1、专题八 系列4选讲第一讲 坐标系与参数方程(选修44)核心知识整合 选讲考点突破 栏目导航 题型专项练 专题限时训练 新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yxx0.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2圆的极坐标方程若圆心为 M(0，0)，半径为 r，则圆的方程为：220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为
2、 r：r(02)；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：2acos 22；(3)当圆心位于 Ma，2，半径为 a：2asin(0b0)的参数方程是xacos，ybsin(其中 是参数)椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，yasin(其中 是参数)(3)直线经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是xx0tcos，yy0tsin(其中 t 是参数)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页类型一 坐标系与极坐标突破极坐标与直角坐标的互化公式例 1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，
3、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；解析(1)由 xcos，ysin 得 C2 的直角坐标方程为(x1)2y24.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程解析(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且
4、l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且l1 与 C2 有两个公共点新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|k2|k21 2，故k43或 k0.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故k0 或 k43.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共
5、点；当 k43时，l2 与 C2 没有公共点.综上，所求 C1 的方程为 y43|x|2.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 xcos 及 ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos，sin，2 的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解
6、答(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小.提醒：在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1(2019高考全国卷)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B2，4，C2，34，D(2，)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，1，2，(1，)，曲线 M1 是弧AB，曲线 M2 是弧BC，曲线 M3 是弧CD.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程；解析：(1)由题设可得，弧AB，BC，CD
7、所在圆的极坐标方程分别为 2cos ，2sin ，2cos .所以 M1 的极坐标方程为 2cos 04，M2 的极坐标方程为 2sin 434，M3 的极坐标方程为 2cos 34 .新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且|OP|3，求 P 的极坐标解析：(2)设 P(，)，由题设及(1)知若 04，则 2cos 3，解得 6；若434，则 2sin 3，解得 3或 23；若34，则2cos 3，解得 56.综上，P 的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回
8、导航下一页类型二 参数方程及应用突破参数方程消参数的等价性例 2(2019西安模拟)已知曲线 C1：x4cos t，y3sin t(t 为参数)，C2：x 3cos，ysin(为参数)(1)将 C1，C2 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解析(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：x23y21，C1 为圆心是(4,3)，半径是 1 的圆，C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 3，短半轴长是 1 的椭圆新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：x3
9、t，y2t(t 为参数)距离的最小值解析(2)当 t2时，P(4,4)，Q(3cos，sin)，故 M2 32 cos，212sin 新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页C3 为直线 xy50，M 到 C3 的距离d32 cos 12sin 92 22 sin3 9，从而当 sin3 1 时，d 取得最小值 4 2.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1.将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，
10、如 sin2cos21.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数 t，确定 xf(t)，再代入普通方程，求得 yg(t)，即可化为参数方程xft，ygt.常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作参数3利用曲线的参数方程设出动点的坐标，再进行距离等有关计算，可使运算过程简便.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2已知动点 P，Q 都在曲线 C：x2cos t，y2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为 t与 t2(02)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；解析：(1)依题意有 P(2cos，2si
11、n)，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为xcos cos 2，ysin sin 2(为参数，02)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点解析：(2)M 点到坐标原点的距离 d x2y2 22cos(02)当 时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页3(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos，y4sin(为参数)，直线 l 的参数方程为x1tc
12、os，y2tsin(t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161.当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率解析：(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin)t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t2
13、0.又由得 t1t242cos sin 13cos2，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1(2018高考全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点(1)求 的取值范围；解析：(1)O 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，O 的直角坐标方程为 x2y21，圆心为 O(0,0)，半径 r1.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页当 2时，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x0，成立；
14、当 2时，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l 的方程为 ytan x 2.直线 l 与O 交于 A，B 两点，圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d21tan21，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页tan21，tan 1 或 tan 1，42或234，综上，的取值范围是4，34.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解析：(2)直线 l 的参数方程为xtcos，y 2tsin t为参数，434.设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB2，且 tA，tB 满足 t22 2tsin 10.于是
15、 tAtB2 2sin，tP 2sin.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页又点 P 的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点 P 的轨迹的参数方程是x 22 sin 2，y 22 22 cos 2为参数，434.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2(2019湖北一模)已知直线 l 的参数方程为x135t，y145t(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos 0，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P(1，1)(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；解析：(1)由题意可知，直线 l 的参数方程为x13
16、5t，y145t(t 为参数)，消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 4x3y70.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos 0，即 2sin24cos，由 xcos，ysin 可得，曲线 C 的直角坐标方程为 y24x.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)求 1|PA|1|PB|的值解析：(2)由题意，可将直线的参数方程x135t，y145t代入 y24x，得1625t24t30.根据参数方程的意义，可设|PA|t1|，|PB|t2|，则 t1t2254，t1t27516.1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1|t2|t1|t2|t1t2t1t2 t1t224t1t2|t1t2|4 3715.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页专题限时训练