1、湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学（理）试题本试卷分三个大题，共22小题，满分150分。考试用时120分钟。考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答案无效。3考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回。、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求
2、的。1若复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为A2iB2C-iD-12下列命题中，真命题是A BC D3在等差数列中，且，则的最大值是A B C D4已知函数的图象如图所示 =A B C D5 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 A B C D 6双曲线与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于A2BCD7设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“”的平面A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对8若按x升幂展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为 9 下列四个命题中， ；设回归直线方程为当变量x增加一个单位时，y大约减少2
3、.5个单位；已知服从正态分布N（0，），且，则： 对于命题错误的个数是A0个B1个C2个D3个10点P是底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则 取值范围是A0，2B0，3C0，4D2，2二：填空题。本题须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。11已知 .12若一个圆台的主视图如图所示，则其全面积等于 . 13三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .14定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“伴随函数” 有下列关于“伴随函数”的结论：是常数函数中唯
4、一一个“伴随函数”；“伴随函数”至少有一个零点；是一个“伴随函数”；其中不正确的结论序号是 选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题 共5分。15（几何证明选讲选做题）. 如图，已知,则圆的半径OC的长为 16（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为为参数），平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴为以极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l截圆C所得的弦长为 。三解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）设角A，B，C为A
5、BC的三个内角。（1）设时，取极大值，试求的值；（2）当A取（1）中的时，而，求BC边长的最小值。18（本小题满分12分）某市电视台的娱乐频道“好声音”节目，制定第一轮晋级第二轮的规则如下；每名选手准备三首歌曲，按规定顺序唱，第一首歌专业评审团全票通过则直接晋级到第二轮；否则唱第二首歌和第三首歌，第二首歌由专业评审团投票是否通过，第三首歌由媒体评审团投票是否通过。若第二首歌获得专业评审团三分之二票数以上通过，且第三首歌获得媒体评审团三分之二票数以上通过，晋级到第二轮；若第二首歌，没有获得专业评审团三分之二票数通过，但第三首歌，媒体评审团全票通过，也同样晋级到第二轮，否则淘汰。某名选手估计自己三
6、首歌通过的概率如下表：若晋级后面的歌就不需要唱了，求（1）求该选手唱歌首数的分布列及数学期望；（2）求该选手晋级概率。19（本小题满分12分）如图给出的多面体ABCA1B1C1和它的三视图。（1）线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1，若不存在请说明理由，若存在请找出并证明；（2）求平面C1A1C与平面A1CA所成锐二面角的余弦值。2（本小题满分1分）设正项数列的前项和是，若都是等差数列，且公差相等，求的通项公式；（2）若恰为等比数列的前三项，记数列的前n项和为，求证：对任意21（本小题满分13分）已知点， （1）求P的轨迹C的方程；（2）是否存在过点l与曲线C相交于A，B两点，并且
7、曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。2（本小题满分14分） 已知函数，（）求函数的极值；（）判断函数在区间上零点的个数，并给予证明；（）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输出的值 天门市2013届高三模拟测试（一）数学（理）试题参考答案、选择题： DDCCD BDDCC 二：填空题。112 12 13 14 155 16三解答题：17.解：（1）因为. 2分因为，则.由，得，所以，即.4分所以当时，为增函数；当时，为减函数.故，取极大值= 6分（2）由知，8分而， 10分当且仅当时，边长的最
8、小值为 12分18.解:（1）=1，3。 13P0.20.8 6分（2）设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为A，第二首歌三分之二以上专业评审团通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评审团通过且第三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为B、C 。则7分9分11分该选手晋级的概率为： 12分19证明：由（1）知两两垂直，如图建系，则，1分设，则3分设则，4分由，得所以线段上存在一点，使平面6分另证：补形成正方体，易证（2）设平面的法向量为，则由，得，取，则故，8分而平面的一个法向量为，则11分平面与平面所成的锐二面角余弦值为12分2
9、.解：设的公差为，则，且2分又，所以，4分，分（2） 易知分， 分。当时，9分 当时，+，且故对任意，1分。21.解：（1） P的轨迹是以MN为焦点，长轴长为的椭圆 所以的轨迹的方程为4分（2）设，由题意知的斜率一定不为0，故不妨设，代入椭圆方程整理得，显然 则，8分假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，则点的坐标为。由点在椭圆上，即整理得10分又在椭圆上，即故将代入由解得即直线的方程是：，即13分22（）， ，1分当时，；当时，.3分当时，取得极小值，无极大值.4分（）函数在区间上有且只有一个零点. 5分证明如下：， ， ，函数在区间上必定存在零点. 6分 ，当时， 在区间上单调递增， 8分 函数在区间上的零点最多一个. 9分 综上知：函数在区间上存在唯一零点 （）程序框图的算法功能：找出最小的正整数,使的零点满足. 10分， 当时，；当时，. 11分又在区间上单调递增，当时，；当时，.13分输出的值为4 14分