1、浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.向量 ， ，若 ，则 的值是（ ） A.B.C.D.2.已知向量 ， 满足 ，且 与 夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，若向量 对应的复数为 ，且 ，则 （ ） A.B.C.D.4.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） A.B
2、.C.D.5.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 ，则该正四棱锥外接球的表面积为（ ） A.16B.24C.36D.646.在 中， 是直角，则 （ ） A.无最大值，也无最小值B.有最大值，也有最小值C.有最大值，而无最小值D.有最小值，而无最大值7.在 中角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状为（ ） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等 腰三角形8.已知 是 的外心， 且 ，若 ，则 的值为（ ） A.B.C.D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.如图， 表示水平放置的 根据斜二测画法得到的直观图， 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，则下列说法正确的是（ ） A
3、. 的边 上的高为2B. 的边 上的高为4C.D.10.函数 ，下列结论正确的是（ ） A. 在区间 上单调递增B. 的图象关于点 成中心对称C.将 的图象向左平移 个单位后与 的图象重合D.若 则 11.在 中，根据下列条件解三角形，其中无解的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 12.如图所示，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 反射坐标系，若 ，则把有序数对 叫做向量 的反射坐标，记为 在 的反射坐标系中， 则下列结论中，正确的（ ） A.B.C.D. 在 上的投影向量为 三、填空题：本大题共6小题，每题5
4、分，共30分13.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45，腰和上底长均为 的等腰梯形，则原平面图形的面积为_ 14.设 为虚数单位，在复平面上，复数 对应的点位于第_象限 15.函数 在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为_ 16.在 中， ， ， 为 的三等分点，则 _ 17.在 中，点 是 上一点，且 ， 为 上一点，向量 ，则 的最小值为_ 18.已知向量 且 ，则 的取值范围是_ 四、解答题：本大题共5小题，每题12分，共60分19.已知平行四边形 中， ， ， ，点 是线段 的中点 （1）求 的值； （2）若 ，且 ,求 的值 20.如图，圆锥 的底面直径和高均是
5、 ，过 上的一点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱 （1）若 是 的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； （2）当 为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值 21.在 中，内角 所对的边分别为 若 （1）求角 的大小； （2）设 的中点为 ，且 ，求 的取值范围 22.如图，已知两条公路 ， 的交汇点 处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂 ，在两公路旁 ， （异于点 ）处设两个销售点，且满足 ， （千米）， （千米），设 （注： ） （1）试用 表示 ，并写出 的范围； （2）当 为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）
6、23.在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 三点满足 （1）求 的值； （2）已知 ， ，若 的最小值记为 ，求 表达式，并求 的最大值答案解析部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.【答案】 A 【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】解：由 得（-4）1-5=0，解得 ， 故答案为：A. 【分析】由平行向量的充要条件直接求解即可.2.【答案】 C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解：当 时，即 ， 则cos= ， 又（0，），则 ， 所以充分性成立； 当时，则cos= ， 所以 ，
7、 所以必要性成立，所以是的充分必要条件. 故答案为：C. 【分析】根据向量的数量积，结合充要条件的判定直接判定即可3.【答案】 D 【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】由题意，设 ，则 ，解得 ，即 ， 所以 故答案为：D 【分析】 根据图形可设z=-1+bi，b0，利用复数的模可求出b，从而求出z的共轭复数，最后利用复数的除法法则进行运算即可4.【答案】 B 【考点】棱锥的结构特征，球内接多面体 【解析】【解答】解：如图所示，设三棱锥S- ABC的各棱长均相等球O是它的内切球, 设H为底面ABC的中心，根据对称性可得内切球的球心O在三棱锥的高SH上, 由SC、SH确定的
8、平面交AB于D，连结SD、CD，得到截面SCD， 截面SCD就是经过侧棱SC与AB中点的截面， 平面SCD与内切球相交，截得球大圆如图所示. 因为SCD中，圆O分别与SD、CD相切于点E、H，且SD= CD ,圆O与SC相离, 所以对照各个选项，可得只有B项的截面图形符合题意. 故答案为：B 【分析】本题考查三棱锥的内切球问题，关键在于明确内切球的球心O在三棱锥的高SH上，并明确圆O分别与SD、CD相切，与SC相离即可判断.5.【答案】 C 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：如图所示， 设外接球半径为R，底面ABCD的外接圆半径为r，正四棱锥的高为h, 则由题意得 ， ， 又R=A
9、O， 则由得R=3， 所以 该正四棱锥外接球的表面积为S=4R2=36 故答案为：C 【分析】本题主要考查正棱锥的外接球问题，利用直接求解即可.6.【答案】 A 【考点】诱导公式，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：因为在ABC中,C是直角，所以 ， 所以 ， 由题意得 ， 所以 ， 则 ， 设t=sinB，则 ， ， 其图象的对称轴为t=1， 所以函数没有最值，即 无最大值，也无最小值 故答案为：A 【分析】利用三角形内角和 的性质，结合三角恒等变换，以及二次函数的最值求解即可.7.【答案】 B 【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形的形状判断 【解析】【
10、解答】解：根据题意，已知ac=b2-a2, 则b2=a2 +ac 由余弦定理得: b2=a2 +c2- 2accosB，则a2+ac=a2 +c2-2accosB, 得a=c-2acosB(c0)， 由正弦定理得: sinA=sinC-2sinAcosB，得sinA=sin(-A-B)-2sin AcosB，得sinA=sin( A+B)-2sinAcosB， 得sinA=sinAcos +cosAsin B-2sin AcosB得sinA=sin(B-A) 因0B，则A=B-A,得 B=2A= ， 得C=-A-B= 故ABC的形状为直角三角形. 故答案为：B 【分析】根据正弦定理，余弦定理，
11、以及两角和与差的正弦公式求解即可.8.【答案】 A 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的性质及其运算律，三角形五心 【解析】【解答】解： 如图所示，过点O作ODAB,OEAC，垂足分别为D，E， 因为点O是ABC的外心，所以AO=OB=OC，所以 ， 则 ， ， 因为 所以 ， 即， 同理,即， 又3x+8y=4， 联解，得 故答案为：A 【分析】利用三角形外心的性质，同时根据向量的数量积直接求解即可二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.【答案】 B,D 【考点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD/y，则CDB=45， 又因为 在轴上
12、，与轴垂直，且 ， 所以CD=2， 则根据斜二测画法， 的边上的高为2CD=4， 又根据斜二测画法，还原可得 ， 如图所示，易知在RtBCD中，ACb，所以此三角形有两个解，所以B不符合题意； C项，由正弦定理得无解，所以C符合题意； D项，由正弦定理得 ， 且cb，所以B=30，C=60，A=90，此三角形有一个解，所以D不符合题意. 故答案为：AC 【分析】由正弦定理，结合正弦函数的值域以及三角形的性质逐项判断即可.12.【答案】 A,B 【考点】向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义，向量加减法的应用 【解析】【解答】解： 【解答】解：A， ， 所以A正确； B， ，
13、所以B正确； C，因为 ， 所以C错误； D， 在上的投影为 ， 又 ， 所以 在上的投影向量为 ， 所以D错误. 故答案为：AB 【分析】根据题意中的 反射坐标系 ，结合向量的加法，向量的模，向量 的数量积，以及投影向量的定义和运算法则逐项进行求解和判断即可.三、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分13.【答案】 【考点】平面图形的直观图，斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：由斜二测画法知原平面图形是直角梯形，如图所示， 其中AB=2,AD=1,ABBC，, 则直角梯形ABCD的面积为. 故答案为： 【分析】根据斜二测画法，易知原平面图形是直角梯形ABCD，并分别求出AB，AD，BC
14、，利用梯形面积公式直接求解即可.14.【答案】 一 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：原式 ， 对应的点的坐标为 ， 位于第一象限 故答案为：一 【分析】根据复数的运算，以及复数的几何表示直接求解即可15.【答案】 【考点】正弦函数的图象，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】解：由图象易知A=2， ， 则T=，则 ， 所以函数为y=2sin(2x+)， 又因为点作为五点作图法中的第二个点， 所以 ， 解得 ， 故函数的解析式为y=2sin(2x+) 故答案为：y=2sin(2x+). 【分析】本题主要考查的图象与性质，根据正弦
15、函数的图象与性质逐个求解A， ， 即可.16.【答案】 【考点】平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：由 在中， ， 得ABC=90， 又因为 为的三等分点， 则 ， 又因为 ， 则 ， 所以 【分析】由题意易知ABC是直角三角形，再根据向量的线性运算用表示 ， 再根据向量数量积直接求解即可.17.【答案】 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量加减混合运算及其几何意义 【解析】【解答】解：由题意得 ， 又P,B,D三点共线，则+3=1， 则 ， 当且仅当=时，取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 【分析】利用向量的线性运算，结合三点共线的充要条件求
16、得+3=1，再利用基本不等式求最值即可.18.【答案】 【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：设向量的夹角为，则由 ， 又 解得cos= ， 所以=60， 故如图所示，可设 ， 则由得 ， 即 ， 则可令, 又 ， 则 所以 ， 则 ， 所以 ， 又因为sin-1,1， 所以+. 故答案为： 【分析】由题意易得向量的夹角为=60，则可将坐标化，结合题意可判断向量的轨迹是圆，并将其轨迹参数化，利用化归思想，将+的取值范围转化为正弦函数的值域问题求解即可.四、解答题：本大题共5小题，每题12分，共60分19.【答案】 （1）解：以A点为坐标原点，A
17、B所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则：A（0，0），C（4，），E（3， ） B（2，0）D（2， ） ， （2）解： ， ， BDAF， ， 方法二：用基底向量求酌情给分。【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【分析】（1）建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示直接求解即可； （2）根据向量的线性运算求得向量 ， 再利用向量垂直的坐标表示直接求解即可.20.【答案】 （1）解：当 是PO中点时，圆柱的底面半径 ，高为 ，圆锥的母线长为 = （2）解：设 ，圆柱的底面半径为 则 当 ， 时， 有最大值 【考点】二次函数在闭
18、区间上的最值，旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【分析】（1）根据圆锥的表面积公式直接求解即可； （2）根据圆柱的侧面积公式，结合二次函数最值的求法直接求解即可，考查了化归思想.21.【答案】 （1）解：由题意得 ， （2）解：设BAD，则ABD中，由 可知 ， 由正弦定理及 ，可得 ，所以 由 ，可知， ， ， 【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，余弦定理的应用 【解析】【分析】（1）由余弦定理直接求解即可； （2）由正弦定理，结合正弦函数的性质求解即可.22.【答案】 （1）解：因为 ，在 中， 因为 ，所以 ， （2）解：在 中， ， 当且仅当 ，即
19、时， 取得最大值36，即 取得最大值6所以当 时，工厂产生的噪声对学校的影响最小【考点】三角函数的最值，函数模型的选择与应用，余弦定理 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，从而求出 表示 的关系式，再利用实际问题的已知条件求出角 的取值范围。 （2） 在 中， 结合余弦定理求出 ，再利用角 的取值范围结合正弦型函数图象求最值的方法，进而求出 的最大值，从而求出AP的最大值。 23.【答案】 （1）解：由题意可得 三点满足 可得 ，所以 ，即 即 ，则 所以 .（2）解：由题意可得： 令 ，因为 ，所以 令 当 时， 在 递增， 的最小值为 ，即 当 时， 的最小值为 ，即 当 时， 在 递减， 的最小值为 ，即 综上可得， 可得 的最大值为1.【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量的坐标运算，平面向量坐标表示的应用 【解析】【分析】（1）利用三点共线的充要条件，结合向量的线性运算法则求解即可； （2）利用向量运算的坐标表示，结合三角恒等变换和二次函数最值的求法直接求解，注意分类讨论思想的运用.