1、2016-2017学年江苏省泰州中学高三（下）期初数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1若集合A=x|13x81，B=x|log2（x2x）1，则AB=2己知i是虚数单位，则的虚部是3已知函数f（x）=，则“c=1”是“函数在R上单调递增”的条件4如图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是5将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为6已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆+y2=1（a0）的右焦点，则椭圆方程为7已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，则它的体积为8平面向量与的夹角为， =（3，0），|=2，则|+2|=9若等比数列an的公比q1且满足：a
2、1+a2+a3+a7=6，a12+a22+a32+a72=18，则a1a2+a3a4+a5a6+a7的值为10点P为直线y=x上任一点，F1（5，0），F2（5，0），则|PF1|PF2|的取值范围为11在OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且ABMN，2OA=OM，若=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为12函数f（x）=cosx，对任意的实数t，记f（x）在t，t+1上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）m（t）的值域为13已知A是射线x+y=0（x0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值
3、是14已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=lnx，mina，b表示a，b中的最小值，若函数h（x）=minf（x），g（x）（x0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14分）ABC中，sinA=sinB=cosC（1）求A，B，C（2）若BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积16（14分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点（1）求证：OE平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC平面B1DE17（14分）如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两
4、个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元 （1）设ADC=，试将运输总费用S（单位：元）表示为的函数S（），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值18（16分）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=2的距离为d1，到点F（1，0）的距离为d2，且=直线l与椭圆C交于不同两点A、B（
5、A，B都在x轴上方），且OFA+OFB=180（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由19（16分）已知函数f（x）=lnxax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；（2）已知0a1，求证：f（）0；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围20（16分）定义：从一个数列an中抽取若干项（不少于三项）按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成
6、等差（等比）的子数列叫做an的等差（等比）子列（1）记数列an的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列a3n是数列an的等差子列；（2）设等差数列an的各项均为整数，公差d0，a5=6，若数列a3，a5，a是数列an的等比子列，求n1的值；（3）设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比q1，若数列an存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值2016-2017学年江苏省泰州中学高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1若集合A=x|13x81，B=x|log2（x2x）1，则AB=（2，4【考点】交集及其运算【分析】求出关于集合A、B的
7、不等式，求出A、B的交集即可【解答】解：A=x|13x81=x|0x4，B=x|log2（x2x）1=x|x2x20=x|x2或x1，则AB=（2，4，故答案为：（2，4【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题2己知i是虚数单位，则的虚部是1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数的虚部可求【解答】解： =，的虚部是1故答案为：1【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3已知函数f（x）=，则“c=1”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据f（x）=
8、，在R上单调递增，求出c的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断【解答】解：f（x）=，在R上单调递增，log211+c，c1，“c=1”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查了函数的单调性、充分必要条件的判定，属于基础题4如图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是27【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，即可得出结论【解答】解：模拟执行程序框图，可得循环的结果依次为：s=1，n=2；s=（1+2）2=6，n=3，s=（6+3）3=27，n=4，结束循环，输出s=27故答案为27【点评】本题主要考查了循环结构
9、的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题5将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】4人分成两组，通过讨论每2人一组以及一组一人，一组3人的情况即可求出结论【解答】解：4人分成两组，若一组2人，则有=3种分法，若一组一人，一组3人，则有=4种分法，甲、乙分别同一组的概率为+=故答案为：【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，本题是一道中档题6已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆+y2=1（a0）的右焦点，则椭圆方程为【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分
10、析】求得抛物线的焦点坐标，则c=2，a2=b2+c2=5，即可求得椭圆方程【解答】解：抛物线y2=8x焦点在x轴上，焦点F（2，0），由F（2，0）为椭圆+y2=1（a0）的右焦点，即c=2，则a2=b2+c2=5，椭圆的标准方程为：，故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，椭圆的标准方程，考查转化思想，属于基础题7已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，则它的体积为4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案【解答】解：如图，PABCD为正四棱锥，且底面边长为，过P作PGBC于G，作PO底面ABCD，垂足为O，连接OG由侧面
11、积为，得，即PG=2在RtPOG中，故答案为：4【点评】本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8平面向量与的夹角为， =（3，0），|=2，则|+2|=【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】利用两个向量的数量积的定义求得的值，结合|+2|=，计算求得结果【解答】解：向量与的夹角为， =（3，0），|=2，|=3|， =32cos=3，则|+2|=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题9若等比数列an的公比q1且满足：a1+a2+a3+a7=6，a12+a22+a32+a72=18，则a1a2+a3a4+a5a6+a7的值为3
12、【考点】数列的求和；等比数列的前n项和【分析】由已知利用等比数列的前n项和公式求得，进一步由等比数列的前n项和求得a1a2+a3a4+a5a6+a7的值【解答】解：a1+a2+a3+a7=6，a12+a22+a32+a72=18，等比数列an的公比q1，则a1a2+a3a4+a5a6+a7=故答案为：3【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10点P为直线y=x上任一点，F1（5，0），F2（5，0），则|PF1|PF2|的取值范围为0，8.5【考点】两点间的距离公式【分析】由题意，P在原点时，|PF1|PF2|=0，求出F2（5，0）关于直线y=x对称点
13、的坐标，可得|PF1|PF2|的最大值，即可求出|PF1|PF2|的取值范围【解答】解：由题意，P在原点时，|PF1|PF2|=0，F2（5，0）关于直线y=x对称点的坐标为F（a，b），则，a=，b=，|PF1|PF2|的最大值为=8.5，|PF1|PF2|的取值范围为0，8.5故答案为：0，8.5【点评】本题考查|PF1|PF2|的取值范围，考查对称性的运用，属于中档题11在OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且ABMN，2OA=OM，若=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为，4【考点】向量在几何中的应用【分析】利用三点共线得出1x+y2，作出平面区域，根据斜率
14、的几何意义得出的范围，从而得出的取值范围【解答】解：ABMN，2OA=OM，AB是OMN的中位线当P在线段AB上时，x+y=1，当P在线段MN上时，x+y=2，终点P落在四边形ABNM内（含边界），作出平面区域如图所示：令k=，则k表示平面区域内的点C（x，y）与点Q（1，1）的连线的斜率，由可行域可知当（x，y）与B（2，0）重合时，k取得最小值=，当（x，y）与A（0，2）重合时，k取得最大值=3，k3=+1=k+1，4故答案为，4【点评】本题考查了平面向量的运算，线性规划的应用，属于中档题12函数f（x）=cosx，对任意的实数t，记f（x）在t，t+1上的最大值为M（t），最小值为m（
15、t），则函数h（t）=M（t）m（t）的值域为【考点】余弦函数的图象【分析】求出周期，画出f（x）的图象，讨论（1）当4n1t4n，（2）当4nt4n+1，（3）当4n+1t4n+2，（4）当4n+2t4n+3，分别求出最大值和最小值，再求h（t）的值域，最后求并集即可得到【解答】解：解：函数f（x）=cosx的周期为T=4，（1）当4n1t4n，nZ，区间t，t+1为增区间，则有m（t）=cos，M（t）=cos=sin，（2）当4nt4n+1，nZ，若4nt4n+，则M（t）=1，m（t）=sin，若4n+t4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin，（3）当4n+1t4n+2，则区间t，
16、t+1为减区间，则有M（t）=cos，m（t）=sin；（4）当4n+2t4n+3，则m（t）=1，当4n+2t4n+时，M（t）=cos，当4n+t4n+3时，M（t）=sin；则有h（t）=M（t）m（t）=当4n1t4n，h（t）的值域为1，当4nt4n+，h（t）的值域为1，1），当4n+t4n+1，h（t）的值域为（1，1），当4n+1t4n+2，h（t）的值域为1，当4n+2t4n+时，h（t）的值域为1，1），当4n+t4n+3时，h（t）的值域为1，1）综上，h（t）=M（t）m（t）的值域为故答案是：【点评】本题考查三角函数的性质和运用，考查函数的周期性和单调性及运用，考查运
17、算能力，有一定的难度13已知A是射线x+y=0（x0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值是【考点】直线与圆的位置关系【分析】设A（a，a），B（b，0）（a，b0），利用直线AB与圆x2+y2=1相切，结合基本不等式，得到，即可求出|AB|的最小值【解答】解：设A（a，a），B（b，0）（a，b0），则直线AB的方程是ax+（a+b）yab=0因为直线AB与圆x2+y2=1相切，所以，化简得2a2+b2+2ab=a2b2，利用基本不等式得，即，从而得，当，即时，|AB|的最小值是故答案为【点评】本题考查圆的切线，考查基本不等式的运用，考查学生分
18、析解决问题的能力，有难度14已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=lnx，mina，b表示a，b中的最小值，若函数h（x）=minf（x），g（x）（x0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（，）【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理【分析】由已知可得m0，进而可得若h（x）有3个零点，则1，f（1）0，f（）0，解得答案【解答】解：f（x）=x3+mx+，f（x）=3x2+m，若m0，则f（x）0恒成立，函数f（x）=x3+mx+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故m0，令f（x）=0，则x=，g（1）=0，若h（x）有3个零点，则1，f（1）0，f（）0，即，解
19、得：m（，），故答案为：（，）【点评】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14分）（2015陕西模拟）ABC中，sinA=sinB=cosC（1）求A，B，C（2）若BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积【考点】正弦定理；三角形的面积公式【分析】（1）由sinA=sinB，得到A=B，再由诱导公式得到cosC=cos2A，代入sinA=cosC中，变形求出sinA的值，由A为三角形内角求出A的度数，即可确定出B，C的度数；（2）设CA=CB=x，表示
20、出CM，在三角形ACM中，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出CA与CB的长，即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（1）sinA=sinB，且A，B为ABC的内角，A=B，A+B+C=，cosC=cos（2A）=cos2A，sinA=cosC=cos2A=12sin2A，即（2sinA1）（sinA+1）=0，sinA=，或sinA=1（舍去），A=B=，C=；（2）设CA=CB=x，则CM=x，在ACM中，利用余弦定理得：AM2=AC2+MC22ACCMcosC，即7=x2+x2+x2，解得：x=2，则SABC=CACBsinC=【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三
21、角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键16（14分）（2015盐城一模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点（1）求证：OE平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC平面B1DE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）：连接BC1，设BC1B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE面BCC1B1，BF面BCC1B1，可证OE面BCC1B1（2）先证明BC1DC，再证BC1面B1DC，而BC1OE，OE面B1DC，又OE面B1DE，从而可证面B1DC面B1DE【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1B1C=F
22、，连接OF，2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OFDC，且，又E为AB中点，所以EBDC，且d1=1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OEBF，6分又OE面BCC1B1，BF面BCC1B1，所以OE面BCC1B18分（2）因为DC面BCC1B1，BC1面BCC1B1，所以BC1DC，10分又BC1B1C，且DC，B1C面B1DC，DCB1C=C，所以BC1面B1DC，12分而BC1OE，所以OE面B1DC，又OE面B1DE，所以面B1DC面B1DE14分【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查17（14分）（2016泰州模拟）如图
23、，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元 （1）设ADC=，试将运输总费用S（单位：元）表示为的函数S（），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）由题在ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即
24、可求得运输成本S的解析式（2）利用导数求得cos=时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值【解答】解：（1）由题在ACD中，CAD=ABC=ACB=，CDA=，ACD=又AB=BC=CA=20，ACD中，由正弦定理知=，得CD=，AD=，（3分）S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20=+20=10+20 （）（7分）（2）S=10，令S=0，得cos=（10分）当cos时，S0；当cos时，S0，当cos=时S取得最小值（12分）此时，sin=，AD=10，中转站距A处10千米时，运输成本S最小（14分）【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数
25、的单调性求极值，属于中档题18（16分）（2017广元模拟）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=2的距离为d1，到点F（1，0）的距离为d2，且=直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且OFA+OFB=180（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设P（x，y），得，由此能求出椭圆C的方程（2）由已知条件得kBF=1，BF：y=1（x+1）=x1，代入，得：3x2+
26、4x=0，由此能求出直线l方程（3）B关于x轴的对称点B1在直线AF上设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：，由此能证明直线l总经过定点M（2，0）【解答】（1）解：设P（x，y），则，（2分），化简得：，椭圆C的方程为：（4分）（2）解：A（0，1），F（1，0），OFA+OFB=180，kBF=1，BF：y=1（x+1）=x1（6分）代入，得：3x2+4x=0，代入y=x1得，（8分），（10分）（3）证明：由于OFA+OFB=180，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，y2）设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：，（13分）
27、，令y=0，得：，y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），=，（15分）直线l总经过定点M（2，0）（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用19（16分）（2016秋秀屿区校级期中）已知函数f（x）=lnxax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；（2）已知0a1，求证：f（）0；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0
28、，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f（1）=5由方程组，即可求出a，b的值；（2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）g（1）=1ln20，即f（）0；（3）求导，f（x）=，对参数a进行分类讨论，易知a0，或a时，f（x）至多一个零点，不符题意；当0a时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是【解答】解：（1）在中，取x=1得f（1）=0，f（1）=a+b=0，a=b，f（1）=1ab=12a，f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5）
29、，k=，12a=5，得a=2，；（2）令，则x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，x（0，1）时，故0a1时，f（）0；（3），当a0时，在（0，+）上，f（x）0，f（x）递增，f（x）至多一个零点，不符题意； 当时，在（0，+）上，f（x）0，f（x）递减，f（x）至多一个零点，不符题意；当时，令f（x）=0，解得，此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+）上递减，x11x2，f（x1）f（1）f（x2），即f（x1）0，f（x2）0，使得f（x0）=0，又，f（x）恰有三个不同的零点：综上所述，a的取值范围是【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，
30、利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目20（16分）（2017春海陵区校级月考）定义：从一个数列an中抽取若干项（不少于三项）按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成等差（等比）的子数列叫做an的等差（等比）子列（1）记数列an的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列a3n是数列an的等差子列；（2）设等差数列an的各项均为整数，公差d0，a5=6，若数列a3，a5，a是数列an的等比子列，求n1的值；（3）设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比q1，若数列an存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值【考点】等差数列与
31、等比数列的综合【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n2时，an=SnSn1，求得an，进而得到a3n，运用等差数列的定义，即可得证；（2）求得公比q=，运用等比数列的中项的性质，可得a=6，再由等差数列的通项公式，可得n1=5+，讨论d的取值，可得所求值；（3）设数列a为数列an的等差子列，kN*，nkN*，公差为d，运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，可得|d|=|a1|q|q1|，讨论|q|1，|q|1，运用不等式的性质，可得矛盾，进而得到q=1【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=n2（n1）2=2n1，上式对n=1也成
32、立则an=2n1故a3n=23n1=6n1，当n2时，a3（n+1）a3n=6，故数列a3n是数列an的等差子列；（2）a3=a52d=62d，公比q=，数列a3，a5，a是数列an的等比子列，可得a=6，又a=a5+（n15）d=6+（n15）d，则6=6+（n15）d，即有n1=5+，由d为非零整数，n1为正整数，可得d=1，n1=8或d=2，n1=11或d=3，n1=6，所以n1的值为6，8，11；（3）公比q的所有取值为1理由：设数列a为数列an的等差子列，kN*，nkN*，公差为d，a=a1q，a=a1q，有|aa|=|a1|q|q1|当|q|1时，|q1|q|1，所以|d|=|aa|a1|q|（|q|1）取nk1+log|q|，所以|aa|d|，即|d|d|，矛盾；当|q|1时，|d|=|a1|q|q1|a1|q|（|q|+1）2|a1|q|，取nk1+log|q|，所以|aa|d|，即|d|d|，矛盾所以|q|=1，又q1，可得q=1【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查推理分析能力，属于难题和易错题 高考资源网 高考资源网