1、课时作业(五十二)第52讲圆锥曲线中的热点问题时间：45分钟分值：100分12011山东实验中学二模 过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2()A2 B C4 D22011银川一中二模 双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则的最小值为()A. B. C2 D132011福州模拟 已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A5 B8C.1 D.242011广东六校联考 过点P(3,0)的直线l与双曲线1交于点A，B，设直线l的斜率为k1(k10)，弦AB的中点为
2、M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1k2()A. B. C. D1652011哈九中月考 抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是()A(1,2) B(0,0)C. D(1,4)62011浙江五校联考 已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)72011开封模拟 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C. D
3、.8若AB为过椭圆1中心的弦，F1为椭圆的左焦点，则F1AB面积的最大值为()A6 B12 C24 D489设P为双曲线x21右支上的一点，F1、F2是该双曲线的左、右焦点若PF1F2的面积为12，则F1PF2等于()A. B. C. D.102011银川一中二模 若A为抛物线yx2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则等于_112011龙岩模拟 已知曲线1与直线xy10相交于P、Q两点，且0(O为原点)，则的值为_12以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e1，e2，则当它们的实轴，虚轴都在变化时，ee的最小值是
4、_132011重庆卷 设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_14(10分)2011合肥高三质检 已知抛物线y24x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|、|MC|、|MB|成等比数列；(2)设，试问是否为定值若是，求出此定值；若不是，请说明理由15(13分)2011山东实验中学二模 已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点D(0,1)在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点
5、G(t,0)，求点G横坐标t的取值范围(3)试用t表示GAB的面积，并求GAB面积的最大值16(12分)2011山东卷 已知动直线与椭圆C：1交于P、Q两不同点，且OPQ的面积SOPQ，其中O为坐标原点(1)证明xx和yy均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|PQ|的最大值；(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得SODESODGSOEG？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由课时作业(五十二)【基础热身】1D解析 抛物线的焦点坐标是，设直线AB的方程为ykx，代入抛物线方程得2x2kx0，根据韦达定理得x1x2.2B解析 根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值
6、即可由于已知双曲线的离心率是2，故2，解得，所以的最小值是.3C解析 点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是1，即点P到Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值为1.4A解析 A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M的坐标是，AB的斜率k1，OM的斜率k2，故k1k2，根据双曲线方程y2(x216)，故yy(xx)，故k1k2.【能力提升】5C解析 抛物线上的点到直线y4x5的距离是d，显然这个函数当x时取得最小值，此时y1.6B解析 根据对称性，只要AEF即可直线A
7、B：xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使ABF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e2.7A解析 点P到直线l2的距离等于到焦点F的距离，故所求的线段之和的最小值就是焦点F到直线l1的距离，即2.8B解析 设AB的方程为xmy，代入椭圆方程得16m2y225y2400y，所以SABF1c|y1y2|23412.9C解析 F1(，0)，F2(，0)，|F1F2|2，设P(x0，y0)，则PF1F2的面积S2|y0|12，故y，代入双曲线方程得x，根据对称性取点P，此时|PF1|6，根据双曲线定义可得|PF2|
8、PF1|2a4，即三角形F1PF2是三边长分别是6,4,2，由于6242(2)2，故F1PF2.103解析 抛物线方程为x24y，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)设直线BC的方程为ykx1，代入抛物线方程整理得x24kx40，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1，根据韦达定理代入得结果是3.112解析 将y1x代入1得，(ba)x22ax(aab)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10，即2a2ab2aab0，即ba2ab，所以2.
9、124解析 e，e，则ee2224.13.1解析 由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x轴上设圆心C(a,0)(0a3)，则半径为3a，于是圆的方程为(xa)2y2(3a)2，将抛物线方程y22x代入圆的方程得(xa)22x(a3)2，即x22(a1)x6a90，由4(a1)24(6a9)0，即a28a100，解得a4，0a3，a4.故圆C的半径能取到的最大值为3a1.14解答 (1)证明：设直线l的方程为：ykx2(k0)，联立方程：得k2x2(4k4)x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，则x1x2，x1x2，|MA|MB|x10|x20|，而|MC|22，|MC|2|MA|
10、MB|0，即|MA|、|MC|、|MB|成等比数列(2)由，得，(x1，y12)，(x2，y22)，即得，则，由(1)中代入得1，故为定值，且定值为1.15解答 (1)b1，e2，a22，a，椭圆E的方程为y21.解法一：(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的右焦点F2，方程有两个不等实根记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得tx0ky0.k0，0t.t的取值范围为.(3)SGAB|
11、F2G|y1y2|F2G|k|x1x2|.而|x1x2|，0t，由t，可得k2，k21，2k21.所以|x1x2|2(12t).又|F2G|1t，所以SGAB(1t)2(12t).令f(t)t(1t)3，则f(t)(1t)2(14t)可知f(t)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以，当t时，f(t)有最大值f.所以，当t时，GAB的面积有最大值.解法二：(2)设直线AB的方程为xmy1，由可得(m22)y22my10，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则y1y2，y1y2.可得y0，x0my01.AB垂直平分线NG的方程为yy0m(xx0)令y0，得tx0.m0
12、，0m0，即3k22m2，(*)又x1x2，x1x2，所以|PQ|，因为点O到直线l的距离为d，所以SOPQ|PQ|d，.又SOPQ，整理得3k222m2，且符合(*)式，此时xx(x1x2)22x1x2223，yy(3x)(3x)4(xx)2.综上所述，xx3；yy2，结论成立(2)解法一：当直线l的斜率存在时，由(1)知|OM|x1|，|PQ|2|y1|2，因此|OM|PQ|2.当直线l的斜率存在时，由(i)知，kmm，|OM|222，|PQ|2(1k2)2，所以|OM|2|PQ|222.所以|OM|PQ|，当且仅当32，即m时，等号成立综合得|OM|PQ|的最大值为.解法二：因为4|OM
13、|2|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2(x2x1)2(y2y1)22(xx)(yy)10，所以2|OM|PQ|5.即|OM|PQ|，当且仅当2|OM|PQ|时等号成立因此|OM|PQ|的最大值为.(3)椭圆C上不存在三点D，E，G，使得SODESODGSOEG.证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)满足SODESODGSOEG，由(1)得u2x3，u2x3，xx3；v2y2，v2y2，yy2，解得u2xx；v2yy1.因此u，x1，x2只能从中选取，v，y1，y2只能从1中选取，因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与SODESODGSOEG矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
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