1、2022 年湖北省孝感市重点高中教科研协作体高二上学期期中考试题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=13i，则z=()A. 12iB. 1+2iC. 12iD. 1+2i2. 已知a0，b0，
2、若A，B，C三点共线，则2a+1b的最小值为()A. 4B. 6C. 8D. 97. 如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱C1D1，D1A1，A1B1的中点，则下列判断中，不正确的是()A. B，D，F，G共面B. F平面ACEC. FG平面ACED. A1C1/平面ACE8. 阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为6，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点.直线y=k与椭圆C交于A，B两点，
3、若PA，PB的斜率之积为49，则椭圆C的短轴长为()A. 2B. 4C. 3D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件A=“第一次为偶数”，B=“第二次为奇数”，C=“两次点数之和为偶数”，则()A. A与B互斥B. P(A)=P(B)C. A与C相互独立D. P(AB)=3410. 圆C:x2+y22x=0和圆D:x2+y2+2x4y=0的交点为A，B，则有()A. 公共弦AB所在直线方程为xy=0B. 过AB上任意一点P作圆M:(x+3)2+(y1)2=1的切线，则切线长的最小值为7C
4、. 公共弦AB的长为22D. 圆N:(x+1)2+(y2)2=1与圆C关于直线xy+1=0对称11. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c.直线l:y=k(x+c)(kR)与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有()A. 若|AF2|+|BF2|=m，则|AB|=4a2mB. 若AB的中点为M，则kOMk=b2a2C. |AB|的最小值为2b2aD. 若AF1AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是55,1212. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点P，Q分别在棱BC，CC1上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的
5、截面记为S，设BP=x，CQ=y，其中x，y0,2，下列命题正确的是()A. 当x=y=1时，S的面积为94B. 当x+y=2，x(12,32)时，s为等腰梯形C. 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83D. 当x=0时，S为矩形，其面积最大值为42第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量m=(x,x+2)，n=(x+2,4)，且n(mn)，则|m|=14. 函数y=xm的图象与函数y=1x2的图象有两个交点，则实数m的取值范围是15. 排球比赛的规则是5局3胜制，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为34，若前2局结束后乙队以
6、2:0领先，则最后乙队获胜的概率是16. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的所有顶点均在体积为43的球O上，则该正方体的棱长为，若动点P在四边形A1B1C1D1内运动，且满足直线CC1与直线AP所成角的正弦值为13，则|OP|的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG=2GE(1)试用OA，OB，OC表示向量OG;(2)若OA=4，OB=6，OC=8，AOC=BOC=60，AOB=90，求OGAB的值18. (本小题12.0分)已知圆C的圆心为
7、(1,0)，直线xy+1=0与圆C相切(1)求圆C的方程;(2)若直线l过点(2,2)，被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程19. (本小题12.0分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50)50，60)，90,100，得到如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数;(2)已知落在50,6
8、0)的平均成绩是56，方差是7，落在60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s220. (本小题12.0分)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，ABC的面积S=22(csinC+bsinBasinA)(1)求A;(2)求ABC周长的取值范围21. (本小题12.0分)如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=22，底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD，ABAD，AD=2AB=2BC=4，O为AD的中点(1)求证：PO平面ABCD;(2)求平面PCD与平面PAD夹角的正弦值;(3)线段AD上是否存在Q，使得它到
9、平面PCD的距离为3?若存在，求出AQQD的值;若不存在，说明理由22. (本小题12.0分)生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点F1射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点F2，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为32，左顶点和上顶点分别为A、B(1)求椭圆C的方程;(2)点P在椭圆上，求线段BP的长度|BP|的最大值及取最大值时点P的坐标;(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，若k(k1+k2)=1.证明：直线l过定点，并求出定点
10、的坐标答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了共轭复数的求法，属于基础题【解答】解：因为z(1+i)=13i，所以z=13i1+i=(13i)(1i)(1+i)(1i)=24i2=12i，所以z=1+2i2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的判定及应用与两条平行直线间的距离，属于基础题。【解答】解：l1:2x+ay1=0与直线l2:(a+1)x+y4=0平行，a(a+1)=22(4)(a+1),解得a=1(舍去)或a=2，故l2：xy+4=0，则两平行线间距离d=8(1)22+22=9243.【答案】D【解析】【分析】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件
11、的概率，注意列举法在本题的应用属于基础题【解答】解：在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有798、769、588、977，所求概率近似为p=420=154.【答案】A【解析】【分析】本题考查了点线距离的向量求法，属于基础题根据直线l一个方向向量为m，取直线1的一个单位方向向量为=m|m|，计算PA，代入点到直线的距离公式d=PA2(AP)2计算即可【解答】解：直线l的一个方向向量为m=(1,0,1)，取直线l一个单位方向向量为=m|m|=22(1,0,1)=(22,0,22)，又A(1,1,1)为直线外一点，且直线l过点P(1,3,1)，PA=(0,4,2)，PA=(0,4,2)(2
12、2,0,22)=2，|AP|=25点A到直线l的距离为d=PA2(AP)2=202=325.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查对给定图形的分析推理，以及点到直线距离公式，转化思想，属中档题由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可【解答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值对A：d=31+sin2，此时d不是固定值，故舍去；对B：d=|3sin|1+cos2，此时d不是固定值，故舍去；对C：d=3cos+sin=3为定值；对D：d=31+cos2，此时d不是固定值，故舍去故选C6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三点共线定理，基本不
13、等式求最值，属于基础题【解答】解：OA=(1,2)，OB=(a,1)，OC=(b,0)，AB=a1,1,AC=b1,2，A，B，C三点共线，且a0，b0，a1b1=12，整理得2a+b=1，2a+1b=2a+1b2a+b=5+2ba+2ab9，当且仅当a=b=13时等号成立7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间直线与平面的位置关系，属于中档题【解答】解：延长正四棱台ABCDA1B1C1D1的侧棱相交于s，则三棱锥SABCD为正四棱锥，连接BD，B，B1，D1，D都在平面SBD内，因为平面A1B1C1D1/平面ABCD，平面A1B1C1D1平面SBD=B1D1平面ABCD平面SBD=BD，
14、所以B1D1/BD，因为G，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，所以FG/B1D1，即FG/BD，所以B，D，F，G共面，故A正确因为E，F分别是棱C1D1，D1A1的中点，所以EF/A1C1，由正棱锥的性质可知AC/A1C1，所以EF/AC，即F平面ACE，故B正确;因为点E，G分别是棱C1D1，A1B1的中点，所以EG/D1B1，EGA1C1，设A1B1C1D1=O，则so平面A1B1C1D1，EG平面A1B1C1D1，SOEG，SOA1C1=O，SO平面SAC，A1C1平面SAC，EG平面SAC，显然平面SAC与平面ACE不平行，故C错误;因为AC/A1C1，AC平面ACE，A1C1平面
15、ACE，所以A1C1/平面ACE，故D正确8.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，属于一般题设直线y=kx，与椭圆c交于左右顶点，即可联立ab的方程，即可求出b的值，即可得到答案【解答】由题意得ab=6，即ab=6，对直线y=kx，令k=0，则直线与椭圆C交于左右顶点，故上顶点P(0,b)，A(a,0)，B(a,0)，即kPBkPA=baba=b2a2=49，联立ab=6b2a2=49a=3b=2故长轴为2b=49.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查古典概型的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的定义，属于基础题【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件A发生的同时事件B也
16、有可能发生，故A错误；对于B，P(A)=36=12，P(B)=36=12，则有P(A)=P(B)，A正确；若AB发生，即第一次和第二次都是奇数，则两次点数之和为偶数，反之若两次点数之和为奇数，则第一次和第二次的点数为一次奇数、一次偶数，故AB与C互斥，B正确；对于C，A发生与C是否发生没有关系，即A与C相互独立，C正确；对于D，A发生与B是否发生没有关系，即A与B相互独立，则PAB=11212=14，D正确10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查求相交圆的公共弦方程，两圆的公共弦长，切线，与对称，属于中档题【解答】解：对于A，两圆方程相减得xy=0，即公共弦方程为xy=0，故A正确，对于B
17、，设P(a,a)，圆M:(x+3)2+(y1)2=1的圆心为Q(3,1)，半径为r2=1，过P的直线与圆M相切与H点，因为PQ=3a2+1a2，所以PH2=PQ2r22=2a2+4a+9=2a+12+77，则切线长的最小值为7，故B正确，对于C，圆O1:x2+y22x=0，圆心O1(1,0)到xy=0的距高为d=|10|12+(1)2=22，半径r=1，所以|AB|=21(22)2=2，故C错误，对于D，圆N:(x+1)2+(y2)2=1，圆心N(1,2)，半径R=1，圆Cx2+y22x=0，圆心O1(1,0)，半径r=1，因为kNO1=1即过NO1的直线与直线xy+1=0垂直，又因为NO1的
18、中点在直线xy+1=0上，所以点N与O1关于xy+1对称，所以圆N:(x+1)2+(y2)2=1与圆C关于直线xy+1=0对称，故D正确11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了求椭圆的离心率(或取值范围)，椭圆的中点弦问题与椭圆的弦长的问题，属于中档题。【解答】解：A:直线l:y=k(x+c)(kR)恒过(c,0)点，即左焦点，由椭圆的定义可知：ABF2的周长为：AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a，|AB|=4am所以：A不正确B:设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以有x12a2+y12b2=1(1)x22a2+y2
19、2b2=1(2)(1)(2)x12x22a2=y12y22b2y12y22x12x22=b2a2设M(x0,y0)，因为AB的中点为M，所以x0=x1+x22，y0=y1+y22，因此kOMk=y0x0y1y2x1x2=y1+y22x1+x22y1y2x1x2=y12y22x12x22=b2a2，所以B正确：C:因为直线l:y=k(x+c)(kR)过定点(c,0)，但是不包括直线x=c，因为只有当x=c时，AB才有最小值，所以C不正确：D:AF1AF2=(cx1,y1)(cx1,y1)=x12+y12c2=3c2x12+y12=4c2，而x12a2+y12b2=1y12=b2(1x12a2)，
20、所以有x12+b2(1x12a2)=4c2x12=a2(4c2b2)c2，显然4c2b204c2a2+c20e55而a2(4c2b2)c2a24c2a2+c2c24c2a2e12，所以55e12，故本选项说法正确12.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查立体几何中的截面问题，棱锥的体积，属于中档题【解答】解：对于A，当x=2，y=2时，PQ为BCC1的中位线，PQ/BC1，BC1/AD1，AD1/PQ，S为等腰梯形APQD1，过P作PEAD1于E，如图，PQ=2，AD1=22，AE=22，AP=5，PE=322，S梯形APQD1=1232322=92，故A不正确;对于B，当x+y=2，x
21、(12,32)时，CP=2x=y=CQ，即CPCB=CQCC1，BC1/AD1，AD1/PQ，S为等腰梯形APQD1，故B正确;对于C，当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥为B1APC1H当y=2时，以B1为定点，S为底面的棱锥为B1APC1H，如图，VB1APC1H=2VPB1C1H=21312222=83，故C正确对于D，当x=0时，点P与点B重合，ABPQ，如图，此时S为矩形，当点Q与点C1重合时，S的面积最大，S=222=42，故D正确;13.【答案】10【解析】【分析】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，属于基础题【解答】解：因为m=(x,x+2)，n=(x+2,4)，所以mn
22、=(2,x2)又因为n(mn)，所以n(mn)=0，解得x=6，m=(6,8)，则|m|=1014.【答案】(2,1【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的判断及求参，属于中档题。【解答】曲线y=1x2转化为：x2+y2=1(y0)表示一个半圆，如图所示直线y=xm和半圆y=1x2相切时，m=2直线y=xm和半圆y=1x2有两个不同的交点如图所示：故答案为：2a=2，所以2b+c22，所以22a+b+c32，综上，ABC周长的取值范围(22,32.方法二：由正弦定理asinA=bsinB=csinCb=263sinB，c=263sinC，又B+C=23a+b+c=263sinB+263s
23、inC+2=263(sinB+sin(23B)+2=263(32sinB+32cosB)+2=22sin(B+6)+2B(0,23)，B+6(6,56)sin(B+6)(12,1，22sin(B+6)(2,22，22sin(B+6)+2(2232综上，ABC周长的取值范围(22,32.【解析】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决角度问题和解三角形中周长范围的求法，属于中档题。21.【答案】解：(1)PA=PD，O为AD的中点，POAD，侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，PO平面PAD，PO平面ABCD;(2)底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD，ABAD，AD=2AB=2
24、BC=4，OCAD，又PO平面ABCD，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， C(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，PC=(2,0,2)，PD=(0,2,2)，易得平面PAD的法向量m=(1,0,0)设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，则nPC=2x2z=0nPD=2y2z=0，取x=1，得n=(1,1,1)，设二面角CPDA夹角为，则cos=|mn|m|n|=13，则sin=1(13)2=63，两平面夹角的正弦值为63;(3)设线段AD上存在Q(0,m,0)，m2,2，使得它到平面PCD的距离为3，PQ=(0,m,2
25、)，Q到平面PCD的距离d=|PQn|n|=|m2|3=3，解得m=1或m=5(舍去)则Q(0,1,0)，则AQQD=13方法二(几何法)(2)取PD中点M，连OM，MC，OC，PD=PA=22，AD=4PAD为直角三角形又O为AD中点OMPD由(1)PO平面ABCD，OC平面ABCDOPOCOCOM=OPD平面OCMPDMCOMC为两平面夹角在RtOMC中OM=2，OC=2CM=6sinOMC=26=63两平面夹角正弦值为63(3)过O作OHCM交CM于H即知OH即为O到平面PCD的距离在RtOMC中，OH=OCOMCM=226=233记Q到平面PCD的距离为则ODQD=OHQD=3ADQD
26、=13【解析】本题主要考查线面垂直的判定，利用空间向量求面与面的夹角，点到面的距离，属于中档题22.【答案】(1)解：由题意可知a=2，则e=c2=32，所以c=3，所以b=1C:x24+y2=1(2)由(1)得椭圆C的方程为x24+y2=1，则B(0,1)，设P(x,y)，则|BP|=x2+(y1)2，因为点P在椭圆上，所以x24+y2=1，则x2=44y2(y1,1)，则|BP|=x2+(y1)2=3y22y+5=3(y+13)2+163，所以当y=13时，|BP|max=433，此时x=423，所以P(423,13);(3)证明：A(2,0)，设直线l的方程为y=kx+m，M(x1,y1
27、)，N(x2,y2)，联立y=kx+mx24+y2=1，消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0，则x1+x2=8km1+4k2，x1x2=4m241+4k2，则k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=kx1+mx1+2+kx2+mx2+2=(kx1+m)(x2+2)+(kx2+m)(x1+2)(x1+2)(x2+2)因为k(k1+k2)=1，则k(kx1+m)(x2+2)+(kx2+m)(x1+2)(x1+2)(x2+2)=1，即2k2x1x2+(2k+m)(x1+x2)+4mk=x1x2+2(x1+x2)+4，即(2k21)x1x2+(2k+m2)(x1+x2)+4mk4=0，即(2k21)4m241+4k2+(2k+m2)8km1+4k2+4mk4=0，即(2k21)(4m24)+(2k+m2)(8km)+(4mk4)(1+4k2)=0，化简得6k25km+m2=0，解得m=2k或m=3k，m=2k时y=k(x+2)过点A，舍去所以m=3k，所以直线l得方程为y=kx+3k=k(x+3)，所以直线l过定点(3,0)【解析】本题考查了求椭圆的方程，椭圆上点到点距离最值，直线过定点的证明，属于拔高题