1、2020-2021学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知z1，则|z|（）AB13CD2设平面向量，若，则x（）A1B2C1D33小明和小红5次考试数学成绩统计如表：姓名第一次第二次第三次第四次第五次小明107111110109113小红99110111108112则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（）A110B108C22D44炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是
2、（）A，B，C，D，5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BC1的中点，则直线DP与B1C1的夹角的余弦值为（）ABCD6如图所示，平行四边形ABCD中，点F为线段AE的中点，则（）ABCD7列子中歧路亡羊的内容为：杨子之邻亡羊（亡：丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖：书童）追之杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧路：岔路口）”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性
3、是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（）ABCD8用斜二测画法作出ABC的水平放置的直观图ABC如图所示，其中，AB1，则ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）AB2C3D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9以下四种说法正确的是（）AB复数z32i的虚部为2iC若z（1+i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数10以下结论不正确的是（）A对立事件一定互斥B事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率C事件A与事件B互斥，则有P（A）1
4、P（B）D事件A，B满足P（A）+P（B）1，则A，B是对立事件11已知直线a，b与平面，则下列说法不正确的是（）A若a，ba，b，则B若a，b，ab，则C若a，a，b，则abD若a，b为异面直线，a，a，b，b，则12三棱锥PABC中，已知PO平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（）A若，则O为ABC的重心B若，则O为ABC的垂心C若PAPBPC，则O为ABC的外心D若PAPB，PBPC，PCPA，则O为ABC的内心三、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。13甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为，获得二等奖的概率分别为，甲、
5、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为 14已知向量（，1），（3，5），且与的夹角为锐角，则的取值范围是 15一艘货船从A处出发，沿北偏西50的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55，那么B，C两点间的距离是 海里16已知三棱锥SABC，SA平面ABC，ABSA2，ACB60，则该三棱锥外接球的半径为 ；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为
6、a，b，c，且（2ac）cosBbcosC（1）求B；（2）若，ABC的面积为，求a+c18工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平，某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为20，40），40，60），60，80），80，100（1）估计本单位员工话费的第90百分位数；（2）若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；（3）估计本单位员工通讯费用的众数和平均数19已知，且，的夹角为（1）求；（2）若，求实数k的值20在四棱锥PABCD中
7、，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E是PB中点（1）求证：PD平面EAC；（2）若PAAD2，AB2，求三棱锥PACD的表面积21新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的（1）求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；（2）求当选的3名同学中至多有2名男生的概率22如图，梯形ABCD中，ABCD，过A做AECD于E，沿AE把ADE折起，设点D折起后的位置为P，且PCPE2，A
8、BAECE2（1）求证：平面PAE平面PBC；（2）在棱PC上是否存在一点F，使直线BF平面PAE？并说明理由；（3）求直线PB与平面PAE所成的角参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知z1，则|z|（）AB13CD解：z1，|z|故选：A2设平面向量，若，则x（）A1B2C1D3解：平面向量，若，则 2x+20，x1，故选：C3小明和小红5次考试数学成绩统计如表：姓名第一次第二次第三次第四次第五次小明107111110109113小红99110111108112则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（）A110B108C22D4解：观察两组数据可知，小明的成绩较稳定，小
9、明成绩的平均数，小明成绩的方差+（111110）2+（110110）2+（109110）2+（113110）24故选：D4炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A，B，C，D，解：从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则由简单随机抽样的性质得：其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性都是故选：B5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BC1的中点，则直线DP与B1C1的夹角的余
10、弦值为（）ABCD解：如图示：作PEB1C1，PFCC1，连接DE，DF，DB，直线DP与B1C1的夹角的余弦值即|cosDPE|的值，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则PE1，DE3，DP，故cosDPF，故直线DP与B1C1的夹角的余弦值是，故选：D6如图所示，平行四边形ABCD中，点F为线段AE的中点，则（）ABCD解：点F为线段AE的中点，+（）+，即65+2，+（），即3+2，由得，+，故选：C7列子中歧路亡羊的内容为：杨子之邻亡羊（亡：丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖：书童）追之杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧路：岔路口）”既反，问：“获羊乎？
11、”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（）ABCD解：羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，所以羊在每条歧路的概率为，因为羊走过5个岔路口，所以每个人找到羊的概率为，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为故选：A8用斜二测画法作出ABC的水平放置的直观图ABC如图所示，其中，AB1，则ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几
12、何体的表面积为（）AB2C3D解：由题意，可得ABC的图形如图所示，其中ABAB1，AC，则，ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥，该圆锥的底面半径为1，母线长为2，所以圆锥的表面积S12+123故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9以下四种说法正确的是（）AB复数z32i的虚部为2iC若z（1+i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数解：，故A选项正确，复数z32i的虚部为2，故B选项错误，z（1+i）22i，复平面内对应的点（0，2）位于虚轴上，故C选项错误，复平面内，实数轴上
13、对应的点的纵坐标为0，复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，故D选项正确故选：AD10以下结论不正确的是（）A对立事件一定互斥B事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率C事件A与事件B互斥，则有P（A）1P（B）D事件A，B满足P（A）+P（B）1，则A，B是对立事件解：对于A，对立事件一定是互斥事件，故A正确；对于B，事件A与事件B的和事件的概率有可能等于事件A的概率，故B错误；对于C，事件A与事件B对立，则有P（A）1P（B），事件A与事件B互斥，则有P（A）1P（B）故C错误；对于D，事件A，B满足P（A）+P（B）1，则A，B不一定是对立事件，故D错误故选：BCD11已知直线
14、a，b与平面，则下列说法不正确的是（）A若a，ba，b，则B若a，b，ab，则C若a，a，b，则abD若a，b为异面直线，a，a，b，b，则解：对于A，若a，ba，b，则错误，也可能是相交不垂直；对于B，若a，b，ab，则或与相交，故B错误；对于C，若a，a，b，由直线与平面平行的性质可得ab，故C正确；对于D，设aa，a，因为a，b是异面直线，所以a与b相交，又b，所以，故D正确故选：AB12三棱锥PABC中，已知PO平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（）A若，则O为ABC的重心B若，则O为ABC的垂心C若PAPBPC，则O为ABC的外心D若PAPB，PBPC，P
15、CPA，则O为ABC的内心解：三棱锥PABC中，已知PO平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，如图所示：对于A：若，则O为ABC的外心，故A错误；对于B：，整理得：，所以，即PABC，由于PO平面ABC，所以POBC，故BC平面PAO，所以AOBC，同理：BOAC，COAB，故点O为ABC的垂心，故B正确；对于C：由于PAPBPC，利用勾股定理，所以：AOBOCO，故O为ABC的外心，故C正确；对于D：由于PAPB，PCPA，所以PA平面PBC，所以PABC，由于于PO平面ABC，所以POBC，故BC平面PAO，所以AOBC，同理OBAC，OCAB故点O为ABC的垂心，故D错误故选：BC
16、三、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。13甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为，获得二等奖的概率分别为，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为 解：甲和乙都未获奖的概率为，所以甲乙两人至少有1人获奖的概率为故答案为：14已知向量（，1），（3，5），且与的夹角为锐角，则的取值范围是 且解：（，1），（3，5），且与的夹角为锐角，解得，但当51（3），即，两向量平行，应舍去，的取值范围为，且，故答案为：且15一艘货船从A处出发，沿北偏西50的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏
17、东10，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55，那么B，C两点间的距离是 海里解：（海里），如图，设ABC的内角分别为A，B，C，则A60，B75，C180AB45，由正弦定理可得故答案为：16已知三棱锥SABC，SA平面ABC，ABSA2，ACB60，则该三棱锥外接球的半径为 ；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为 解：设SA的中点为M，因为SA平面ABC，如图所示：所以三棱锥外接球的球心必在过M且垂直于SA的平面上；在ABC中，AB2，ACB60，由正弦定理得，所以ABC外接圆的半径为R；设外接球的球心为O，ABC外接圆圆心为O，则OO平面ABC，所以OOSA；所以OO
18、MASA1，计算外接球的半径为r因为该三棱锥可以在正方体中任意转动，所以该正方体包含三棱锥的外接球，所以正方体取最小体积时，三棱锥的外接球是该正方体的内切球；所以正方体的棱长为l2r，体积是Vl3故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2ac）cosBbcosC（1）求B；（2）若，ABC的面积为，求a+c【解答】解析：（1）（2ac）cosBbcosC，由正弦定理得，（2sinAsinC）cosBsinBcosC，即2sinAcosBsinCcosBsinBcosC所以2sinAcosB
19、sinBcosC+sinCcosBsin（B+C）所以2sinAcosBsinA因为sinA0，所以，B（0，），所以B（2）因为，所以ac3，由余炫定理得，即，a2+c211，所以（a+c）2a2+c2+2ac17，则18工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平，某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为20，40），40，60），60，80），80，100（1）估计本单位员工话费的第90百分位数；（2）若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽
20、取的样本量；（3）估计本单位员工通讯费用的众数和平均数解：（1）本单位员工话费在80元以下的频率为：0.1+0.2+0.40.7，本单位员工话费在80，100的频率为0.3，因此本单位话费的第90百分位数在80，100内，由，可以估计本单位员工话费的第90百分位数为（2）0.005：0.010：0.020：0.0151：2：4：3，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，其个数分别为1，2，4，3（3）本单位员工通讯费用的众数为70，平均数为为300.00520+500.01020+700.02020+900.015206819已知，且，的夹角为（1）求；（2）若，求实数k的
21、值解：（1），；（2）方法一：，则存在非零实数，使，由共面定理得，则k1方法二：由已知或，当，则k1，同理时，k1，综上，k120在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E是PB中点（1）求证：PD平面EAC；（2）若PAAD2，AB2，求三棱锥PACD的表面积解：（1）证明：连结BD，交AC于点O，连接EO显然，O为BD中点，又E为PB中点，在PBD中，由中位线定理可得：EO/PD，又PD面EAC，EO面EAC，PD/面EAC（2）PA底面ABCD，AD、AC平面ABCD，PAAD，PAAC，易知，四边形ABCD为矩形，PA面ABCD，PACD，ADCD，ADPAA，C
22、D面PAD，CDPD，则PDC为直角三角形，在RtPCD中，易得，S三棱锥PACDSPAD+SPAC+SPCD+SACD21新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的（1）求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；（2）求当选的3名同学中至多有2名男生的概率解：将2名女生，3名男生分别用A，B，a，b，c表示，则从5名候选人中选3名同学的试验的样本空间为：（A，B，a），（A，B，b）
23、，（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），共10种，（1）设A“恰有一女生”，则A（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），共6种，所以当选的3名同学中恰有1名女生的概率为；（2）设B“至多有两个男生”，则B（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），共9种，所以当选的3名同学中至多有2名男生的概率为22如图，梯形ABCD中，ABCD，过A做AECD于E，沿AE把ADE折
24、起，设点D折起后的位置为P，且PCPE2，ABAECE2（1）求证：平面PAE平面PBC；（2）在棱PC上是否存在一点F，使直线BF平面PAE？并说明理由；（3）求直线PB与平面PAE所成的角【解答】（1）证明：连接AC，因为PEPC，CE4，所以PE2+PC2CE2，故PCPE，在RtAEP中，在RtAEC中，所以PA2+PC2AC2，故PCCA，又PAPEP，PA，PE平面PAE，则PC平面PAE，又PC平面PBC，所以平面PAE平面PBC；（2）解：在棱PC上存在中点F，使直线BF平面PAE证明如下：取PE的中点O，PC的中点F，连接OF，AO，BF，因为O，F分别为PE，PC的中点，所
25、以OFCE且OF，又ABCE且AB，所以ABOF且ABOF，故四边形ABFO为平行四边形，则BFAO，又BF平面PAE，AO平面PAE，所以BF平面PAE，故当F为PC的中点时，直线BF平面PAE；（3）解：取CE的中点H，连接BH，PH，作HGPE，垂足为G，在四边形ABHE中，ABAE，ABEH，且ABEH，AECE，所以四边形ABHE为正方形，则BHAE，故BH平面PAE，则点B到平面PAE的距离即为点H到平面PAE的距离，因为AECE，AEPE，PECEE，PE，CE平面PCE，故AE平面PCE，又HG平面PCE，所以AEHG，因为BHAE，AE平面PCE，则BH平面PCE，又PH平面PCE，所以BHPH，在RtPBH中，PH2，BH2，在RtPEC中，HG，因为HGPE，HGAE，PEAEE，则HG平面PAE，所以点H到平面PAE的距离为HG，即点B到平面PAE的距离为，故直线PB与平面PAE所成的角为，则，所以直线PB与平面PAE所成的角为30