1、课时提能演练(三十四)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012聊城模拟)已知各项不为0的等差数列an满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8()(A)2(B)4(C)8(D)162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()(A)10秒钟 (B)13秒钟(C)15秒钟 (D)20秒钟3.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S55
2、5，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()(A)(2,4) (B)(，) (C)(，1) (D)(1，1)4.已知实数等比数列an中，Sn是它的前n项和.若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于()(A)35 (B)33 (C)31 (D)295.(易错题)已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1b15，a1b1，a1、b1N*(nN*)，则数列的前10项的和等于()(A)65 (B)75 (C)85 (D)956.(2012合肥模拟)已知数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使
3、得Sn0的n的最小值为()(A)11 (B)19 (C)20 (D)21二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012温州模拟)设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和Sn等于.8.设Sn是数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”.若数列是首项为2，公比为4的等比数列，则数列bn(填“是”或“不是”)“和等比数列”.9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出万元资金进行奖励.三、解答题(
4、每小题15分，共30分)10.(预测题)已知数列an，bn，其中a1，数列an的前n项和Snn2an(nN*)，数列bn满足b12，bn12bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)是否存在自然数m，使得对于任意nN*，n2，有1恒成立？若存在，求出m的最小值.11.(2012盐城模拟)设数列an(n1,2，)是等差数列，且公差为d，若数列an中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a14，d2，求证：该数列是“封闭数列”.(2)若an2n7(nN*)，试判断数列an是否是“封闭数列”，为什么？(3)设Sn是数列an的前n项和，若公差d1，a10，试问：
5、是否存在这样的“封闭数列”，使.若存在，求an的通项公式；若不存在，说明理由.【探究创新】(16分)已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)x22x的图象上，且在点Pn(n，Sn)处的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan，求数列bn的前n项和Tn.答案解析1.【解析】选D.数列an是等差数列，a3a112a7，由2a3a2a110，得4a7a0，又an0，a74，b6b8b4216.2. 【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x2240，
6、即x2x2400.解得x15或x16(舍去).3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量与选项对比即可.【解析】选B.由S210，S555，得2a1d10,5a110d55，解得a13，d4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有(，)与(1,4)平行，故选B.4.【解析】选C.由a2a3a1a42a1得a42，又a42a7，a7，设等比数列an的公比为q，则a7a4q3，q3，q，a116，S531.5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得ana1n1，bnb1n1，a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3，数
7、列也是等差数列，且前10项和为85.【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.(1)由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an12an32n1的特点是除以2n1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列.(2)由前n项和Sn构造等差数列.(3)由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“1”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1，d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得Sn0的n的最小值.【解析】选C.方法一：由题意知d0，a100，a110，
8、a10a110，由得9.Snna1dn2(a1)n，由Sn0得n0或n1.19120，Sn0的解集为nN*|n1故使得Sn0的n的最小值为20.方法二：由题意知d0，a100，a110，a10a110，由a100知S190，由a110知S210，由a10a110知S200，故选C.7.【解析】ynxn1(n1)xn，y|x2n2n1(n1)2nn2n12n，切线方程为y2n(n2n12n)(x2)，令x0得y(n1)2n，即an(n1)2n，2n，Sn2n12.答案：2n128.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以
9、24n122n1，bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn是“和等比数列”.答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1，a2，a10，则anSn1，则a12，anan1(Sn1)(Sn11)(SnSn1)an，即an2an1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S102 046.答案：2 04610.【解析】(1)因为Snn2an(nN*)，当n2时，Sn1(n1)2an1.所以anSnSn1n2an(n1)2an1.所以(n1)an(n1)an1.即.又a1，所以ana1.当n1时，上式也成立，故an.因
10、为b12，bn12bn.所以bn是首项为2，公比为2的等比数列，故bn2n.(2)由(1)知，bn2n.则112.假设存在自然数m，使得对于任意nN*，n2，有1恒成立，即2恒成立.由2，解得m16.所以存在自然数m，使得对于任意nN*，n2，有1恒成立.此时m的最小值为16.11.【解析】(1)an4(n1)22n2，对任意的m，nN*，有aman(2m2)(2n2)2(mn1)2，mn1N*于是，令pmn1，则有ap2p2an.(2)a15，a23，a1a28，令ana1a28，即2n78解得nN*，所以数列an不是封闭数列.(3)由an是“封闭数列”，得：对任意m，nN*，必存在pN*使
11、a1(n1)a1(m1)a1(p1)成立，于是有a1pmn1为整数，又a10，a1是正整数.若a11，则Sn，所以2(1)，不符合题意，若a12，则Sn，所以(1)()，而()，所以符合题意，若a13，则Sn，所以(1)()，综上所述，a12时存在数列an是“封闭数列”，此时ann1(nN*).【探究创新】【解题指南】(1)将点Pn代入函数f(x)后，利用Sn与an的关系，求得an；(2)先求f(x)在点Pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出Tn.【解析】(1)点Pn(n，Sn)在函数f(x)x22x的图象上，Snn22n(nN*)当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S13满
12、足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由f(x)x22x，求导得f(x)2x2.在点Pn(n，Sn)处的切线的斜率为kn，kn2n2，bnan4(2n1)4n，Tn434454247434(2n1)4n，用错位相减法可求得Tn4n2.【变式备选】已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1,1, 3后顺次成为等比数列bn的前三项.(1)分别求数列an，bn的通项公式an，bn.(2)设Tn(nN*)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值.【解析】(1)设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比.由题意知，a11，a21d，a312d，分别加上1,1,3后得2,2d,42d是等比数列bn的前三项，(2d)22(42d)d2.an1an，d0.d2，an2n1(nN*).由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN*).(2)Tn 当n1时，T1；当n2时，Tn ，得Tn2().Tn133.Tn33.(3)2,3)，满足条件Tnc(cZ)恒成立的c的最小整数值为3.
