1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 章末归纳总结 第二章 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 知 识 结 构 2误 区 警 示 3自 主 演 练 5知 识 梳 理 1题 型 探 究 4第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 知 识 梳 理第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版
2、 数学 选修1-1 坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，并利用它们的几何性质解决有关几何问题第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数与方程的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法求轨迹方程的方法常用
3、的有：直接法、定义法、代入法，要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法；要注意有关弦长问题中韦达定理的应用，需特别注意的是，直线平行于抛物线的轴时与抛物线只有一个交点，直线平行于双曲线的渐近线时与双曲线只有一个交点下表是对焦点在x轴上的椭圆、双曲线、抛物线列表做整理你可以仿照对焦点在y轴上情况自己列表整理第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 知 识 结 构第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选
4、修1-1 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 误 区 警 示第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1椭圆的定义|PF1|PF2|2a中，应有2a|F1F2|；双曲线定义|PF1|PF2|2a中，应有2a0，b0)的渐近线方程为 ybax；双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为 yabx.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 题 型 探 究第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 求过点A(2,0)且与圆x24xy23
5、20相内切的圆的圆心轨迹方程圆锥曲线定义的应用解析 将圆x24xy2320的方程变形为：(x2)2y236，圆心为B(2,0)，半径为6.如图，设动圆的圆心M坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C，则|BC|MC|BM|.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1|BC|6，|BM|CM|6.又动圆过点 A，|CM|AM|，则|BM|AM|64.根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(2,0)和点 A(2,0)为焦点的椭圆，其中，2a6,2c4，a3，c2.b2a2c25.故所求圆心的轨迹方程为x29y251.第二章 章末归纳总结成才之路
6、高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 在ABC 中，C(4,0)，B(4,0)，动点 A 满足 sinBsinC12sinA，求点 A 的轨迹方程分析 由已知条件 sinBsinC12sinA，可以考虑利用正弦定理转化为三角形边的关系，再根据双曲线的定义即可写出点 A 的轨迹方程第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 在ABC 中，由 sinBsinC12sinA 及正弦定理，得|AC|AB|12|BC|，又点 C(4,0)，B(4,0)，|BC|8，|AC|AB|4，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的一支(靠近 B 点，除去
7、点(2,0)，2a4,2c|BC|8，即 a2，c4，b2c2a212.点 A 的轨迹方程为x24y2121(x2)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x50 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程解析 如图，设点 M 的坐标为(x，y)，由于点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x50 的距离小 1，则点 M 到点F(4,0)的距离与它到直线 l：x40 的距离相等，根据抛物线的定义可知点 M的轨迹是以 F 为焦点，直线 l为准线的抛物线，且p24，即 p8.点 M 的轨迹方程为 y216x
8、.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断曲线类别再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 直线与圆锥曲线的位置关系(2014陕西文，20)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y12xm 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C、D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l
9、的方程第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得 a2，b 3，c1，椭圆的方程为x24y231.(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l 的距离 d2|m|5，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 由 d1 得|m|0，即 k1 时，l 与 C 相交.(3)当 1 时，l 与 C 相离当 k0 时，直线 l 方程为 y1，显然与抛物线 C 交于(14，1)综上所述，当 k1 时，l 与 C 相切；当 k1 时，l 与 C 相离
10、第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 1.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以 转 化 为 相 应 方 程 组 的 解 的 讨 论，即 联 立 方 程 组AxByC0fx，y0，通过消去 y(也可以消去 x)得到 x 的方程 ax2bxc0 进行讨论这时要注意考虑 a0 和 a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除 a0，0 外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2求圆
11、锥曲线被直线所截弦长常用的方法是设而不求，结合根与系数的关系，利用弦长公式求弦长3弦长公式|P1P2|1k2 x1x224x1x2或|P1P2|11k2 y1y224y1y2.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 “中点弦”问题焦点分别为(0,5 2)和(0，5 2)的椭圆截直线 y3x2 所得弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程分析 解法一：设出椭圆的方程，再与直线方程联立消去 y，由中点横坐标为12建立方程，再与 a2b2c2 解方程组即可得 a2，b2.解法二：由“点差法”求解第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选
12、修1-1 解析 解法一：设椭圆的方程为x2b2y2a21(ab0)，且 a2b2(5 2)250.由 x2b2y2a21y3x2，消去 y 得(a29b2)x212b2x4b2a2b20.x1x2212，6b2a29b212，即 a23b2.，此时 0.由得 a275，b225，椭圆的方程为x225y2751.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解法二：设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，直线 y3x2 与椭圆交于 A、B 两点，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21a2x21b21，y22a2x22b21.得y1y2y1y2a2x1
13、x2x1x2b2即y1y2x1x2 a2x1x2b2y1y2.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 kAB3，AB 中点为(x0，y0)，x012，y012，3a2b2212212a2b2，即 a23b2.又 a2b2(5 2)250，a275，b225.椭圆方程为y275x2251.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x2a2y2b21，直线与椭圆
14、交于点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 由得 a2(y21y22)b2(x21x22)0，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 轨迹问题已知椭圆方程为 x2y241，过点 M(0,1)的直线交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点 P 满足OP 12(OA OB
15、)，当直线 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程解析 设 P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)OP 12(OA OB)，xx1x22，yy1y22.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 点 A、B 在椭圆上，x21y2141，x22y2241，得(x1x2)(x1x2)14(y1y2)(y1y2)0，当 x1x2 时，y1y2x1x2y1x，又 x1x22x，y1y22y，代入式，得 4x2y2y0.当 x1x2 时，点 P 与坐标原点 O 重合，满足题意故动点 P 的轨迹方程为 4x2y2y0.方法规律总结 求轨迹方程常用的方法有
16、直译法、定义法、代入法、参数法、交轨迹等.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 定点、定值、最值问题(2014河北衡水中学模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点(2,0)，且椭圆 C 的离心率为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若动点 P 在直线 x1 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且 P 为线段 MN 中点，再过 P 作直线 lMN.试问直线l 是否恒过定点，若是则求出该定点的坐标，若不是请说明理由第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)因为点(2,0)在椭圆 C
17、上，所以4a20b21，所以 a24，因为椭圆 C 的离心率为12，所以ca12，即a2b2a214，解得 b23,所以椭圆 C 的方程为x24y231.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 (2)设 P(1，y0)，y0(32，32)，当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 yy0k(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由3x24y212，yy0kx1，得(34k2)x2(8ky08k2)x(4y208ky04k212)0，所以 x1x28ky08k234k2，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选
18、修1-1 因为 P 为 MN 中点，所以x1x221，即8ky08k234k2 2.所以 k 34y0(y00)，因为直线 lMN，所以 kl4y03，所以直线 l 的方程为 yy04y03(x1)，即 y4y03(x14)，显然直线 l 恒过定点(14，0)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 x1，此时直线 l 为 x 轴，也过点(14，0)综上所述直线 l 恒过定点(14，0)方法规律总结 求解曲线过定点问题，一般可建立含参数的曲线的方程，然后说明无论参数取何值曲线 C 过定点，有时可先通过特殊
19、情形找出定点，再进行证明第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 如右图所示，直线 y12x与抛物线 y18x24 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与直线 y5 交于点 Q.(1)求点 Q 的坐标；(2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A，B)的动点时，求OPQ 面积的最大值分析 联立直线和抛物线的方程，从函数的角度入手解决问题第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)解方程组y12x，y18x24，得x14，y12，x28，y24，即 A(4，2)，B(8,4)，从而 AB 的中点为
20、 M(2,1)由 kAB12，得线段 AB 的垂直平分线方程为 y12(x2)令 y5，得 x5.Q(5，5)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 (2)直线 OQ 的方程为 xy0，设 P(x，18x24)，点 P 到直线 OQ 的距离 d|x18x24|2 18 2|x28x32|，|OQ|5 2.SOPQ12|OQ|d 516|x28x32|，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点，且 P 不在直线 OQ上，4x4 34 或 4 34b0)上的两点，已知 m(x1b，
21、y1a)，n(x2b，y2a)，若 mn0 且椭圆的离心率 e 32，短轴长为 2，O 为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0，c)(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率 k 的值；(3)试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)2b2，b1，eca a2b2a 32 a2，c 3.椭圆的方程为y24x21.(2)由题意，设 AB 的方程为 ykx 3，由ykx 3，y24x21，消去 y 得(k24)x22 3kx10，x1x22 3kk24，
22、x1x2 1k24，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 由已知 a2，b1，mnx1x2b2 y1y2a2x1x214(kx1 3)(kx2 3)(1k24)x1x2 3k4(x1x2)34k244(1k24)3k4 2 3kk24 340.解得 k 2.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 (3)当直线 AB 斜率不存在时，即 x1x2，y1y2，由 mn0得 x21y2140，y214x21.又 A(x1，y1)在椭圆上，x214x214 1，|x1|22，|y1|2.故 S12|x1|y1y2|12 2
23、2 2 21.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 当直线 AB 斜率存在时：设 AB 的方程为 ykxb，由 ykxby24x21，得(k24)x22kbxb240，x1x22kbk24，x1x2b24k24.x1x2y1y24 0，x1x2kx1bkx2b40，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 代入整理得：2b2k24.故 S12|b|1k2|AB|12|b|x1x224x1x2|b|4k24b216k24 4b22|b|1.综合可知，三角形的面积为定值第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导
24、 北师大版 数学 选修1-1 自 主 演 练第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1(2014郑州模拟)如果点P(2，y0)在以点F为焦点的抛物线y24x上，则|PF|()A1 B2C3D4答案 C解析 根据抛物线的定义点P到点F的距离等于点P到其准线x1的距离d|2(1)|3，故C正确第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2(2014沈阳市质检)已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y34x，则此双曲线的离心率为()A.53B35C.54D45答案 C解析 焦点在 x 轴上，ba34，e
25、2c2a2a2b2a21(ba)22516，离心率为 eca54，故选 C.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 3(2014河南淇县一中模拟)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B 55C.12D 52第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 答案 B解析 由条件知，|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，由条件知，(2c)2(ac)(ac)，a25c2，e 55.第二章
26、 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 4(2014豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点，若F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆 C 的离心率为()A.22B 21C.21 或 22D 24答案 C解析 当F1F2P 为等腰直角三角形时，有 bc 或b2a 2c，解得 e 22 或 21.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 5(2014南昌调研)在平面直角坐标系中，O 是原点，OA(1,0)，P 是平面内的动点，若|OP OA|OPOA|，则 P
27、 点的轨迹方程是_答案 y22x1解析 设 P(x，y)，则OP(x，y)，又因为|OP OA|OP OA|，所以(x1)2y2x2，整理得 y22x1.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 6(2014抚顺市六校联合体期中)已知点 F1、F2 分别是双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABF2 为锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是_答案(1,1 2)解析 双曲线关于 x 轴对称，A、B 两点关于 x 轴对称，|F2A|F2B|，ABF2 为锐角三角形AF2B 为锐角AF2
28、F145|AF1|F1F2|，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 F1(c,0)，A(c，b2a)，即|AF1|b2a，又|F1F2|2c，b2a 2c，c22aca20，e22e10，1 2e1，1e1 2.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 7已知 F1 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，求|PF1|PA|的最小值解析 由双曲线定义得|PF1|PF2|4，其中 F2 为双曲线右焦点，|PF1|4|PF2|，原题可转化为在右支上求一点 P，使|PA|PF2|4 最
29、小，而|PA|PF2|最小值为 5.(当 P、A、F2 在同一直线上时)，(|PF1|PA|)min9.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 8已知双曲线C：x2y22右支上的弦AB过右焦点F，问：是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由解析 假设存在满足题意的直线 AB.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 lAB：yk(x2)由已知得，OAOB，故 x1x2y1y20，所以(1k2)x1x22k2(x1x2)4k20第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 x2y22ykx2(1k2)x24k2x4k220，所以 x1x2 4k2k21，x1x24k22k21(k21)联立，得 k210，无解，所以这样的直线 AB 不存在