1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十七圆锥曲线中的求值与证明问题1.已知抛物线C:y2=2px(p0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8.(1)求p的值.(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点.【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,设M,所以直线OM的方程为y=x,当
2、x=-1时,yH=-,代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,所以N,当,即y02时,直线MN的斜率k=,直线MN的方程为y-y0=,整理可得y=(x-1),故直线MN过定点(1,0).当=,即y0=2时,直线MN的方程为x=1,必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0)【变式备选】 已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1.(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使AMO=BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题知抛物线E
3、的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切,所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圆心(3,0)到直线l的距离为d=,当直线l与圆相切时,有d=1=1k=,所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立方程组x2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假设存在点M(t,0)使AMO=BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,所以kAM+kBM=
4、+=0y1x2+y2x1-(y1+y2)t=02x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,即2-14-(14-2)t=0t=-1,故存在点M(-1,0)符合条件.当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使AMO=BMO.2.(2020温州模拟)已知直线l:y=kx+m与椭圆+=1(ab0)恰有一个公共点P,l与圆x2+y2=a2相交于A,B两点.(1)求k与m的关系式.(2)点Q与点P关于坐标原点O对称.若当k=-时,QAB的面积取到最大值a2,求椭圆的离心率.世纪金榜导学号【解析】(1)由得(a2k2+b2)
5、x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0,则=(2a2km)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)=0化简整理,得m2=a2k2+b2.(2)因为点Q与点P关于坐标原点O对称,所以QAB的面积是OAB的面积的两倍.所以当k=-时,OAB的面积取到最大值,此时OAOB,从而原点O到直线l的距离d=,又d=,故=.再由(1),得=,则k2=1-.又k=-,故k2=1-=,即=,从而e2=1-=,即e=.【变式备选】 已知椭圆C:+y2=1左顶点为A,O为原点,M,N是直线x=t上的两个动点,且MOON,直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D两点.(1)若t=-1,求MON的面积的最小值.(2)若E,O,D三点共线,求实数t的值.【解析】(1)由勾股定理、三角形面积可得:|MN|2=|OM|2+|ON|22|OM|ON|,|MN|=|OM|ON|,当且仅当|OM|=|ON|时等号成立.所以|MN|2.SMON=|MN|12=1,即MON的面积的最小值为1.(2)设E(cos ,sin ),则AE的方程为:y=(x+),则M为,同理N为,因为MOON,所以=t2-=0,得t=2.关闭Word文档返回原板块