1、2016年江西航空职业技术学院高考数学单招试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1函数的定义域是2x1是的条件3方程log3（1+23x）=x+1的解x=4已知是第二象限的角，tan=，则sin（90+）=5已知函数f（x）=，则f（5）=6若a3，则a+的最小值是7若，则sin+cos的值为8f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=3x，则f（2）=9已知A，B，C是ABC的内角，并且有sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，则C=10若不等式|x+1|+|x2|a恒成立，则a的取值范围是11函数在1，2上单调递减，则a的取值组成的集合是12若tan
2、，则cos（A+B+C）=13对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m的值是14设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数f（x）在D内是单调函数；存在a，bD，f（x）在a，b上的值域为a，b如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15已知集合M=xZ|x21，N=xR|1x2，则MN=（）A1，0，1B0
3、，1C1，0D116A，B是三角形ABC的两个内角，则“sinAsinB”是AB的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要17已知函数在区间D上的反函数是它本身，则D可以是（）Al，lB0，1C（0，）D，118a0，a1，函数f（x）=在3，4上是增函数，则a的取值范围是（）A或a1Ba1CD或a1三、简答题（12+14+14+16+18=74分）19已知命题P：“函数在（1，+）上单调递增”命题Q：“幂函数在（0，+）上单调递减”（1）若命题P和命题Q同时为真，求实数m的取值范围；（2）若命题P和命题Q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围20已知函数，（1）求函数f（x）
4、的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，求AC边的长21已知定义在区间，上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x时，函数y=sinx（1）求f（），f（）的值；（2）求y=f（x）的表达式（3）若关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相应a的取值范围22我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足当P=Q时
5、的市场价格称为市场平衡价格为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值23已知函数f（x）=，（x0）（a0）（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当a0时，函数在（0，）上单调递减，在上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；（3）若函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围2016年江西航空职业技术学院高考数学单招试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1函数的定义域是0，+）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的定义域及其求法【分析】由题意可得 10，即，由此解得 x的范围，即得函数的定义域【解答】解
6、：由函数可得，10，即，解得 x0，故函数的定义域是0，+），故答案为0，+）2x1是的充分不必要条件条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由充分条件与必要条件的概念即可判断【解答】解：x11成立，充分性成立；而10x0或x1，即1不能推出x1，必要性不成立；x1是的充分不必要条件故答案为：充分不必要3方程log3（1+23x）=x+1的解x=【考点】指数函数与对数函数的关系【分析】由方程可得 1+23x=3x+1，化简可得 3x=1，由此求得方程的解【解答】解：由 方程可得 1+23x=3x+1，化简可得 3x=1，故x=0，故答案为 04已知是第二象限的角，tan=，则si
7、n（90+）=【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系【分析】利用已知条件求出的一个值，然后求出表达式的值【解答】解：因为是第二象限的角，tan=，所以=2k+，kZ，所以sin（90+）=cos=cos=故答案为：5已知函数f（x）=，则f（5）=8【考点】函数的周期性；有理数指数幂的化简求值【分析】此是分段函数求值，当x4时，所给表达式是一递推关系，其步长为1，故可由此关系逐步转化求f（5）的值【解答】解：当x4时，f（x）=f（x1）f（5）=f（4）=f（3）而当x4时，f（x）=2xf（5）=f（3）=23=8故答案为：86若a3，则a+的最小值是7【考点】基本不等式【分析】
8、依题意将a+化为（a3）+3能用基本不等式即可【解答】解：a3，a+=（a3）+34+3=7（当且仅当a=5时取“=”）故答案为：77若，则sin+cos的值为【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】利用诱导公式与正弦的二倍角公式可将条件转化为sin（+）=，从而可得sin+cos的值【解答】解：=2cos（）=2sin（+）=，sin（+）=，sin+cos=sin（+）=故答案为：8f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=3x，则f（2）=9【考点】函数奇偶性的性质【分析】由f（x）为奇函数且x0时，f（x）=3x，可得f（2）=f（2），代入可求【解答】解：f（x）为奇函数
9、且x0时，f（x）=3x，f（2）=f（2）=32=9故答案为：99已知A，B，C是ABC的内角，并且有sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，则C=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】先利用余弦定理表示出cosC，再利用正弦定理化简已知的等式，变形后代入表示出的cosC中，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数【解答】解：由正弦定理化简已知的等式得：a2+b2=c2+ab，即a2+b2c2=ab，cosC=，又C为三角形的内角，则C=故答案为：10若不等式|x+1|+|x2|a恒成立，则a的取值范围是a3【考点】绝对值不等式【分析】求出绝对值
10、的表达式的最小值，即可求出a取值范围【解答】解：因为|x+1|+|x2|的几何意义是数轴上的点到1，与到2的距离之和，显然最小值为3，所以a的取值范围是：a3故答案为：a311函数在1，2上单调递减，则a的取值组成的集合是4【考点】二次函数的性质【分析】令f（x）=x2ax+4，根据二次函数的性质可得且f（2）=82a0，可求【解答】解：令f（x）=x2ax+4函数在1，2上单调递减，且f（2）=82a0a=4则a的取值组成的集合4故答案为：412若tan，则cos（A+B+C）=1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】将已知条件中的切化弦，逆用两角和的余弦整理可得cos（+）=0，再利
11、用二倍角的余弦即可求得cos（A+B+C）的值【解答】解：tan+tantan+tantan=1，而tan+tantan=，1tantan=，sinsin=coscos，即coscossinsin=0，cos（+）=0，cos（A+B+C）=21=1故答案为：113对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m的值是4【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】由新定义的运算x*y=ax+by+cxy，及1*2=3，2*3=4，构造方程组，可得
12、到参数a，b，c之间的关系又由有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值【解答】解：由题意，1*2=a+2b+2c=3，2*3=2a+3b+6c=42得b2c=2，即b=2c+2，代入得a=16c又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，a+cm=1且bm=0m为非零实数，b=0=2+2cc=1（16c）+cm=11+6m=1m=4m的值为4故答案为414设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数f（x）在D内是单调函数；存在a，bD，f（x）在a，b上的值域为a，b如果f（x）=为闭
13、函数，那么k的取值范围是【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】函数f（x）=是，+）上的增函数，因此若函数f（x）=为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）因此方程k=x在，+）上有两个不相等的实数根a、b最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：【解答】解：k是常数，函数y=是定义在，+）上的增函数，函数f（x）=是，+）上的增函数，因此，若函数f（x）=为闭函数，则存在区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所
14、示），可得方程k=x在，+）上有两个不相等的实数根a、b令t=，得x=，设函数F（x）x=g（t），（t0）即g（t）=t2t，在t0，1时，g（t）为减函数1g（t）；在t1，+）时，g（t）为增函数g（t）1；当时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x，当f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：故答案为：二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15已知集合M=xZ|x21，N=xR|1x2，则MN=（）A1，0，1B0，1C1，0D1【考点】交集及其运算【分析】根据题意，分析可得，
15、M=1，0，1，N=xR|1x2，进而求其交集可得答案【解答】解：M=xZ|x21=xZ|1x1=1，0，1，N=xR|1x2，MN=0，1故选B16A，B是三角形ABC的两个内角，则“sinAsinB”是AB的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由正弦定理知=2R，故sinAsinBabAB，故可得结论【解答】解：AB，ab，a=2RsinA，b=2RsinB，sinAsinB反之，由正弦定理知=2R，sinAsinB，ab，AB“AB”是“sinAsinB”的充要条件故选C17已知函数在区间D上的反函数是它本身，则D可以
16、是（）Al，lB0，1C（0，）D，1【考点】反函数【分析】由题设条件，可以先求出函数的定义域，再观察四个选项，那一个的范围包含在所求的集合内，则其必为D【解答】解：由题意01x2，故得1x1，且函数的值域为0，1又函数在区间D上的反函数是其本身，故函数必为一单调函数且自变量与函数值取值范围相同由此知M=（0，1）故选B18a0，a1，函数f（x）=在3，4上是增函数，则a的取值范围是（）A或a1Ba1CD或a1【考点】对数函数图象与性质的综合应用【分析】对a分a1与0a1，利用复合函数的单调性结合函数g（x）=|ax2x|的图象列出符合条件的不等式组，解之即可【解答】解：a0，a1，令g（x
17、）=|ax2x|作出其图象如下：函数f（x）=在3，4上是增函数，若a1，则或，解得a1；若0a1，则，解得a；故选A三、简答题（12+14+14+16+18=74分）19已知命题P：“函数在（1，+）上单调递增”命题Q：“幂函数在（0，+）上单调递减”（1）若命题P和命题Q同时为真，求实数m的取值范围；（2）若命题P和命题Q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】（1）由题设知P：m1，Q：1m3，由此能求出当命题P和命题Q同时为真时，实数m的取值范围（2）当命题P和命题Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，由此能求了若命题P和命题Q有且只有一个真命题时，实数
18、m的取值范围【解答】解：（1）命题P：“函数在（1，+）上单调递增”命题Q：“幂函数在（0，+）上单调递减”P：m1，Q：1m3，当命题P和命题Q同时为真时，实数m的取值范围是：1m1（2）当命题P和命题Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，当P真Q假时，解得实数m的取值范围是：m1当P假Q真时时，解得实数m的取值范围是：1m3综上所述，若命题P和命题Q有且只有一个真命题，实数m的取值范围（，11，320已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，求AC边的长【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）把f（x）利用诱导公式，二倍角
19、的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数值化简得到一个角的正弦函数，利用周期的公式求出周期即可；（2）根据f（A）=1利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinA=cosA即A=，然后根据正弦定理即可求出AC的值【解答】解：（1）由得到：f（x）=cos2x+sinxcosx=+=（cos2x+sin2x）+=，T=；（2）f（A）=cos2A+sinAcosA=1移项得：sinAcosA=1cos2A=sin2A，因为A为锐角，所以sinA0sinA=cosA，则根据正弦定理得： =即=，所以AC=21已知定义在区间，上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x时，函数y=sinx（1）求f（
20、），f（）的值；（2）求y=f（x）的表达式（3）若关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相应a的取值范围【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）由题意可求f（）=f（）=sin=0，f（）=f（）=sin=（2）设，则，由f（x）=f（）=sin（）=cosx，即可解得分段函数的解析式f（x）=（3）作函数f（x）的图象，若f（x）=a有解，则a0，1，分情况讨论即可得解【解答】解：（1）f（）=f（）=sin=0，f（）=f（）=sin=3分（2）设，则，f（x）=f（）=sin（）=cosx，
21、f（x）=6分（3）作函数f（x）的图象如下：显然，若f（x）=a有解，则a0，1若0，f（x）=a有两解，Ma=；若a=，f（x）=a有三解，Ma=；若a1，f（x）=a有四解，Ma=；若a=1，f（x）=a有两解，Ma=；综上所述，当0a或a=1时，f（x）=a有两解，Ma=；当a=时，f（x）=a有三解，Ma=；当时，f（x）=a有四解，Ma=12分22我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足
22、当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值【考点】指数函数综合题【分析】第一问能根据图象求出k、b的值第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，x9，m（0，则t=，对称轴m=（0，且开口向下；时，t取得最小值，此时x=9税率t的最小值为23已知函数f（x）=，（x0）（a0）（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当a0时，函数在（0，）上单调递减，在上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；（3）若
23、函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围【考点】反函数；函数单调性的性质【分析】（1）讨论a，分为a0，0a1，a1，从而得到函数的单调区间；（2）根据（1）中a1时的单调区间可知=且a1，解得a的值；（3）欲使函数f（x）在区间内有反函数即在该区间上单调，讨论a（a1）的正负可求出所求【解答】解：（1）当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，0）及（0，），当0a1时，函数f（x）的单调递增区间为（，0）及（0，+），当a1时，函数f（x）的单调递增区间为（，）及（，+）（2）由题设及（1）中知=且a1，解得a=3，因此函数解析式为f（x）=（x0） （3）1#当a（a1）0即a0或a1时由图象知解得a（，+）2#当a=1时，函数为正比例函数，故在区间内存在反函数，所以a=1成立3#当a（a1）0，得到，从而得a（，）综上a（，（，）1，+）2016年6月29日
