1、2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1设全集U=R，若集合A=1，2，3，4，B=x|2x3，则AB=2sin20cos10+cos20sin10=3设xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的条件（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）4方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为5已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于6曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程是7设函数，则f（f（1）的值是8设函数f（x）=cosx（0）
2、，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于9已知sin（45）=，且090，则cos2的值为10已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为11已知方程x3ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是12已知数列an满足an+1=qan+2q2（q为常数），若a3，a4，a55，2，1，7，则a1=13已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，DAB=60，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设，则的最小值是14已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数 当x0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+
3、af（x）+b=0，a，bR有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共10小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15如图已知四边形AOCB中，|=5， =（5，0），点B位于第一象限，若BOC为正三角形（1）若cosAOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为，求cos2的值16在等比数列an中，a1=1，且a2是a1与a31的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足求数列bn的前n项和17如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，A=90，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AE
4、F建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，AEF的面积为S（1）设AE=x，求S关于x的函数关系式；设AEF=，求S关于的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值18设函数f（x）=，（a0，bR）（1）当x0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x，2的值域为5，6，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）k（kR）的零点个数19设数列an，bn，cn满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意nN*，有bn+1=，cn+1=（1）求数列cnbn的通项公式；（2）
5、若数列an和bn+cn都是常数项，求实数a的值；（3）若数列an是公比为a的等比数列，记数列bn和cn的前n项和分别为Sn和Tn，记Mn=2Sn+1Tn，求Mn对任意nN*恒成立的a的取值范围20设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3x2（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x（0，+），使f（x）g（x），求实数a的取值范围； （3）若使方程f（x）g（x）=0在xe，en（其中e=2.7为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an，数列an的前n项和为Sn，求证：Sn321设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M1；（2）求直线4x9y=1在M2
6、的作用下的新曲线的方程22在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程23班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）24已知数列an满足，记数列an的前n项和为Sn，cn=Sn2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（bn）|bn|sin|（2）证明数列cn是递减数列2015
7、-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1设全集U=R，若集合A=1，2，3，4，B=x|2x3，则AB=2，3【考点】交集及其运算【专题】计算题；定义法；集合【分析】由A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：全集U=R，A=1，2，3，4，B=x|2x3，AB=2，3，故答案为：2，3【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2sin20cos10+cos20sin10=【考点】两角和与差的余弦函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和
8、的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：sin20cos10+cos20sin10=sin（20+10）=sin30=，故答案为：【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题3设xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由|x2|1得1x21，得1x3，由x2+x20得x1或x2，则（1，3）（，2）（1，+），故“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故答案为
9、：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键4方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为2【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），可得3x+2=2x+4，解得x=2，经检验可知x=2是方程的解故答案为：2【点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验5已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则
10、a6的值等于32【考点】等比数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8q3=8，解得q=2a6=25=32故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程是xy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】求出曲线的导函数，把x=1代
11、入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数y=2xlnx知y=2，把x=1代入y得到切线的斜率k=2=1则切线方程为：y2=（x1），即xy+1=0故答案为：xy+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程7设函数，则f（f（1）的值是16【考点】函数的值【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数求解函数值即可【解答】解：函数，则f（f（1）=f（1+3）=f（4）=24=16故答案为：16【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力8设函数f（x）=cosx（0
12、），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于6【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2的整数倍，容易得到结果【解答】解：y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cos（x）=cos（x）；函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2的整数倍，所以 =2k所以=6k，kZ；0的最小值等于：6故答案为：6【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型9已知sin（
13、45）=，且090，则cos2的值为【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】由090，则454545，求得cos（45），再由=（45）+45，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到【解答】解：由于sin（45）=，且090，则454545，则有cos（45）=，则有cos=cos（45+45）=cos（45）cos45sin（45）sin45=，则cos2=2cos21=21=，故答案为：【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题10已知ABC的一个内角为120，并且
14、三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理【专题】综合题；压轴题【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x4，根据余弦定理表示出cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：设三角形的三边分别为x4，x，x+4，则cos120=，化简得：x16=4x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC的面积S=610sin120=15故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差
15、数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题11已知方程x3ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（，3）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】方程x3ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围【解答】解：方程x3ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f（x）=2x，可得f（x）在（1，+）单调递增，在（0，1）递减，在（，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a3故答案为：（，3）【点评】学会用导数及单调性处理根的存
16、在与个数问题，极值是解决此问题的关键是中档题12已知数列an满足an+1=qan+2q2（q为常数），若a3，a4，a55，2，1，7，则a1=2或或79【考点】数列递推式【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列【分析】观察已知式子，移项变形为an+1+2=q（an+2），从而得到an+2与an+1+2的关系，分an=2和an2讨论，当an2时构造公比为q的等比数列an+2，进而计算可得结论【解答】解：an+1=qan+2q2（q为常数，），an+1+2=q（an+2），n=1，2，下面对an是否为2进行讨论：当an=2时，显然有a3，a4，a55，2，1，7，此时a1=2；当an
17、2时，an+2为等比数列，又因为a3，a4，a55，2，1，7，所以a3+2，a4+2，a5+23，0，1，9，因为an2，所以an+20，从而a3+2=1，a4+2=3，a5+2=9，q=3或a3+2=9，a4+2=3，a5+2=1，q=代入an+1=qan+2q2，可得到a1=，或a1=79；综上所述，a1=2或或79，故答案为：2或或79【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题13已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，DAB=60，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设，则
18、的最小值是【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意画出图形，把都用含有的式子表示，展开后化为关于的函数，再利用基本不等式求最值【解答】解：如图，AB=2，AD=1，DAB=60，=当且仅当，即时，上式等号成立故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题14已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数 当x0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，bR有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）（，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；函数的
19、性质及应用【分析】依题意f（x）在（，2）和（0，2）上递增，在（2，0）和（2，+）上递减，当x=2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0要使关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，bR有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2（1，），（2）t1（0，1，t2（1，），符合题意，讨论求解【解答】解：依题意f（x）在（，2）和（0，2）上递增，在（2，0）和（2，+）上递减，当x=2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0要使关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，bR有且只有6个不同实数根，
20、设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2（1，），此时a=t1+t2，则a（，）；（2）t1（0，1，t2（1，），此时同理可得a（，1），综上可得a的范围是（，）（，1）故答案为：（，）（，1）【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题二、解答题：本大题共10小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15如图已知四边形AOCB中，|=5， =（5，0），点B位于第一象限，若BOC为正三角形（1）若cosAOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为，求cos2的值【考点】平面向量
21、数量积的运算；任意角的三角函数的定义【专题】平面向量及应用【分析】（1）设AOB=，cos=，sin=可得：xA=，yA=（2）B，计算.，可得cos=【解答】解：（1）设AOB=，cos=，sin=xA=yA=5=A（2）B，=5， =5cos=cos2=2cos21=【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16在等比数列an中，a1=1，且a2是a1与a31的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（1）设
22、等比数列an的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简bn=2n1+（），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，a2是a1与a31的等差中项，即有a1+a31=2a2，即为1+q21=2q，解得q=2，即有an=a1qn1=2n1；（2）=an+=2n1+（），数列bn的前n项和=（1+2+22+2n1）+（1+）=+1=2n【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题17如图，某市若规划一居民小区AB
23、CD，AD=2千米，AB=1千米，A=90，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，AEF的面积为S（1）设AE=x，求S关于x的函数关系式；设AEF=，求S关于的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）设AF=y，由勾股定理可得y=（由y0可得0x），即可得到S的解析式；AF=xtan，EF=，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由得S=（0
24、x），设1x=t（t1），则x=1t，可得S=（32t）运用基本不等式，可得最大值及x的值【解答】解：（1）设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1xy）2，解得y=（由y0可得0x），可得S=xy=（0x）；AF=xtan，EF=，由x+xtan+=1，可得x=，即有S=xy=（0）；（2）由得S=（0x），设1x=t（t1），则x=1t，S=（32t）（32）=，当且仅当2t=，即t=，即x=1时，直角三角形地块AEF的面积S最大，且为【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题18设函数f（x）=，（a0，bR）
25、（1）当x0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x，2的值域为5，6，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）k（kR）的零点个数【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x）时，f（x）0，x（1，2时，f（x）0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2x）+1k，根据（2）
26、便可判断g（x）的单调性，从而得出g（x）最小值为5k，这样讨论5k和0的关系即可得出g（x）零点的情况【解答】解：（1）证明：；（2），；，a0；时，f（x）0，x（1，2时，f（x）0；x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；f（）=6，或f（2）=6；解得a=2，b=1；（3）g（x）=2（2x+2x）+1k；y=2x为增函数；由（2）知，2x1，即x0时，g（x）单调递减，x0时，g（x）单调递增；x=0时，g（x）取到最小值5k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；5k0，即k5时，g（x）有两个零点；5k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；5k0，即k5时，g（x）
27、没有零点【点评】考查已知f（x）求fg（x）的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断19设数列an，bn，cn满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意nN*，有bn+1=，cn+1=（1）求数列cnbn的通项公式；（2）若数列an和bn+cn都是常数项，求实数a的值；（3）若数列an是公比为a的等比数列，记数列bn和cn的前n项和分别为Sn和Tn，记Mn=2Sn+1Tn，求Mn对任意nN*恒成立的a的取值范围【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（1）根据
28、条件建立方程关系即可求出求数列cnbn的通项公式；（2）b1+c1=4，数列an和bn+cn都是常数项，即有an=a，bn+cn=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得an=an，由Mn=2b1+（2b2c1）+（2b3c2）+（2bn+1cn）=2+a+a2+an，由题意可得a0且a1，0|a|1运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围【解答】解：（1）由于bn+1=，cn+1=cn+1bn+1=（bncn）=（cnbn），即数列cnbn是首项为2，公比为的等比数列，所以cnbn=2（）n1；（2）bn+1+cn+1=（bn+cn）+an，因为b1+c1=4，数
29、列an和bn+cn都是常数项，即有an=a，bn+cn=4，即4=4+a，解得a=2；（3）数列an是公比为a的等比数列，即有an=an，由Mn=2Sn+1Tn=2（b1+b2+bn）（c1+c2+cn）=2b1+（2b2c1）+（2b3c2）+（2bn+1cn）=2+a+a2+an，由题意可得a0且a1，0|a|1由2+对任意nN*恒成立，即有2+，解得1a0或0a故a的取值范围是（1，0）（0，【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力20设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3x2（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在
30、x（0，+），使f（x）g（x），求实数a的取值范围； （3）若使方程f（x）g（x）=0在xe，en（其中e=2.7为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an，数列an的前n项和为Sn，求证：Sn3【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a在（0，+）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）g（x）=0，即为a=在xe，en上有解，求得h（x）在xe，en上
31、的最小值，可得an=（1+n）en，由错位相减法求得Sn，再由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x0，当x时，f（x）0，f（x）递增；当0x时，f（x）0，f（x）递减即有x=处取得极小值，也为最小值；（2）存在x（0，+），使f（x）g（x），即为a在（0，+）成立，设h（x）=，h（x）=，当x1时，h（x）0，h（x）递减；当0x1时，h（x）0，h（x）递增即有x=1处取得极大值，也为最大值1，则a1，即a的取值范围是（，1）；（3）证明：方程f（x）g（x）=0，即为a=在xe，en上有解，由（2）可得h
32、（x）=在（e，1）递增，在（1，en递减，由een，可得x=en处取得最小值，且为（1+n）en，前n项和为Sn=2e1+3e2+4e3+（1+n）en，eSn=2e0+3e1+4e2+（1+n）e1n，相减可得，（e1）Sn=2+e1+e2+e3+e1n（1+n）en=1+（1+n）en化简可得Sn=en（+n+1）3故Sn3成立【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题21设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M1；（
33、2）求直线4x9y=1在M2的作用下的新曲线的方程【考点】几种特殊的矩阵变换【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换【分析】（1）根据矩阵M，求出它的逆矩阵M1；（2）根据题意，求出M2以及对应M2的表达式，写出对应新曲线方程【解答】解：（1）M=，M1=；（2）M2=，M2=；又4x9y=1，xy=1，即所求新曲线的方程为xy=1【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题22在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程【考点
34、】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数得三角函数，利用正弦函数的性质得出m的最值；（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程【解答】解：（1）m=3（1+cos）+4sin=3+3cos+4sin=3+5sin（+）（sin=，cos=）1sin（+）1，2m8即m的取值范围是2，8（2）圆C的普通方程为（x1）2+y2=1，即x2+y22x=0圆C的极坐标方程为=2cos【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题23班上有四位同学申请A，B，C三
35、所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且XB（4，），由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）=，
36、恰有2人申请A大学或B大学的概率为（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且XB（4，），P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 PE（X）=4=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用24已知数列an满足，记数列an的前n项和为Sn，cn=Sn2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（bn）|bn|sin|（2）证明数列cn是递减数列【考点】数列的求和【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点
37、列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）由于，可得bn+1=1+bn，利用等差数列的通项公式可得bn=n对任意正整数n，要证明|sin（bn）|bn|sin|，只要证明：|sinn|n|sin|，利用数学归纳法证明即可（2）由（1）可得：，解得an=2cn=Sn2n+2ln（n+1），当n2时，可得cncn1=2（ln）（n2）令1+=x，记f（x）=lnx（x1），利用导数研究其单调性即可得出【解答】证明：（1），bn+1=1+=1+bn，bn+1bn=1，数列bn是等差数列，首项b1=1，公差为1bn=1+（n1）=n对任意正整数n，要证明|sin（bn）|bn|sin|，只要证明：|sin
38、n|n|sin|，（*）下面利用数学归纳法证明：当n=1时，（*）成立假设n=k时，（*）成立，即|sink|k|sin|，则当n=k+1时，|sin（k+1）|=|sinkcos+cosksin|sink|cos|+|cosk|sin|sink|+|sin|（k+1）|sin|，即n=k+1时，（*）成立由可知：对任意正整数n，|sin（bn）|bn|sin|（2）由（1）可得：，解得an=2cn=Sn2n+2ln（n+1），当n2时，cn1=Sn12（n1）+2lnn，cncn1=an2+2ln=+2ln=2（ln）（n2）令1+=x，记f（x）=lnx（x1），f（x）=1=0，f（x）在上单调递减，f（x）f（1）=0，ln0cncn10，即cncn1，数列cn是递减数列【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题