1、 江苏省武进高级中学 2011-2012学年第二学期高二年级理科数学期中教学调研试卷2012年4月一、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）、命题“”的否定是： ；、复数，则的复平面内的对应点位于第 象限；、一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是 米/秒； 、在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是 ；、已知四个命题、，若是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充分必要条件，试问是的 条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为 ；、如右图，椭圆的中心在坐标原点
2、，为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ； 、已知函数的极大值为，极小值为，则 ； 、已知三边，的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有 个（用表示）； 、已知点是椭圆上异于长轴顶点的一动点，分别为椭圆的左、右焦点， 为的内心，若成立，则的值为 ；、已知都是定义在上的函数，且，则的值为 ；、设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值是 ； 、如右图，抛物线上一点的横坐标为，是抛物线上与轴垂直的一条弦，若，则的方程是 ；、若对于总有成立，则的取值范围为 。二、解答题：（本大题共小题，共分）、（本题14分）已知函数，记
3、，。求、的表达式；猜测的表达式，并证明。、（本题14分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求、；若复数，求的取值范围。、（本题14分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，/，。求证：/平面；求证：平面；求二面角的大小。、（本题16分）已知函数，其中当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求的单调区间；证明：对任意的在区间内均存在零点。、（本题16分）椭圆:的离心率为，右焦点到直线的距离为，若是椭圆的右顶点，为过点的弦，直线、的斜率分别为、，求出椭圆的方程；求证：为定值，并求出其定值；若直线、交直线于、两点，求的最小值。、（本题16分）设函数求的单调区间；当时，若方程在上有两个实
4、数解，求实数t的取值范围；证明：当mn0时，。武进高级中学2011-2012学年第二学期高二年级理科数学期中教学调研试卷答卷纸一、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）年级 班级 姓名 考试号 、_； 、_；、_； 、_；、_ ；、_；、_； 、_；、_； 、_；、_； 、_；、_；、_。二、解答题：（本大题共小题，共分）15、16、17、18、19、20、考场号座位号武进高级中学2011-2012学年第二学期高二年级理科数学期中教学调研试卷答案、； 、四； 、5； 、；、必要不充分； 、； 、； 、；、； 、； 、； 、； 、； 、。15、解：（1）；3分。6分（2）猜想：。8分证明：（1）
5、当时，显然符合；9分（2）假设当时， 则当时，结论成立。13分由（1）、（2）得，成立。14分、解：（1），2分设，则，4分是实数，即，。6分（2），8分，11分13分即的取值范围是。14分（其他解法如数形结合、不等式等酌情给分）、证明：设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=，AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。2分所以AFEG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE。4分因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD。5分如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），。所以，。所以，。7
6、分所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE。9分（利用立体几何知识通过证明也可）由知，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量，则=0，=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以，12分从而=，13分因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。14分(如上左图构造，通过解三角形也可得到；或者如上右图构造，通过解三角形也可得到。)、解：当时， 2分，所以曲线在点处的切线方程为. 4分 ，令，解得 6分因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.8分 （2）若，当变化时，的变化情况如下表：+所以，的单调递增区
7、间是的单调递减区间是10分 由可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当时，在（0，1）内单调递减， . 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点. 12分（2）当时，在内单调递减，在内单调递增， 若，. 所以内存在零点.若.，所以内存在零点. 15分所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点. 16分 、解：由题意得：得，椭圆的方程为。4分由得：。设，则， ，6分， 为定值。10分，同理：， ，12分，15分的最小值为。16分、解：时， 在（1，+）上是增函数 2分当时，在上递增，在单调递减. 4分由知，在上单调递增，在上单调递减，6分又 当时，方程有两解 10分要证：只需证只需证：设， 则12分由（）知在单调递减 14分，即是减函数，而mn，故原不等式成立。 16分
