1、江西省萍乡市2016届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则等于（ ）A1 B C D【答案】C考点：复数概念即运算.KS5U【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以
2、多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题. 2.已知集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：,.考点：集合交并补.3.已知，且，则（ ）A B C D【答案】A考点：三角函数恒等变形.4.公元263年左右，中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：，）A6 B12 C24 D48【答案】C【解析】试题分析：，判断为否，判断为否，此时，判断
3、为是，退出循环，输出考点：算法与程序框图.5.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ） A0 B C D0或【答案】C考点：直线与圆的位置关系.6.已知为单位向量，则的最大值为（ ）A6 B5 C4 D3【答案】B【解析】试题分析：设，最大值为.考点：向量运算.KS5U7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长是（ ）A B C6 D【答案】D【解析】试题分析：由图可知，该几何体为四棱锥，如下图所示，最长的棱长为.考点：三视图.8.已知实数满足约束条件，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A考点：线性规划.9.已知函数的图
4、象如图所示，则（ ）A B C D【答案】D考点：三角函数图象与性质.10.已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，故，代入双曲线方程，故渐近线为.考点：直线与圆锥曲线位置关系.KS5U11.老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答，已知甲、乙两位同学能正确回答KS5UKS5U.KS5U该问题的概率分别为0.4与0.5，在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（ ）A B C D【答案】B考点：条件概型.【思路点晴】事件在另外一个事件已经发生条件下的发生概率.条件概率表示
5、为，读作“在条件下的概率”.条件概率在概率论中占有相当重要的地位，是概率论基础知识中的一个基本概念.在条件概率定义的基础上，进一步探讨概率的性质、计算极其重要公式，有助于解决各种条件概率方面的问题.条件概率在题目中会有明显的提示，如本题中“在这个问题已被解答的条件下”.12.已知函数，同时满足条件：或；KS5UKS5UKS5U，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：当时，当时，不符合题意，排除D.当时，当，不符合题意，排除A，C，故选B.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题考查指数函数、二次函数图象与性质，考查了简单的分类讨论思想，考查了特殊值排除法这个选择
6、题中的解题技巧.在题目已知的两个函数中是由函数向下平移两个单位所得，所以当时，时，对于函数它的两个零点是，当我们选取特殊值时，结合图象就能解决本题.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.在的展开式中，常数项为 .【答案】考点：二项式展开式.14.已知函数的导函数的图象关于原点对称，则 .【答案】【解析】试题分析：依题意关于原点对称，时为奇函数，符合题意.考点：函数导数.15.是长宽高分别为12,3,4的长方体外接球表面上一动点，设到长方体各个面所在平面的距离为，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：当在长方体各个顶点时，距离.到长方体各个面所在平
7、面的距离，也即是半径减去或加上圆心到各个面的距离，依题意可知，圆的半径为，所以距离分别为和，故取值范围为.考点：立体几何.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心16.在中，点在边上，且满足，则的值为 .【答案】【思路点晴】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理.对于解三角形的题目，我们先将图形画出来，其中，而题目又有条件，那么我们就
8、可以设，由此得出完整的图形如上图所示.题目给了，那么第一个方程就用角的余弦定理来表示，而题目要求的是角的余弦值，那么我们就在大小两个三角形中分别用余弦定理表示，联立方程组就可以求解.KS5U三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列中所有整数项的值.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由，得，即，数列是公差为5的等差数列.首项，.（2）若为整数，则必为偶数.又，时，；时，由于，中整数项只有第2项，且.考点：等差、等比数列.18.（本小题满分12分）如图，是等腰直角三角形，分
9、别为的中点，沿将折起，使得二面角为.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1），分别为的中点，.又，且，面，则面，又，则面，即为二面角的平面角，所以，又，则，又，面，则面，因为面，故.考点：空间向量与立体几何. KS5U19.（本小题满分12分）户外运动已经成为一种时尚运动，某公司为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本公司全体650人中随机抽取50人进行问卷调查.（1）通过对挑选的50人进行调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男员工5女员工10合计50已知在这50人中随机挑选1人，此人喜欢户外运动的概率是0.6，
10、请将列联表补充完整，并估计该公司男、女员工各多少人；（2）估计有多大的把握认为喜欢户外运动与性别有关，并说明你的理由；（3）若用随机数表法从650人中抽取员工，现规定从随机数表（见附表）第2行第7列的数开始往右读，在最先挑出的5人中，任取2人，求取到男员工人数的数学期望.附：0.150100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 1
11、6 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】（1）列联表见解析，；（2）有的把握认为喜欢户外运动与性别有关；（3）.试题解析：（1）依题意，50人中喜欢户外运动的人为人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男员工20525女员工101525合计302050所以该公司男员工人数为，则女员工人.（2），有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关.考点：1.独
12、立性检验；2.超几何分布.KS5U20.（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆，右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上两个动点，直线与椭圆的另一交点分别为，且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由.【答案】（1）；（2）四边形的面积为定值.【解析】试题分析：（1）由题意知：，又，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，设点，可得，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆得，写出根与系数关系，根据化简得.利用弦长公式和点到直线距离公式，计算.（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆得，设，有，.，得，化简得：，原点到直
13、线的距离，综上，四边形的面积为定值.考点：直线与圆锥曲线位置关系.KS5U【方法点晴】第一问是方程的思想，已知椭圆的离心率，也就是知道，那么我们只需要再有一个条件，就可以求出椭圆的方程，本题中另一个已知条件是“右焦点到椭圆上的点的距离的最大值”，这个距离的最大值为，在解题中我们可以直接运用.第二问是设而不求的方法，先设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系计算面积，化简得到面积为.21.（本小题满分12分）已知函数，.（1）若在处和图象的切线平行，求的值；（2）设函数，讨论函数零点的个数.KS5UKS5UKS5U【答案】（1）；（2）时，没有零点；时，有个零点；时，有个零点
14、；时，有个零点；时，有个零点.【解析】试题分析：（1），切线平行，即斜率相等，把零代入可计算得；（2）对分成三类进行分类讨论. 当时，在单增，故时，没有零点. 当时，显然有唯一的零点.当时，又分成三类进行讨论.，在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当等号成立），有两个根（当时只有一个根），在单增，令，为减函数，故，只有一个根.时有3个零点；时有2个零点；时，有3个零点.综合以上讨论：时，没有零点；时有1个零点；时有3个零点；时有2个零点；时，有3个零点.考点：1.函数导数与不等式；2.函数零点问题.【方法点晴】有关切线的问题，主要突破口就在斜率和切点，本题中，已知条件“在处和图象的切线平行”翻
15、译过来也就是说在处，这两个函数的导数相等，这样我们分别求出这两个函数的导数，列出方程，就可以求解出.注意到第一问的结论不能用在第二问，但是第二问在分类讨论的时候，有一种情况就是.KS5U请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知与圆相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且.（1）求证：四点共圆；（2）若，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1），又，.又，故，所以四点共圆.（2）由相交弦定理得：，.KS5UKS5UKS5U，.又，.由切割线定理得：，所以为
16、所求.考点：几何证明选讲.KS5UKS5U23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1），即，代入，得，即曲线的方程为.由，所以的极坐标方程为；（2）由（1）得，将代入，得，即，代入，得，即，所以.考点：坐标系与参数方程.KS5U24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，解不等式；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当时，利用零点分段法去绝对值，化简得，分别令它们大于等于，解得；（2）利用绝对值不等式，由于，则，所以.试题解析：（1）由已知可得：由时，成立；时，即，所以.所以的解集为.（2）.由于，则所以.考点：不等式选讲.