1、课时作业1若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()ABCD答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e，故选C2已知椭圆1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A4B5C7D8答案D解析椭圆焦点在y轴上，a2m2，b210m.又c2，m2(10m)c24.m8.3(2019杭州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A1By21C1D1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1.选A4椭圆1上一点M到焦点F1的距离为
2、2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2B4C8D答案B解析|ON|MF2|(2a|MF1|)(102)4，故选B5(2019河南豫北联考)已知点P是椭圆y21(a1)上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，则PAB的面积为()A2BCD1答案D解析由题可得1，a22，解得a(负值舍去)，则SPAB2a1，故选D6(2019吉林长春模拟)椭圆y21的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是()A1,1B1,0C0,1D1,2答案C解析由椭圆方程得F1(1,0)，F2(1,0)，设P(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，则x2y210,1，故选C7(2019湖南郴州模拟)设
3、e是椭圆1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()A(0,3)BC(0,3)D(0,2)答案C解析当k4时，c，由条件知；当0k4时，c，由条件知1，解得0kb0)，如图，由题意知，2a4，a2，CBA，BC，点C的坐标为(1,1)，点C在椭圆上，1，b2，c2a2b24，c，则椭圆的两个焦点之间的距离为.11(2019山西八校联考)椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为()ABCD答案A解析在椭圆1中，a5，b4，所以c3.故椭圆左、右焦点分别为F1(3,0)，F2(3,0)由AB
4、F2的内切圆周长为，可得内切圆的半径为r.ABF2的面积AF1F2的面积BF1F2的面积|y1|F1F2|y2|F1F2|(|y1|y2|)|F1F2|3|y1y2|(A，B在x轴的上下两侧)，又ABF2的面积r(|AB|BF2|F2A|)(2a2a)a5，所以3|y1y2|5，即|y1y2|.12(2019湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A1B1C1D1答案C解析由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|FF|知，FPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得
5、|PF|8，由椭圆定义，得|PF|PF|2a6814，从而a7，得a249，于是b2a2c2725224，所以椭圆C的方程为1，故选C13设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为_答案解析设|PF2|m，PF2F1F2，PF1F230，|PF1|2m，|F1F2|m.又|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c.2a3m,2cm，C的离心率为e.14(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_.答案(3，)解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为
6、圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)15(2019浙江高考)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_答案解析如图，左焦点F(2,0)，右焦点F(2,0)线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM2.在FFP中，OMPF，所以PF4.根据椭圆的定义，得PFPF6，所以PF2.又因为FF4，所以在RtMFF中，tanPFF，即直线PF的斜率是.16(2020南充模拟)已知椭圆C：1(ab0)的
7、一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线yx相交于P，Q两点，且0，3，则椭圆C的标准方程为_，圆A的标准方程为_答案y21(x2)2y2解析如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则ATPQ.0，即APAQ，|AT|PQ|.又3，|OT|PQ|.，即.由已知得半焦距c，a24，b21，故椭圆C的方程为y21.又|AT|2|OT|24，|AT|24|AT|24，|AT|，r|AP|.圆A的方程为(x2)2y2.17(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF
8、1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)18(2019成都一诊)已知椭圆1的右焦点为F，设直线l：x5与x轴的
9、交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BNl.解由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)(1)直线l1的倾斜角为，斜率k1.直线l1的方程为yx1.代入椭圆方程，可得9x210x150.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|.(2)证明：设直线l1的方程为yk(x1)代入椭圆方程，得(45k2)x210k2x5k2200.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设N(5，y0)，A，M，N三点共线，y0.而y0y
10、2y2k(x21)0.直线BNx轴，即直线BNl.19(2019广东广州联考)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点A(2,1)(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点A的直线l：ykxm与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值解(1)因为椭圆C的焦距为2，且过点A(2,1)，所以1,2c2.又因为a2b2c2，由以上三式解得a28，b22，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x22，则y1kx1m，y2kx2m.由消去y并整理，得(4k21)x28kmx4m280，则x1x2，x1x2.因为kAPkAQ
11、0，所以，化简得x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40.即2kx1x2(m12k)(x1x2)4m40.所以4m40，整理得(2k1)(m2k1)0.因为直线l不经过点A，所以2km10，所以k.所以直线PQ的斜率为定值，该值为.20(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k0)，因为B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立，得整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以直线PB的斜率为或.