1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大 版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2 抛 物 线2.2 抛物线的简单性质第二章 第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课前自主预习第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1
2、.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 抛物线y22px(p0)的简单几何性质(1)对称性：以y代y，方程y22px(p0)不变，因此这条抛物线是以_轴为对称轴的轴对称图形抛物线的对称轴叫作抛物线的_，抛物线只有一条对称轴(2)顶点：抛物线和它的_的交点叫作抛物线的顶点抛物线的几何性质x轴轴第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(3)离心率：抛物线上的点到_的距离和它到_的距离的比，叫作抛物线的离心率，抛物线的离心率为1
3、.(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_.(5)范围：由y22px0，p0知x0，所以抛物线在y轴的_侧；当x的值增大时，|y|也_，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口_.焦点准线2p右增大越开阔第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若0，则直线与抛物线_，若0，则直线与抛物线_，若0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|AF|AF|x0p2|AF|p2x0|AF|y0p2|AF|p2y0第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导
4、 北师大版 数学 选修1-1 2.焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切；(2)|AB|2(x0p2)x1x2p；(3)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p24，y1y2p2.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为()A(14，
5、24)B(18，24)C(14，24)D(18，24)第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 答案 B解析 设焦点为 F，原点为 O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|，又 F(14，0)，x018，y2018，y0 24，故选 B.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 答案 A解析 抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，抛物线的方程为标准形式当抛物线的焦点在x轴上时，抛物线过点(1,2)，2顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(1，2)，则它的方程是()Ay2x2 或 y24xBy24x 或
6、 x22yCx212yDy24x第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 设抛物线的方程为 y22px(p0)222p(1)p2.抛物线的方程为 y24x.当抛物线的焦点在 y 轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为 x22py(p0)(1)22p2，p14.抛物线的方程为 x212y.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 3过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8B16C32D61答案 B解析 由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2.代入y28x，得(x2
7、)28x，即x212x40.x1x212，弦长x1x2p12416.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 4顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是_答案 y224x或y224x解析 顶点到焦点距离为 6，即p26，2p24，又对称轴为 x 轴，抛物线方程为 y224x 或 y224x.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 5过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案 2解析 本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识直线
8、AB：yxp2代入抛物线 y22px，得 x23pxp24 0，x1x23p，3pp8，p2.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课堂典例探究第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标抛物线的标准方程解析 由抛物线定义，设焦点为 F(p2，0)则该抛物线准线方程为 xp2，由题意设点 M 到准线的距离为|MN|，第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 求抛物线的标准方程
9、要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程则|MN|MF|10，即p2(9)10，p2.故抛物线方程为 y24x.将 M(9，y)代入抛物线方程，得 y6.M 点的坐标为(9,6)或(9，6)第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一点P(3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为()Ay28xBy28xCy24xDy24x答案 B解析 由题意可判定抛物线开口向左，由 P(3
10、，m)到准线的距离为 5，可知准线为 x2，p22，p4，抛物线方程为 y28x.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 抛物线的焦点弦问题已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解析(1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan60 3，又 F(32，0)所以直线 l 的方程为 y 3(x32)第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 联立y26x，y 3x32，消去 y 得 x25x94
11、0.若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x25，而|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p.|AB|538.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2px1x23，所以 x1x26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x32，所以 M 到准线的距离等于 33292.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义
12、将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(1)斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长度为_(2)过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的长度为_答案(1)5(2)10第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解 析 (1)如 图，由 抛 物 线 的 标 准 方 程 可 知，焦 点F(1,0)，准线方程x1.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版
13、 数学 选修1-1 由题设，直线AB的方程为：y2x2.代入抛物线方程y24x，整理得：x23x10.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|，即|AF|AA|x11，同理|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22325.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)由抛物线 y28x 知，p4.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义知：|AF|x2p2，|BF|x2p2，|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p，x1x2|AB|p.由条件知x1x223，则 x1x26，|AB
14、|p6，又p4，|AB|10.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 最值问题设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的
15、距离之和最小显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为 2212，即 5.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)如图把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y 12，因为122，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1.此时，由抛物线定义知：|P1Q|P1F|.那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即最小值为 4.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 与抛物线有关的最值问题，一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离
16、等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(1)定点 M3，103 与抛物线 y22x 上的点 P 之间的距离为d1，P 到抛物线准线 l 的距离为 d2，则 d1d2 取最小值时，P 点坐标为()A(0,0)B(1，2)C(2,2)D18，12(2)设 P 是抛物线 y22x 上任一点，则 P 到直线 xy30 的距离的最小值为_，点 P 的坐标为_第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学
17、 选修1-1 答案(1)C(2)5 24 (12，1)解析(1)如下图第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 连结 PF，则 d1d2|PM|PF|MF|，知 d1d2 最小值是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立，而直线 MF的方程为 y43x12，与 y22x，联立求得 x2，y2 或 x18，y12(舍去)，所以，P 点坐标为(2,2)(2)解法一：设 p(x0，y0)是 y22x 上任一点，则点 P 到直线l 的距离 d|x0y03|2|y202y03|2|y0125|2 2，当 y01 时，dmin5 24，点 P 坐标为(12
18、，1)第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解法二：设与抛物线相切且与直线 xy30 平行的直线方程为 xym0，由xym0，y22x，得 y22y2m0，(2)242m0，m12.平行直线的方程为 xy120，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则 dmin|312|2 5 24，点 P 坐标为(12，1).第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 直线与抛物线的位置关系及定点定值问题如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值分析
19、 第一步，审题审结论明确解题目标，欲证明直线BC 的斜率为定值，可写出直线 BC 的方程，然后说明其斜率为定值，或直接用 k0y2y1x2x1，写出斜率，然后说明 k0 的值与参数无关；第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 审条件，挖解题信息，已知直线 AB、AC 过定点，AB 与 AC 两直线倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数(直线 AB 的斜率k)来表示第二步，建联系确定解题步骤先设直线 AB 的斜率为 k，用 k 将 AB、AC 的方程表示出来，再由直线与抛物线交于两点，利用根与系数的关系求得 B、C 点的坐标，然后验证 kBC 与 k 无关第三
20、步，规范解答第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 证明 设 kABk(k0)，直线 AB，AC 的倾斜角互补，kACk(k0)，AB 的方程是 yk(x4)2.由方程组ykx42，y2x，消去 y 整理得，k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB16k216k4k2，即 xB4k24k1k2，第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 以k 代替 xB 中的 k，得 xC4k24k1k2，kBCyByCxBxCkxB42kxC42xBxCkxBxC8xBxCk8
21、k22k288kk214.所以直线 BC 的斜率为定值第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 解析几何中，常遇到定点、定值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2015福建文，19)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以
22、点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切答案(1)y24x(2)略第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p23，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x.(2)因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20，第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解得 x
23、2 或 x12，从而 B(12，2)又 G(1,0)，所以 kGA 2 20212 23，kGB 201212 23，所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切法二：(1)同法一第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1
24、)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20.解得 x2 或 x12，从而 B12，2.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 又 G(1,0)，故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20，从而 r|2 22 2|894 217.又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20，所以点 F 到直线 GB 的距离 d|2 22 2|894 217r.这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB相切第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 考虑问题要全面 求过点 P(0,1)且与抛物线 y22x 只有一个公共
25、点的直线方程错解 设直线方程为 ykx1，由方程组ykx1y22x，消去 y，得 k2x22(k1)x10.由直线与抛物线只有一个公共点，则 4(k1)24k20，所以 k12，所以所求直线的方程为 y12x1.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 辨析 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意正解(1)若直线斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x0，由x0y22x，得x0y0 .即直线 x0 与抛物线只有一个公共点第
26、二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)若直线的斜率存在，设为 k，则过点 P(0,1)的直线方程为ykx1，由方程组ykx1y22x，消去 y 得 k2x22(k1)x10.当 k0 时，得x12y1.即直线 y1 与抛物线只有一个公共点；当 k0 时，直线与抛物线只有一个公共点，则 4(k1)24k20，所以 k12，直线方程为 y12x1.综上所述，所求直线方程为 x0 或 y1 或 y12x1.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 分析指出下题解答中的错误，并订正设抛物线 ymx2(m0)的准线与直线 y1
27、 的距离为 3，则抛物线的标准方程为_解：由 ymx2(m0)可得其准线方程为 ym4.由题意知m42，解得 m8，故所求抛物线的标准方程为 y8x2.答案 错误略，抛物线方程为 x28y 或 x216y第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 上述解答过程有两处错误，一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为 ym4；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解正确解答如下：ymx2(m0)可化为 x21my，其准线方程为 y 14m.由题意知 14m2 或 14m4，解得 m18或 m 116，故所求抛物线的标准方程为 x28y 或 x216y.第二章 2 2.2成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课 时 作 业（点此链接）
