1、2016-2017学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：总分：60分，共12题（每小题5分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2+2x30，B=x|log3x1，则AB=（）A（0，1）B（0，3）C3，3D（1，4）2取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）ABCD不确定3圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD24已知函数f（x）=x2+x+a在区间（0，1）上有零点，则实数a的取值范围为（）ABC（2，0）D2，05执行右边的程序框图，若
2、p=0.8，则输出的n=（）A3B4C5D66已知=（2，1），=（k，3），=（1，2），若（2），则|=（）ABCD7函数f（x）=sinxcosxcos2x+在区间0，上的最小值是（）A1BC1D08设m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面，有下列四个命题：如果，m，那么m；如果m，那么m；如果mn，m，n，那么；如果m，m，=n，那么mn其中正确的命题是（）ABCD9下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x1”B“m=1”是“直线xmy=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x
3、+10”D命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题10如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A4BCD811已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log2），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AbcBacbCcabDcba12椭圆与直线xy=1交于P、Q两点，且OPOQ，其O为坐标原点若，则a取值范围是（）ABCD二、填空题：总分：20分，共4题（每小题5分）13已知x、y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为14已知函数f（x）是定
4、义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，则f（）+f（1）=15若正数x，y满足2x+y3=0，则+的最小值为16已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7，则此三棱柱的体积为三、解答题：总分：70分，共6题（第17题，为10分；第18、19、20、21、22题，为12分）17已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为（）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）试判定直线l和圆C的位置关系18已知函数
5、f（x）=cos（2x）cos2x（xR）（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（）=，b=1，c=且ab，求B和C19已知数列an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S52a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式；（）设Tn是数列的前n项和，是否存在kN*，使得等式12Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由20某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：50，60），60，70），70，80）
6、，80，90），90，100，并绘制出频率分布直方图，如图所示（）求频率分布直方图中a的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（）试估计样本的中位数与平均数（注：将频率视为相应的概率）21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点，AP=1，AD=（I）证明：PB平面AEC；（II）求二面角PCDB的大小；（）设三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC
7、的距离22过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为4（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点2016-2017学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：总分：60分，共12题（每小题5分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2+2x30，B=x|log3x1，则AB=（）A（0，1）B（0，3）C3，3D（1，4）【考点】交集及其运算【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出AB
8、即可【解答】解：集合A=x|x2+2x30=x|3x1，B=x|log3x1=x|0x3，所以AB=x|0x1=（0，1）故选：A2取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）ABCD不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率故选B3圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线a
9、x+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得：a=，故选：A4已知函数f（x）=x2+x+a在区间（0，1）上有零点，则实数a的取值范围为（）ABC（2，0）D2，0【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得函数在区间（0，1）上单调递增，再根据函数f（x）在（0，1）上有零点，可得，由此求得a的范围【解答】解：函数f（x）=x2+x+a的图象的对称轴方程为x=，故函数在区间（0，1）上单调
10、递增，再根据函数f（x）在（0，1）上有零点，可得，求得2a0故选：C5执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A3B4C5D6【考点】循环结构【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=0.8时，n+1的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=0.8时，n+1的值当n=2时，当n=3时，此时n+1=4则输出的n=4故选B6已知=（2，1），=（k，3），=（1，2），若（2），则|=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】求出向量2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向
11、量的模即可【解答】解： =（2，1），=（k，3），=（1，2），2=（22k，7），（2），可得：22k+14=0解得k=6，=（6，3），所以|=3故选：A7函数f（x）=sinxcosxcos2x+在区间0，上的最小值是（）A1BC1D0【考点】三角函数的最值【分析】把函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式积特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间0，上的最小值【解答】解：f（x）=sinxcosxcos2x+=sin2xcos2x=sin（2x）当x0，时，2x，当2x=时，
12、函数的最小值为，故选B8设m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面，有下列四个命题：如果，m，那么m；如果m，那么m；如果mn，m，n，那么；如果m，m，=n，那么mn其中正确的命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案【解答】解：如果，m，那么m，故正确；如果m，那么m，或m，故错误；如果mn，m，n，那么，关系不能确定，故错误；如果m，m，=n，那么mn，故正确故选：C9下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x1”B“m=1”是“直线xmy=0和直线x+my
13、=0互相垂直”的充要条件C命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x21，则x1”，故A错误；由11m2=0，得m=1，“m=1”是“直线xmy=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+
14、x+10”，故C错误；由三角形中，A=Ba=bsinA=sinB，得：命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确故选：D10如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A4BCD8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面是等腰三角形，AB=BC=2，棱长是4，其中D
15、是CG的中点，BF平面EFG，BFEF，EFFG，BFFG=F，EF平面BFGC，组合体的体积：V=V三棱柱ABCEFGV三棱锥EDFG=，故选：C11已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log2），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AbcBacbCcabDcba【考点】函数奇偶性的性质；对数值大小的比较【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（x）=f（x），则有2|xm|1=2|xm|1，解可得m的值，即可得f（x）=2|x|1，由此计算可得a、b、c的值，比较可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）=2|xm|1为
16、偶函数，即f（x）=f（x），则有2|xm|1=2|xm|1，解可得：m=0，即f（x）=2|x|1，所以，所以cab，故选C12椭圆与直线xy=1交于P、Q两点，且OPOQ，其O为坐标原点若，则a取值范围是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设出P，Q的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系得到P，Q的横坐标的和与积，结合OPOQ，得到，代入根与系数的关系，得到再由可得关于a的不等式组，则a取值范围可求【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（a2+b2）x22a2x+a2a2b2=0，=4a44（a2+b2）（a2a2b2）0，化为：a2+b21OPO
17、Q，（x21）=2x1x2（x1+x2）+1=0，化为a2+b2=2a2b2，得，化为54a26，解得：满足0a取值范围是故选：C二、填空题：总分：20分，共4题（每小题5分）13已知x、y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为2【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=时z取得最小值2【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（0，1），B（2，2），C（，）设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴
18、上的截距变化，可得当l经过点C时，目标函数z达到最小值z最小值=F（，）=2故答案为：214已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，则f（）+f（1）=2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（）=f（2）=f（）=f（），利用当0x1时，f（x）=4x，求出f（），再求出f（1），即可求得答案【解答】解：f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，f（）=f（2）=f（）=f（）x（0，1）时，f（x）=4x，f（）=2，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，f（1）=f（1），f（1）=f（1），f（1）=0，f（）+f（1）
19、=2故答案为：215若正数x，y满足2x+y3=0，则+的最小值为3【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”基本不等式的性质即可得出【解答】解：，当且仅当x=y=1时取等号所以的最小值为3故答案为：316已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7，则此三棱柱的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案【解答】解：如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，6个
20、顶点都在球O的球面上，三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积为7，得4r2=7，r=设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，r2=（）2+（a）2，即r=a，a=则三棱柱的底面积为S=故答案为：三、解答题：总分：70分，共6题（第17题，为10分；第18、19、20、21、22题，为12分）17已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为（）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）试判定直线l和圆C的位置关系
21、【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系【分析】（）利用直线l过点P（1，5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为=8sin；（）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论【解答】解：（）直线l过点P（1，5），且倾斜角为，直线l的参数方程为（t为参数）半径为4的圆C的圆心的极坐标为，圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y4）2=16，圆的极坐标方程为=8sin；（）直线l的普通方程为，圆心到直线的距离为直线l和圆C相离18已知函数f（x）=cos（2x）cos2x（xR）（I）求
22、函数f（x）的单调递增区间；（II）ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（）=，b=1，c=且ab，求B和C【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数【分析】（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为2k，2k+，xZ列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（）=，求出sin（B）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形
23、的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数【解答】解：（1）f（x）=cos（2x）cos2x=sin2xcos2x=sin（2x），令2k2x2k+，xZ，解得：kxk+，xZ，则函数f（x）的递增区间为k，k+，xZ；（2）f（B）=sin（B）=，sin（B）=，0B，B，B=，即B=，又b=1，c=，由正弦定理=得：sinC=，C为三角形的内角，C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=19已知数列an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S52a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列b
24、n的前三项（）求数列an，bn的通项公式；（）设Tn是数列的前n项和，是否存在kN*，使得等式12Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出【解答】解：（）设等差数列an的公差为d（d0），解得a1=3，d=2，b1=a1=3，b2=a4=9，（）由（I）可知：an=3+2（n1）=2n+1，=，单调递减，得，而，所以不存在kN*，使得等式成立20某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所
25、得数据进行分组，分组区间为：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，并绘制出频率分布直方图，如图所示（）求频率分布直方图中a的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（）试估计样本的中位数与平均数（注：将频率视为相应的概率）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（I）由频率分布图中小矩形面积之和为1，能求出a=0.015，能由此估
26、计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率（）从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种，利用列举法能求出学生代表M，N至少一人被选中的概率（）由频率分布直方图能求出样本的中位数和平均数【解答】解：（I）a=0.1（0.03+0.025+0.02+0.01）=0.015，估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为0.85（）从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种，分别为：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN，代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN，设”学生代表M，N至少一人被选中”为事件D，P（D）=学生代表M
27、，N至少一人被选中的概率为（）由频率分布直方图得样本的中位数为： =75，平均数为：550.0110+650.0210+750.0310+850.02510+950.01510=76.521如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点，AP=1，AD=（I）证明：PB平面AEC；（II）求二面角PCDB的大小；（）设三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【分析】（）连接AC、BD相交于G，连接EG由三角形中位线定理可得EGPB，再由线面平行的判定得PB平面AEC；（II）由PA面ABCD，可得平面PA
28、D平面ABCD，结合CDAD，得CD面PAD，则PDA是二面角PCDB的平面角，求解直角三角形得答案；（）由已知求得AB，再由等积法求得A到平面PBC的距离【解答】（I）证明：连接AC、BD相交于G，连接EGE为PD的中点，EGPB，又EG平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC；（II）解：PA面ABCD，平面PAD平面ABCD，又CDAD，CD面PAD，则PDA是二面角PCDB的平面角，在RtPAD中，AP=1，AD=，tanPDA=，则PDA=30；（）解：PA面ABCD，PABC，则PA是三棱锥PABD的高，设AB=x，A到平面PBC的距离为h，由VPABC=VAPBC，得，解得h=
29、22过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为4（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x4），抛物线C的准线方程为，x=1，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y22mpyp2=0，y1y2=p2=4，解得p=2，p0，p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，x2=4直线BD的方程可表示为，y=（x4）抛物线C的准线方程为，x=1由，联立方程组可求得P的坐标为（1，）由（1）可得y1y2=4，P的坐标可化为（1，），kAP=，直线AP的方程为yy1=（xx1），令y=0，可得x=x1=直线AP与x轴交于定点（，0）2017年2月22日