程为考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲
8、线的定义、性质与方程分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答： 解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想6若圆x2+y2=4 与圆x2+y22mx+m21=0相外切，则实数m=3考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 直线与圆分析： 先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值解答： 解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；
9、圆x2+y22mx+m21=0，即（xm）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=3，故答案为：3点评： 本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题7已知点P为直线x+y4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是考点： 点到直线的距离公式专题： 直线与圆分析： 本题可以利用点到直线的距离公式求出原点为到直线的距离，得到本题结论解答： 解：原点O（0，0）到直线x+y4=0的距离为：，直线x+y4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：故答案为：点评： 本题考查了点到直线的距离公式，本题难度不大，
10、属于基础题8（5分）（2010秋东台市期末）若方程表示椭圆，则k的取值范围是（1，5）（5，9）考点： 椭圆的定义专题： 计算题分析： 根据方程表示椭圆得到两个代数式的分母都大于0，且要两个分母不相等，解不等式组，得到k的取值范围解答： 解：方程表示椭圆，9k0，k10，9kk1k（1，5）（5，9）故答案为：（1，5）（5，9）点评： 本题考查椭圆的定义，解题的关键是不要忽略调两个分母不相等的情况，即椭圆不是圆，把构成圆的情况去掉9已知两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y5=0考点： 相交弦所在直线的方程专题： 直线与圆分析： 把两个
11、圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程解答： 解：把两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=10的方程相减可得x+3y5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y5=0点评： 本题主要考查求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，属于基础题10已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求PM+PD的最小值，同时
12、可推断出当D，P，M三点共线时PM+PD最小，答案可得解答： 解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知PF=PD，要求PM+PF的最小值，即求PM+PD的最小值，只有当D，P，M三点共线时PM+PD最小，且最小值为3（1）=4令y=2，可得x=1，当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）故答案为：（1，2）点评： 本题考查了抛物线的定义与标准方程、平面几何中求距离和的最小值等知识，正确运用抛物线的定义是关键11已知点P是圆C：x2+y24ax2by5=0（a0，b0）上任意一点，若点P关于直线x+2y1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是18考点： 圆的一般方程专题： 计算题；不
13、等式的解法及应用；直线与圆分析： 由题意，x2+y24ax2by5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，则直线x+2y1=0过圆心，从而可得a+b=（a0，b0），利用不等式即可解答： 解：x2+y24ax2by5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，故由曲线x2+y24ax2by5=0上的任意一点关于直线x+2y1=0的对称点仍在圆C上可得，直线x+2y1=0过点（2a，b），则2a+2b1=0，即a+b=（a0，b0），则+=2（a+b）（+）=2（5+）2（5+4）=18（当且仅当=时，等号成立）故答案为：18点评： 本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中
14、档题12已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1：，则P点轨迹方程是（x+1）2+y2=3考点： 轨迹方程专题： 计算题；直线与圆分析： 设P（x，y），由已知条件利用两点间距离公式得（x2）2+y2=3（x2+y2），由此能求出P点的轨迹方程解答： 解：设P（x，y），动点P到两点O、A的距离之比为1：，|PA|=|PO|，（x2）2+y2=3（x2+y2），化简得（x+1）2+y2=3，故答案为：（x+1）2+y2=3点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，比较基础13设集合M=（x，y）|y=x+b，N=（x，y）|y=3，当MN时，则实数b的取
15、值范围是12，3考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 由已知得直线y=x+b与圆（x2）2+（y3）2=4有交点，由此能求出实数b的取值范围解答： 解：集合M=（x，y）|y=x+b，N=（x，y）|y=3，MN，直线y=x+b与半圆（x2）2+（y3）2=4（1x3）有交点，半圆（x2）2+（y3）2=4（1x3）表示：圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d=2，解得b=12或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是12，3实数b的取值范围是
16、12，3故答案为：12，3点评： 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用14已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若 =3，且cosAF2B=，则椭圆C的离心率是考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设|F1B|=k（k0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cosAF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率解答： 解：设|F1B|=k（k0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，|AF2|=2a3k，|BF2
17、|=2akcosAF2B=，（4k）2=（2a3k）2+（2ak）2（2a3k）（2ak），化简可得a=3k，|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形，c=a，e=故答案为：点评： 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知点P为直线l1：2x3y1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（1，5）（）求过点P 且与直线l3：3x+y1=0平行的直线方程；（）求过点P
18、且与直线MN垂直的直线方程考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系专题： 直线与圆分析： （）利用两直线平行研究直线的斜率，再根据条件过点P，得到直线的方程；（）利用两直线垂直研究直线的斜率，再根据条件过点P，得到直线的方程，得到本题结论解答： 解：由题意得：（），解得：，P（1，1）所求直线与直线l3：3x+y1=0平行，k=3，所求直线方程为：3x+y+4=0（）直线MN所在直线的斜率为：，所求直线与两点M（1，2），N（1，5）所在直线垂直，k=，则所求直线方程为：2x+7y+9=0点评： 本题考查了两直线平行和两直线垂直，本题难度不大，属于基础题16已
19、知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程考点： 圆锥曲线的综合；椭圆的应用专题： 计算题分析： （）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b最后写出椭圆标准方程（）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可解答： 解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（ab0），其半焦距c=6，b2=a2c2=9所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（6，0
20、）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P（2，5）、F1（0，6）、F2（0，6）设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，b12=c12a12=3620=16所以所求双曲线的标准方程为点评： 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力属于中档题17某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标考点： 直线与圆的位置关系专题：
21、 直线与圆分析： 由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，点C的坐标为（0，250）根据CP与圆O相切求得CP的斜率k的值，再根据两条直线垂直的性质求得OP的斜率，可得OP的方程，再根据CP、OP的方程，求得P点坐标解答： 解：由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0，250）设CP的方程为 y=kx+250，由图可知k0又CP与圆O相切， O到CP距离 =50，解得k=7，CP的方程为 y=7x+250 又OPCP，KOPKCP=1，KOP= 则OP的方程是：y=x 由解得P点坐标为（35，5），引伸道所在的直线方程为7x+y250=0，出口P的
22、坐标是（35，5）点评： 本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题18过点P（4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点（）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；（）若直线l的斜率为，求弦AB的长；（）若一直线与圆O相 切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标考点： 轨迹方程专题： 综合题；直线与圆分析： （）点M所在曲线是以OP为直径的圆，可得AB中点M的轨迹方程；（）求出直线l的方程是：y4=（x+4），可得点O到直线l的距离，即可求弦AB的长；（）求出两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角
23、形面积，利用基本不等式可得该三角形面积最小时，点Q的坐标解答： 解：（）因为点M是AB的中点，所以OMAB，则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为x（x+4）+y（y4）=0，即（x+2）2+（y2）2=8； （4分）（）因为直线l的斜率为，所以直线l的方程是：y4=（x+4），即x+2y4=0，（6分）设点O到直线l的距离为d，则d=，所以AB=2=； （10分）（）设切点Q的坐标为（x0，y0）（x00，y00）则切线斜率为所以切线方程为yy0=（xx0）又x02+y02=4，则x0x+y0y=4 （12分）此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S=（14分）由x02+y02=
24、42x0y0，知当且仅当x0=y0=时，x0y0有最大值即S有最小值因此点Q的坐标为（，） （16分）点评： 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考察基本不等式的运用，属于中档题19在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在x轴上（）求抛物线C的标准方程；（）求过点F和OA的中点的直线的方程；（）设点P（1，m），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k3=2k2考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）由题意可设抛物线的方程为：y2=2px，（p0），由已知得
25、4=2p，由此能求出抛物线C的标准方程（）由（1）知：F（1，0），OA的中点M的坐标为（），由此能求出直线FM的方程（）当直线的斜率不存在时，F（1，0），B（1，2），D（1，2），k1+k3=2k2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x1），设B（x1，y1），D（x2，y2），由已知条件推导出=2k（2k+m），由此能证明k1+k3=2k2解答： （）解：由题意可设抛物线的方程为：y2=2px，（p0），因为抛物线经过点A（1，2），所以4=2p，解得：p=2，则抛物线C的标准方程是：y2=4x（3分）（）解：由（1）知：F（1，0），OA的中点M的坐标为（），则kFM=2，所
26、以直线FM的方程是：2x+y2=0（6分）（）证明：当直 线的斜率不存在时，则F（1，0），B（1，2），D（1，2），所以，则k1+k3=2k2，（8分）当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为y=k（x1），设B（x1，y1），D（x2，y2），则=，同理可得：，所以=2k（2k+m），（12分）由方程组，消去y，并整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，所以x1x2=1，（14分）则k1+k3=2k（2k+m）1=m，又，所以k1+k3=2k2，综上所述：k1+k3=2k2（16分）点评： 本题考查抛物线C的标准方程的求法，考查直线的方程的求法，考查k1+k3=2k2的证明，解题时
27、要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用20在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为（）求点P的轨迹方程；（）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）设P点的坐标为（x，y），由已知得，由此能求出点P的轨迹方程（）（1）由题意知：C（0，2），A（4，0），线段AC的垂直
28、平分线方程为y=2x+3，由此能求出圆M的方程（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r0恒成立，由此能求出存在两条直线y=3和4x+3y9=0与动圆M均相切解答： 解：（）设 P点的坐标为（x，y），则kPA=，x4，kPB=，x4，因为动点P与A、B连线的斜率之积为，所以，化简得：，所以点P的轨迹方程为（x4）（6分）（）（1）由题意知：C（0，2），A（4，0），所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，（8分）设M（a，2a+3）（a0），则M 的方程为（xa）2+（y2a3）2=r2，因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：a=，（10分）所以圆M的方程为（11分）（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，（12分）当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r0恒成立，由|kr3+b|=r，得：（）2r2+（k2）（b3）r+（b3）2=（1+k2）r2，（14分）所以，解得：或，所以存在两条直线y=3和4x+3y9=0与动圆M均相切（16分）点评： 本题考查点P的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，考查当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用
