1、专题三 立体几何第二讲 锥体中的线面关系与计算解答题专项练 选择填空题专项练 栏目导航 题型专项练 专题限时训练 新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面_，这样的棱锥叫做正棱锥2正棱锥的性质：各侧棱长度_，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形中心相等新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页3若球面上四点 P，A，B，C 构成的线段 PA，PB，PC 两
2、两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R2_，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)a2b2c2新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页类型一 锥体中的线面关系及线面角计算突破锥体概念及线面角例 1(本题满分 12 分)(2019绍兴三模)如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，BCAD，且 PBAD2AB2BC2CD，E 是 PD 的中点新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(1)求证：CE平面 PAB；解析(1)证明：如图，取 PA 中点 F，连接 EF，BF，E 为 PD 的中点，EFAD，且 EF12AD，(2 分)新课标高考第二轮总
3、复习理科数学 上一页返回导航下一页又 BCAD，BC12AD，EFBC，且 BCEF，四边形 BCEF 是平行四边形，ECFB，(4 分)又 BF平面 PAB，EC平面 PAB，CE平面 PAB.(5 分)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)求 BC 与平面 PCD 所成角的正弦值解析(2)连接 AC，在等腰梯形 ABCD 中可知 ACCD，PA平面 ABCD，PACD，CD平面 PAC，平面 PCD平面 PAC，(6 分)在平面 PAC 内作 AGPC 于 G，则 AG平面 PCD，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页故ADG 即为直线 AD 与平面 P
4、CD 所成的角，(8 分)而 BCAD，所以 BC 与平面 PCD 所成角也等于ADG，不妨设 AD2，在 RtACD 中，ACADsin 60 3，在 RtPAC 中，PC PA2AC2 6，AGPAACPC 36 62，在 RtADG 中，sinADGAGAD 64.故 BC 与平面 PCD 所成角的正弦值为 64.(12 分)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页【知规则规范解答】采点得分说明 直接由 ECFB，得出 CE平面 PAB，即无“BF平面 PAB，EC平面 PAB”扣 1 分(1)没有证明过程，直接得出ADG 即为直线 AD 与平面 PCD 所成的角扣 2 分(
5、2)其余各步均正确，求解 BC 与平面 PCD 所成角的正弦值错误扣 3 分新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1.(2018高考全国卷)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(1)证明：PO平面 ABC；解析：(1)证明：因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP2 3.连接 OB.因为 ABBC 22 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB12AC2.由 OP2OB2PB2，知 OPOB.由 OPOB，OPAC，ACOBO，知 PO平
6、面 ABC.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值解析：(2)如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2 3)，AP(0,2,2 3)，取平面 PAC 的法向量OB(2，0,0)设 M(a,2a,0)(0a2)，则AM(a,4a,0)设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z)新课标高考第二轮
7、总复习理科数学 上一页返回导航下一页由APn0，AM n0，得2y2 3z0，ax4ay0，可取 n(3(a4)，3a，a)，所以 cosOB，n2 3a42 3a423a2a2.由已知得|cosOB，n|32，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页所以2 3|a4|2 3a423a2a2 32，解得 a4(舍去)，a43，所以 n8 33，4 33，43.又PC(0,2，2 3)，所以 cosPC，n 34，所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 34.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】求锥体中线与面所成角的正(余)弦值，务必指明或求出
8、所需的各量，并代入公式计算，做到作、证、算于一体新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页类型二 与锥体有关的面面关系及异面直线形成的角 突破异面直线所成的角与向量夹角例 2 如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(1)证明：平面 AEC平面 AFC；解析(1)证明：连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由ABC
9、120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页在 RtFDG 中，可得 FG 62.在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22.从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，可得 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值解析(2)如图，以
10、G 为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为 x 轴、y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页由(1)可得 A(0，3，0)，E(1,0，2)，F1，0，22，C(0，3，0)，所以AE(1，3，2)，CF1，3，22.故|cosAE，CF|AECF|AE|CF|33.易知直线 AE 与直线 CF 间的夹角为锐角，所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2如图，多边形 ABCDE 中，ABC90，ADBC，ADE 是正三角形，AD2，ABBC1，沿直线 A
11、D 将ADE 折起至ADP 的位置，连接 PB，PC，构成四棱锥 PABCD，使得 PB 5.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(1)求证：平面 PAD平面 ABCD；解析：(1)证明：取 AD 的中点 O，连接 PO，OB，OC.可知 POAD，PO 3，OB 2，又PB 5，PO2OB2PB2.POOB，OBADO，PO平面 ABCD，PO平面 PAD.平面 PAD平面 ABCD.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)求二面角 DPCB 的余弦值解析：(2)以 O 为原点，OC，OD，OP 为坐标轴，建立如图所示坐标系，可知 C(1,0,0)，D(0,
12、1,0)，P(0，0，3)，B(1，1,0)，对于平面 PDC，设其法向量 m(x，y，z)，DP(0，1，3)，DC(1，1,0)y 3z0，xy0，取 z1，y 3，x 3.则 m(3，3，1)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页对于平面 BPC，设其法向量 n(a，b，c)，CP(1,0，3)，CB(0，1,0)，x 3z0，y0，取 z1，x 3，y0，则 n(3，0,1)，cosm，n nm|n|m|4722 77.二面角 DPCB 为钝角，其余弦值为2 77.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1空间两个向量的夹角已知两个非零向量
13、a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b，其范围是 0a，b.如果a，b2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2异面直线及其夹角不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角如果所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直3用向量法求异面直线所成的角的方法若异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，所成的角为，则 cos ab|a|b|.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标
14、高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页考点一 求与锥体有关的棱长或距离例3(2019南昌调研)已知三棱锥 PABC的所有顶点都在球 O的球面上，ABC满足 AB2 2，ACB90，PA 为球 O 的直径且 PA4，则点 P 到底面 ABC 的距离为()A.2 B2 2C 3 D2 3答案 B新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：求锥体中的距离问题一般转化为解直角三角形，通过连接截面圆圆心和球心构造直角三角形取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在ABC 中，AB2 2，ACB90，所以ABC 所在截面圆是以 AB 为直径的圆 O1，所以 O1A 2，
15、且 OO1AO1，又球 O的直径 PA4，所以 OA2，所以 OO1 OA2O1A2 2，且 OO1底面 ABC，所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO12 2.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，已知该几何体的体积为56 3，则图中 x()新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页A1 B 3C2 D2 3答案：B新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析：三视图表示的几何体如图
16、所示，其体积为 VACFBDEVGABEF12x111312x56 3，解得 x 3，故选 B.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页考点二 求与锥体有关的表面积或体积例 4 在正三棱锥 SABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB2 2，则正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为()A6 B12C32 D36新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：求与锥体有关的球的表面积或体积问题，一般先确定圆心位置，再求出半径，最后代入公式求解因为三棱锥 SABC 为正三棱锥，所以 SBAC，又 AMSB，ACAMA，所以SB平面 SAC，所
17、以 SBSA，SBSC，同理，SASC，即 SA，SB，SC 三线两两垂直，且 AB2 2，所以 SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积 S4R212，故选 B.答案 B新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页2(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_答案：40 2新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析：因为母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，所以 SA，SB 所成角的正弦值为 158.因为SAB 的面积为 5 15，
18、设母线长为 l，底面半径为 r，所以12l2 158 5 15，所以 l280.又 SA 与圆锥底面所成角为 45，所以 rlcos4 22 l，因此圆锥的侧面积为 rl 22 l240 2.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页1.(2019武汉期末)如图所示，在正四棱锥 SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线段 MN 上运动时，下列结论中不恒成立的是()AEP 与 SD 异面BEP面 SBDCEPACDEPBD答案：A新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析：如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 EM，EN.由正
19、四棱锥 SABCD，可得 SO底面 ABCD，ACBD，SOAC.SOBDO，AC平面 SBD，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，EMBD，MNSD，而 EMMNN，平面 EMN平面 SBD，AC平面 EMN，ACEP，故 C 恒成立由异面直线的定义可知，EP 与 BD 是异面直线，不可能 EPBD，故 D 不恒成立；由(1)可知，平面 EMN平面 SBD，EP平面 SBD，故 B 恒成立由(1)可知，EP 与 SD 分别在两个平行的平面内，且不平行，故 EP 与 SD 异面，故 A 恒成立新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返
20、回导航下一页2(2019 春海珠区期末)在三棱锥 ABCD 中，已知所有棱长均为 2，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为()A.36 B16C13 D 33答案：A新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析：取 AD 的中点 F，连接 EF，CF，则CEF 为所求，又 ECFC 3，EF1，则 cosCEF123 36，故选 A.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页3(2019福州三模)九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”如图，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD 2，BDCD.将其沿对角线 BD 折成
21、一个鳖臑 ABCD，则该鳖臑内切球的半径为_答案：212新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页解析：ADCD1，且ACD 为直角三角形，CDAD，又 CDBD，BDADD，CD平面 ABD，CDAB，又由 ABAD1，BD 2，得 ABAD，AB平面 ACD，ABAC，由题意得 AC 2，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页设内切球的半径为 r，则13(SABCSACDSABDSBCD)r13CDSABD，1322 1212 22 r13112，解得 r 212.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页4(2019高考北京卷)如图，在四棱锥 PABCD
22、 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且PFPC13.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(1)求证：CD平面 PAD；解析：(1)因为 PA平面 ABCD，所以 PACD.又因为 ADCD，所以 CD平面 PAD.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(2)求二面角 FAEP 的余弦值；解析：(2)过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M.因为 PA平面 ABCD，所以 PAAM，PAAD.如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(
23、0,2,0)，P(0,0,2)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页因为 E 为 PD 的中点，所以 E(0,1,1)所以AE(0,1,1)，PC(2,2，2)，AP(0,0,2)所以PF13PC23，23，23，AFAPPF23，23，43.设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z)，则nAE0，nAF0，即yz0，23x23y43z0.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页令 z1，则 y1，x1.于是 n(1，1,1)又因为平面 PAD 的法向量为 p(1,0,0)，所以 cosn，p np|n|p|33.由题知，二面角 FAEP 为锐角，所以其余弦值为 33.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页(3)设点 G 在 PB 上，且PGPB23.判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由解析：(3)直线 AG 在平面 AEF 内因为点 G 在 PB 上，且PGPB23，PB(2，1，2)，所以PG 23PB43，23，43，AG APPG 43，23，23.由(2)知，平面 AEF 的法向量 n(1，1,1)所以AG n4323230.所以直线 AG 在平面 AEF 内新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页返回导航下一页专题限时训练