1、第4讲导数与函数的综合应用基础知识整合1通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：3不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题1把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法2利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想1(2019四川南充一诊)若函数f(x)x3x2a
2、x4在区间(1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()A(1,5)B1,5)C(1,5D(，1)(5，)答案A解析由题意知f(x)3x22xa0在区间(1,1)内恰有一根(且在根两侧f(x)异号)f(1)f(1)(5a)(1a)01a2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)答案B解析由f(x)2x4，得f(x)2x40.设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2.因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1.故选B3若函数f(x)
3、x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2)B2,2C(，1)D(1，)答案A解析f(x)3x23，令f(x)0，x1.三次方程f(x)0有3个根f(x)极大值0且f(x)极小值0.x1为极大值点，x1为极小值点2a2.4(2019沈阳模拟)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)答案C解析由题设，f(x)为R上任意可导函数，不妨设f(x)(x1)2，则f(x)2(x1)，满足(x1)f(x)2(x1)20，且f(0)1，f(1)0，f(2)1，则有f(0)f(2)2f(1)；再设f(x)1，则f(x)0，也满足(x1
4、)f(x)0，且有f(0)f(2)2f(1)，即1121.5(2019贵阳模拟)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7B(，20C(，0D12,7答案B解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或3.因为f(1)7，f(2)0，f(2)20，所以f(x)的最小值为f(2)20，故m20.6已知aln x对任意的x恒成立，则a的最大值为_.答案0解析令f(x)ln x，f(x)，当x时，f(x)0，f(x)minf(1)0，a0，故a的最大值为0.核心考向突破考向一导数与方程例1(2019武汉市高三二调)已知函数f(
5、x)xexa(ln xx)，aR.(1)当ae时，判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，当ae时，f(x)，令f(x)0，得x1，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)记tln xx，则tln xx在(0，)上单调递增，且tR.f(x)xexa(ln xx)etat，令g(t)etat.f(x)在x0上有两个零点等价于g(t)etat在tR上有两上零点当a0时，g(t)et，在R上单调递增，且g(t)0，故g(t)无零点；当a0，g(t)在R上单调递增，又g(0)10，g
6、e10时，由g(t)eta0可知g(t)在tln a时有唯一的一个极小值g(ln a)a(1ln a)若0a0，g(t)无零点；若ae，g(t)极小值0，g(t)只有一个零点；若ae，g(t)极小值a(1ln a)0，由y在xe时为减函数，可知当ae时，ln ealn ae，又yln x在(0，)上单调递增，则eaaea2，从而g(a)eaa20，g(x)在(0，ln a)和(ln a，)上各有一个零点综上，当ae时，f(x)有两个零点，即实数a的取值范围是(e，)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)
7、值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现即时训练1.已知函数f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然对数的底数，e2.71828.(1)证明：函数h(x)f(x)g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)g(x)的根的个数，并说明理由解(1)证明：由题意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e30，所以h(1)h(2)0，因此(x)在(0，)上单调递增，易知(x)在(0，)内至多有一个零点，即h(x)在0，)内至多有两个零点，则h(x)在0，)上有且只有两个零点，所以方程f(x)g(x)的根的个数为2.精准设计考向，多角度探究突
8、破考向二导数与不等式 角度证明不等式例2已知函数f(x)xln xax.(1)当a1时，求函数f(x)在(0，)上的最值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x1成立解(1)函数f(x)xln xax的定义域为(0，)当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得x.当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增因此f(x)在x处取得最小值，即f(x)minf，但f(x)在(0，)上无最大值(2)证明：当x0时，ln x1等价于x(ln x1).由(1)知a1时，f(x)xln xx的最小值是.设G(x)，x(0，)，则G(x)，易知G(x)maxG(1)
9、，从而可知对一切x(0，)，都有f(x)G(x)，即ln x1.(1)利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口(2)若待证不等式两端式子较复杂，可通过分析法转化为形式较简单的不等式，再构造函数证明即时训练2.(2019银川模拟)已知函数f(x)(xb)(exa)(b0)的图象在(1，f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a，b；(2)若m0，证明：f(x)mx2x.解(1)由题意
10、知f(1)0，f(1)1，所以f(1)(1b)0，所以b1或a，又f(x)(xb1)exa，所以f(1)a1，若a，则b2e0矛盾，故a1，b1.(2)证法一：由(1)可知f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0，由m0，可得xmx2x，令g(x)(x1)(ex1)x，则g(x)(x2)ex2.当x2时，g(x)(x2)ex222时，令h(x)g(x)(x2)ex2，则h(x)(x3)ex0，故函数g(x)在(2，)上单调递增，又g(0)0，所以当2x0时，g(x)0时，g(x)0.综上，当x(，0)时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，
11、故g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x.故f(x)mx2x.证法二：由(1)可知f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0，由m0，可得xmx2x，令g(x)(x1)(ex1)x，则g(x)(x2)ex2，令t(x)g(x)，则t(x)(x3)ex，当x3时，t(x)0，g(x)单调递减，且g(x)3时，t(x)0，g(x)单调递增，且g(0)0.所以g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，且g(0)0.故g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x.故f(x)mx2x.角度2不等式恒成立问题例3(2019陕西教学质量检测)设函数f(x)ln x，k
12、R.(1)若曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；(2)若对任意的x1x20，f(x1)f(x2)0)，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，f(e)0，即0，得ke，f(x)(x0)，由f(x)0得0x0得xe，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增当xe时，f(x)取得极小值，且f(e)ln e2.f(x)的极小值为2.(2)由题意知，对任意的x1x20，f(x1)f(x2)x1x2恒成立，即f(x1)x10)，则h(x)在(0，)上单调递减，h(x)10在(0，)上恒成立，即当x0
13、时，kx2x2恒成立，k.故k的取值范围是.求解不等式恒成立问题的方法(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)f(x)g(x)或“右减左”的函数u(x)g(x)f(x)，进而只需满足h(x)min0或u(x)max0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论(2)分离函数法：分离函数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，若av(x)在xD上恒成立，则av(x)max；若av(x)在xD上恒成立，则av(x)min.即时训练
14、3.(2019大连模拟)已知函数f(x)(x1)exax2(e是自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x0，f(x)exx3x，求实数a的取值范围解(1)f(x)xex2axx(ex2a)当a0时，由f(x)0得x0得x0，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有1个极值点；当0a0得x0，由f(x)0得ln (2a)x时，由f(x)0得xln (2a)，由f(x)0得0x0且a时，f(x)有2个极值点；当a时，f(x)没有极值点(2)由f(x)exx3x得xexx3ax2x0.当x0时，exx2ax10，即a对任意的x0恒成立
15、设g(x)，则g(x).设h(x)exx1，则h(x)ex1.x0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，即exx1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)g(1)e2，ae2，所以实数a的取值范围为(，e2角度3赋值法证明正整数不等式例4(2019合肥模拟)已知函数f(x)ln xax1.(1)若曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线l与直线4x3y30垂直，求a的值；(2)若f(x)0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3)证明：ln (n1)(nN*)解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，f(1)ln 1a11a，f(1)1
16、a.故切线l的方程为y(1a)(1a)(x1)，即y(1a)x.因为切线l与直线4x3y30垂直，所以4(1a)3(1)0，解得a.(2)若a0，则f(x)a0，所以f(x)在(0，)上是增函数而f(1)1a0，f(x)0不恒成立若a0，则当x时，f(x)a0；当x时，f(x)a0.所以f(x)在上是增函数，在上是减函数所以f(x)的最大值为fln a.要使f(x)0恒成立，则ln a0，所以a1.故实数a的取值范围是1，)(3)证明：由(2)知，当a1时有f(x)0在(0，)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)0，所以ln x0)则年总产值为4k800(4sincoscos)
17、3k1600(cossincos)8000k(sincoscos)，.设f()sincoscos，.则f()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1)，令f()0，得，当时，f()0，所以f()为增函数；当时，f()0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少解(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)；水底作业时的用氧量为100.99(升)；返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，总用氧量y9(v0)(2)y，令y0得v10.当0v10时，y10时，y0函数单调递增当0c10时，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时，
18、总用氧量最少；当c10时，函数在c,15上单调递增，此时vc时，总用氧量最少综上可知，当0c10，v10时，总用氧量最少；当c10，vc时，总用氧量最少(2019兰州模拟)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.由g(x)0得x0或x，又x0,2，所以g(x)在上是单调递减函数，在上是单调递
19、增函数，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在上，函数f(x)ming(x)max.由(1)可知在上，g(x)的最大值为g(2)1.在上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，则h(x)12xln xx，令(x)12xln xx，(x)(2ln x3)，当x时，(x)f2(x2)f1(x1)minf2(x2)max.(2)x1a，b，x2c，d，使f1(x1)f2(x2)f1(x1)maxf2(x2)
20、min.(3)x1a，b，x2c，d，使f1(x1)f2(x2)f1(x1)minf2(x2)min.(4)x1a，b，x2c，d，使f1(x1)f2(x2)f1(x1)maxf2(x2)max.对点训练已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a1时，证明：f(x)2；(2)设g(x)x22bx4，当a时，若x1(0,2)，x21,2，f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围解(1)证明：当a1时，f(x)ln xx1，则f(x)1，所以当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)2，故f(x)2.(2)依题意得f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在1,2上的最小值，即f(x1)ming(x2)min.当a时，f(x)ln xx1，所以f(x)，当0x1时，f(x)0，当1x0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以当x(0,2)时，f(x)minf(1).又g(x)x22bx4，x1,2，当b1时，易得g(x)ming(1)52b，则52b，解得b，这与b2时，易得g(x)ming(2)84b，则84b，解得b.综上，实数b的取值范围是.