1、江苏省扬州中学20132014学年第一学期月考高三数学试卷 2013.12一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合，则 2.已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 3.设是纯虚数，是实数，且等于 【答案】【解析】试题分析：纯虚数，因此我们设，则等式为，即，因此解得从而考点：复数的相等4.已知，则的值为 5.在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为 6.已知直线平面，直线m平面，有下面四个命题：m；m；m；m其中正确命题序号是 7.已知，与的夹角为，则与的夹角为 【答案】【解析】试题分析：要求与的夹角一般可先求两向量的数量积，而，因
2、此，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故，夹角为考点：向量的夹角8.设均为正实数，且，则的最小值为 9.已知方程+=0有两个不等实根和，那么过点的直线与圆的位置关系是 考点：直线和圆的位置关系10.若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为 11.设，且，则 12.函数在区间上是减函数,则的最大值为 【答案】13.已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为，则原点O到其左准线的距离为 14.设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则= 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)设向量，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2
3、）求使不等式成立的的取值集合 16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点 （1）求证：；（2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证两直线垂直，一般是证一条直线与过另一条直线的某个平面垂直，例如能否证明垂17.(本小题满分14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元公司拟投入万元作为
4、技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【答案】（1）40元；（2）至少应达到10.2万件，每件定价为30元【解析】试题分析：（1）这是函数应用题中涉及销售的问题，要清楚知道常识性的等式：销售总收入销售单价销售量提价为元时，销售量是（）万件，总收入为，不低于原收入，得不等式；（2）关键是弄懂原收入与总投入之和是多少？原收入，总投入，明年的销售收入不低于原收入与总投入之和就是不等式，根据问题的要求，此式变为时，有解（注意不是恒成立），所以的范围是不小于的
5、最小值试题解析：（1）设每件定价为元，依题意，有， 整理得，解得 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元718.(本小题满分16分)已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数（1）用表示；（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3） 【解析】试题分析：（1）直接利用导数得出切线斜率，写出点处切线方程，在切线方程中令，就可求出切线与轴交点的横坐标即；（2）要证明数列为等比数列，关键是找到与的关系，按题设，它们由联系起来，把用（1）中的结论代换，变为的式子，它应该得 故 16考点：（
6、1）函数图象的切线；（2）等比数列的定义；（3）乘公比错位相减法求数列的和19.(本小题满分16分)如图所示，已知圆为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点 （1）求点的轨迹曲线的方程；（2）设点是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）（3）直线过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定点为【解析】试题分析：（1）本题动点依赖于圆上中，本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方程，但本题用动点转移法会很繁，考虑到圆的半径不变，垂直平分线的对称性，我们可以看出，是定值，而且，因此点轨迹是椭圆，这样我
7、们可以利用椭圆标准方程写出所求轨迹方程；（2）圆锥曲线的过其上点的切线方程，椭圆，切线为，双曲线，切线为，抛物线，切线为；（3）这题考查同学们的计算能力，现圆锥曲线切线有关的问题，由（2）我们知道切线斜率为，则直线的斜率为，又过点，可以写出直线方程，然后求出点关于直线的对称点的坐标，从而求出直线的方程，接着可从的方程观察出是不是过定点，过哪个定点？这里一定要小心计算试题解析：（1）点是线段的垂直平分线, 动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为520.(本小题满分16分)设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2
8、）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）两个函数的图象关于某条直线对称，一般都是设是一个函数图象上的任一点，求出这个点关于直线对称的点，而点就在第二个函数的图象上，这样就理科数学附加题21.B(本小题满分10分)已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成, 求矩阵M.21.C(本小题满分10分)在直角坐标系中，参数方程为的直线，被以原点为极点，轴的正半轴为极轴，极坐标方程为的曲线所截，求截得的弦长【答案】【解析】22.(本小题满分10分)设函数,（1）求的展开式中系数最大的项；（2）若（为
9、虚数单位）,求23.(本小题满分10分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点（1）求跳三步跳到的概率；（2）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布及数学期望为，从1到2与从2到1的概率为.（1）PP（0123）1； 4（2）X0,1，2. P（X1）P（010123）P（012123）P（012321）11111，P（X2）P（012323）11 ，P（X0）1P（X1）P（X2）或P（X0）P（010101）P（010121）P（012101）P（012121）11111111， E（X）12.10考点：（1）概率；（2）概率分布表与数学期望