1、题型专题(四)不等式(1)一元二次不等式ax2bxc0(或0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解题组练透1(2016河北五校联考)如图，已知R是实数集，集合Ax|log(x1)0，B，则阴影部分表示的集合是()A0，1 B0，1) C(0，1) D(0，1解析：选D由题意可知Ax|1x2，B，且图中阴影部分表示的是B(RA)x|00的解集是(1，3)，则不等式f(2x)0，得ax2(ab1)xb0，又
2、其解集是(1，3)，a0，且解得a1或(舍去)，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得x或x0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值题组练透1已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A1 B. C2 D.解析：选B2x2(xa)2a2 2a42a，由题意可知42a7，解得a，即实数a的最小值为，故选B.2(2016湖北七市联考)已知直线axby60(a0，b0)被圆x2y
3、22x4y0截得的弦长为2，则ab的最大值是()A9 B. C4 D.解析：选B将圆的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，圆心坐标为(1，2)，半径r，故直线过圆心，即a2b6，a2b62，可得ab，当且仅当a2b3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.3要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80元 B120元 C160元 D240元解析：选C设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意
4、，得y20410802080202 160.所以该容器的最低总造价为160元4(2016江西两市联考)已知x，yR，且xy5，则xy的最大值是()A3 B. C4 D.解析：选C由xy5，得5xy，x0，y0，5xyxy，(xy)25(xy)40，解得1xy4，xy的最大值是4.技法融会1利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值2(易错提醒)利用
5、基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值题组练透1(2016河南六市联考)已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m()A6 B5 C4 D3解析：选B画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：yx，平移l可知，当直线l经过A时，zxy取得最小值1，联立
6、得即A(2，3)，又A(2，3)在直线xym上，m5，故选B.2(2016福建质检)若x，y满足约束条件则(x2)2(y3)2的最小值为()A1 B. C5 D9解析：选B不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P(2，3)到直线xy20的距离为，所以(x2)2(y3)2的最小值为，故选B.3(2016全国甲卷)若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由zx2y得yxz.平移直线yx，易知经过点A(3，4)时，z有最小值，最小值为z3245.答案：54(2016山西质检)设实数x，y满足则的最小值是_解析：画出不等式组所表示的可行域，
7、如图所示，而表示区域内一点(x，y)与点D(1，1)连线的斜率，当x，y时，有最小值为.答案：5(2016全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：设生产产品A x件，产品B y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z2 100x900y，由约束条件作
8、出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线2 100x900y0，即7x3y0，当直线经过点B时，z取得最大值，联立解得B(60，100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 000技法融会1线性目标函数zaxby最值的确定方法线性目标函数zaxby中的z不是直线axbyz在y轴上的截距，把目标函数化为yx，可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值2(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解1不等式的可乘性(1)ab，c0acbc；ab，c0acb0
9、，cd0acbd.2不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注题组练透1(2016河南六市联考)若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2 Babb2Cab|ab|解析：选D由题可知bab，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且abD若a2b2且ab0，则解析：选C当c0时，可知A不正确；当cb3且ab0且b成立，C正确；当a0且b0时，可知D不正确技法融会1判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除2利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2
10、)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等一、选择题1已知关于x的不等式(ax1)(x1)0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0的解集为()A x | x 2或x 2 B x |2 x 2C x | x 4 D x |0 x 0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故选C.5(2016赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：若ac2bc2，且c0，则ab；若a b，cd，则acbd；若a b，c d，则acbd；若a b，则.其中正确的有()A1个
11、B2个 C3个 D4个解析：选Bac2bc2，且c0，则ab，正确；由不等式的同向可加性可知正确；需满足a，b，c，d均为正数才成立；错误，比如：令a1，b2，满足12，但0，x，y满足约束条件若z3x2y的最小值为1，则a()A. B. C. D1解析：选B根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z3x2y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线，当直线z3x2y经过点B时，截距最小，即z最小，又B点坐标为(1，2a)，代入3x2y1，得34a1，得a，故选B.9某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表
12、所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元 C17万元 D18万元解析：选D设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z3x4y，由题意得x，y满足作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x4yz0过点B(2，3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元故选D.10(2016湖北七市联考)设向量a(1，k)，b(x，y)，记a与b的夹角为.若对所有满足不等式|x2|y1的x，y，都有，则实数k的取值范围是()A(1，
13、) B(1，0)(0，)C(1，) D(1，0)(1，)解析：选D首先画出不等式|x2|y1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令zabxky，问题等价于当可行域为ABC时，z0恒成立，且a与b方向不相同，将ABC的三个端点值代入，即解得k1，当a与b方向相同时，1yxk，则k0，1，实数k的取值范围是(1，0)(1，)，故选D.11若两个正实数x，y满足1，且不等式xx4，故m23m4，化简得(m1)(m4)0，即实数m的取值范围为(，1)(4，)12设二次函数f(x)ax2bxc的导函数为f(x)若xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为()A.2 B.2C22 D22解析：选B由题
14、意得f(x)2axb，由f(x)f(x)在R上恒成立，得ax2(b2a)xcb0在R上恒成立，则a0且0，可得b24ac4a2，则，又4ac4a20，440，10，令t1，则t0.当t0时，2(当且仅当t时等号成立)，当t0时，0，故的最大值为2，故选B.二、填空题13(2016湖北华师一附中联考)若2x4y4，则x2y的最大值是_解析：因为42x4y2x22y22，所以2x2y422，即x2y2，当且仅当2x22y2，即x2y1时，x2y取得最大值2.答案：214(2016河北三市联考)如果实数x，y满足条件且z的最小值为，则正数a的值为_解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分
15、析可知当x1，y1时，z取最小值，即，所以a1.答案：115(2016江西两市联考)设x，y满足约束条件则的取值范围是_解析：设z12，设z，则z的几何意义为动点P(x，y)到定点D(1，1)的斜率画出可行域如图中阴影部分所示，则易得zkDA，kDB，易得z1，5，z12z3，11答案：3，1116(2016湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1，2)，解关于x的不等式ax2bxc0”，给出如下一种解法：解：由ax2bxc0的解集为(1，2)，得a(x)2b(x)c0的解集为(2，1)，即关于x的不等式ax2bxc0的解集为(2，1)参考上述解法，若关于x的不等式0的解集为，则关于x的不等式0的解集为_解析：不等式0，可化为0，故得1或1，解得3x1或1x2，故0的解集为(3，1)(1，2)答案：(3，1)(1，2)
