1、2.2.2 间接证明第 2章 2.2 直接证明与间接证明1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.学习目标 栏目索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为证明.常见的间接证明的方法是.答案 间接反证法知识点二 反证法 1.反证法定义 假设原命题，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或
2、与矛盾等.答案 不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义、公理、定理、事实3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：答案 结论词 至少有一个 _ 至少有n个 至多有 个 反设词 _(不存在)至少有两个 至多有 个 至少有(n1)个 结论词 只有一个 对所有x成立 对x不成立 反设词 没有或至 少有两个 存在x不成立 存在某个x成立 结论词 都是 _ p或q Pq 反设词 _ 不一定是 綈p綈q 綈p或綈q 至多有一个n一个也没有(n1)任意某个一定是不都是且且答案 返回 思考(1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题
3、，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.(2)反证法主要适用于什么情形？答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.题型探究 重点突破 解析答案 题型一 用反证法证明结论否定的问题 例1 如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.证明 连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，ACBADB，CADC
4、BD.四边形ACBD为圆的内接四边形，ACBADB180，CADCBD180，ACB90，CAD90，对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，AB，CD不能互相平分.反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数.证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边奇数奇数偶数，右边奇数，得，偶数奇数，矛盾.假设不成立，a，b，c不可能都是奇数.解析答案 题型二 用反证法证明唯一性问题 例2 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.证明 假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba，又b
5、a，由平行公理知bb.这与bbA矛盾，故假设错误，所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面和一点P.求证：过点P与垂直的直线只有一条.证明 如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A(或P).假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立.解析答案 题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：
6、如果函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.(不考虑重根)证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实数根，设，为它的两个实数根，则f()f()0.因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()，这与f()f()0矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.反思与感悟 解析答案 跟踪训练 3 若 x，y 都是正实数，且 xy2，求证：1xy 2 与1yx 2 中至少有一个成立.证明 假设1xy 2 和1yx 2 都不成立，则有1xy 2 和1yx 2 同时成立.x0且y0，1x2y，且1y2x，两式相加，得2
7、xy2x2y，xy2，这与已知条件xy2相矛盾，1xy 2 与1yx 2 中至少有一个成立.易错易混 因反证法中的反设不当致误解析答案 返回 防范措施 例 4 用反证法证明：若 ab0，则 a b.当堂检测 123451.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设_.三角形中至少有两个直角或钝角答案 123452.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中_.每个内角都小于60答案 12345答案 3.“ab 123454.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设_.a与b相交 答案 解析答案 123455.已知a是整数，a2是偶数，求
8、证a也是偶数.证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数.设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.课堂小结 返回 1.反证法的证题步骤：(1)反设；(2)归谬；(3)存真，即假设不成立，原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.