1、2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期中数学试卷（创新班）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1经过1小时，时针旋转的角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2已知，则sin（+）等于（）ABCD3一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）ABCD4已知数列，则是它的第（）项A21B22C23D245在四边形ABCD中， =（1，2），=（4，2），则该四边形的面积为（）ABC5D106在ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC1，则sin2A=（）ABCD7已知函数f（x）=2sin（x
2、+）（0，0），且函数的图象如图所示，则点（，）的坐标是（）ABCD8函数y=的定义域是（）ABCD9记a=sin（cos2016），b=sin（sin2016），c=cos（sin2016），d=cos（cos2016），则（）AdcbaBdcabCcdbaDabdc10化简=（）A1BCD211已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD12已知点O是锐角ABC的外心，AB=8，AC=12，A=若=x+y，则6x+9y=（）A6B5C4D3二、填空题（本大题共4小题，每
3、小题5分，共20分）13已知角（）的终边过点P（sin，cos），则=14已知向量、满足|=2，|=3，且|2|=，则向量在向量方向上的投影为15已知x，y均为正数，（0，），且满足=， +=，则的值为16给出下列五个命题：函数的一条对称轴是x=；函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；正弦函数在第一象限为增函数；若，则x1x2=k，其中kZ；函数f（x）=sinx+2|sinx|，x0，2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）以上五个命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，
4、证明过程或演算步骤）17已知，0，cos（+）=，sin（+）=，求sin（+）的值18已知是平面内两个不共线的非零向量，且A，E，C三点共线（1）求实数的值；（2）已知=（2，1），=（2，2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标19已知f（x）=2asin（2x）+2a+b，x，（1）是否存在常数A、bQ，使得f（x）的值域为y|3y1？若存在，求出A、B的值；若不存在，说明理由（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间20已知向量=（cos，sin），=（cosx，sinx），=（sinx+2sin，cosx+2cos），其中0x（1）若，
5、求函数f（x）=的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求tan2的值21已知函数f（x）=sin（x+）+b（0，）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3g（x）2+mg（x）+2=0在区间0，上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围22定义区间I=（，）的长度为，已知函数f（x）=ax2+（a2+1）x，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求区间I的长度；（）设区间I的长度函数为g（a），试判断函数g（a）在（，1上的单调性；（）在上述函数g（
6、a）中，若a（，1，问：是否存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期中数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1经过1小时，时针旋转的角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【考点】象限角、轴线角【分析】由经过1小时，时针顺时针旋转周角的得答案【解答】解：经过1小时，时针顺时针旋转，而顺时针旋转的角为负角，经过1小时，时针旋转的角是30，为第四象限角故选：D2已知，则sin（+）
7、等于（）ABCD【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系【分析】根据的范围，由tan的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，进而求出sin的值，原式利用诱导公式化简后，将sin的值代入计算即可求出值【解答】解：（，），tan=，cos=，sin=，则sin（+）=sin=故选：B3一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）ABCD【考点】弧长公式【分析】设圆内接正方形的边长为a，求出圆的半径r，再计算圆弧所对的圆心角【解答】解：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为a，弧长等于a的圆弧所对的圆心角为=故选：D4已知数列，则是它的第（）项A21B22C2
8、3D24【考点】数列的概念及简单表示法【分析】通过数列的每一项，得到数列的取值规律，得到数列的通项公式即可【解答】解：2，5，8，11是公差为3的等差数列通项公式为：2+3（n1）=3n1，数列，即，的通项公式为an=，=，解得n=23，故选：C5在四边形ABCD中， =（1，2），=（4，2），则该四边形的面积为（）ABC5D10【考点】向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可【解答】解：因为在四边形ABCD中， =0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，该四边形的面积： =5故选C6在ABC
9、中，若（tanB+tanC）=tanBtanC1，则sin2A=（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得tan（B+C）=150，可得A=30，从而求得sin2A的值【解答】解：ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC1，则 tan（B+C）=，B+C=150，A=30，sin2A=sin60=，故选：B7已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0），且函数的图象如图所示，则点（，）的坐标是（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据图象可知函数半个周期为求得；再根据函数过点，把此点
10、代入函数即可求得，进而可知点（，）的坐标【解答】解：，=4，它的图象经过点，得，取k=0，得点（，）的坐标是故选B8函数y=的定义域是（）ABCD【考点】函数的定义域及其求法【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可【解答】解：由2cosx+10得，kZ故选D9记a=sin（cos2016），b=sin（sin2016），c=cos（sin2016），d=cos（cos2016），则（）AdcbaBdcabCcdbaDabdc【考点】三角函数线【分析】利用诱导公式化简，再根据三角函数的单调性判断即可【解答】解：2016=3605+180+36cos2016=cos36，sin2016=sin
11、36，1cos36sin360a=sin（cos2016）=sin（cos36），b=sin（sin2016）=sin（sin36），c=cos（sin2016）=cos（sin36），d=cos（cos2016）=cos（cos36），即cos（sin36）cos（cos36）0，sin（cos36）sin（sin36），sin（cos36）sin（sin36）0，cdba，故选：C10化简=（）A1BCD2【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母中被开方数利用同角三角函数间基本关系，完全平方公式以及二次根式的性质化简，约分后再利用两角和与差的正弦
12、函数公式变形，约分即可得到结果【解答】解：原式=，故选：C11已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2x+）+，再根据2016，求得的最小值【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016）是函数f（x）的最大值显然要使结论成立，只需保证区间x0，x0+2016能够包含函
13、数的至少一个完整的单调区间即可又f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，故2016，求得，故则的最小值为，故选：D12已知点O是锐角ABC的外心，AB=8，AC=12，A=若=x+y，则6x+9y=（）A6B5C4D3【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据题意，过点O分别作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E，计算、和的值，再根据=x+y，列出方程组求出x与y的值，即可求出答案【解答】解：如图所示，过点O分别作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E；则D，E分别为AB，AC的中点，=82=32，=122=72；又A=，=812cos=48，=x+y，=
14、x+y，=x+y，化为32=64x+48y，72=48x+144y，联立解得x=，y=；6x+9y=5故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知角（）的终边过点P（sin，cos），则=【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用角（）的终边过点P（sin，cos），tan=（），且P在第四象限，即可得出结论【解答】解：角（）的终边过点P（sin，cos），tan=（），sin=0，cos=0，P在第四象限，=故答案为：14已知向量、满足|=2，|=3，且|2|=，则向量在向量方向上的投影为1【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平
15、方，再由向量在向量方向上的投影概念，计算即可求得【解答】解：由|=2，|=3，|2|=，即有（2）2=424+2=444+9=13，可得=3，则向量在向量方向上的投影为=1故答案为：115已知x，y均为正数，（0，），且满足=， +=，则的值为【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】已知第二个等式两边乘以x2+y2，得到关系式记作（*），将第一个等式变形代入（*），整理后求出sin与cos的值，即可求出所求式子的值【解答】解：+=，（x2+y2）（+）=cos2+sin2+=1+=，即+=（*），=，=， =，代入（*）得， +=，cos6+sin6=（cos2+sin2）（cos4+sin
16、4sin2cos2）=1（cos2+sin2）23sin2cos2=13sin2cos2，=，化为sin2cos2=，与sin2+cos2=1联立，解得：sin2=，cos2=，（0，），sin=，cos=，则=故答案为：16给出下列五个命题：函数的一条对称轴是x=；函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；正弦函数在第一象限为增函数；若，则x1x2=k，其中kZ；函数f（x）=sinx+2|sinx|，x0，2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）以上五个命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象；正切函数的图象【分析】计算2
17、sin（2）是否为最值2进行判断；根据正切函数的性质判断；根据正弦函数的图象判断；由得2x1和2x2关于对称轴对称或相差周期的整数倍；作出函数图象，借助图象判断【解答】解：当x=时，sin（2x）=sin=1，正确；当x=时，tanx无意义，正确；当x0时，y=sinx的图象为“波浪形“曲线，故错误；若，则2x1=2x2+2k或2x1+（2x2）=2（）=+2k，x1x2=k或x1+x2=+k，kZ故错误作出f（x）=sinx+2|sinx|在0，2上的函数图象，如图所示：则f（x）在0，上过原点得切线为y=3x，设f（x）在，2上过原点得切线为y=k1x，有图象可知当k1k3时，直线y=kx
18、与f（x）有2个不同交点，y=sinx在0，上过原点得切线为y=x，k11，故不正确故答案为：三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知，0，cos（+）=，sin（+）=，求sin（+）的值【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】根据、的范围，确定+、+的范围，求出sin（+）、cos（+）的值，利用sin（+）=sin+（+）=sin（+）+（+），展开，然后求出它的值即可【解答】解：，+又cos（+）=，sin（+）=又0，+又sin（+）=，cos（+）=，sin（+）=sin+（+）=sin（+）+（+）=si
19、n（+）cos（+）+cos（+）sin（+）=（）=所以sin（+）的值为：18已知是平面内两个不共线的非零向量，且A，E，C三点共线（1）求实数的值；（2）已知=（2，1），=（2，2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标【考点】向量加减混合运算及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算【分析】（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出的值，得到本题结论，（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案【解答】解：（1）=+=（2+）+（+）=+（1+）A，E，C三点共线，存在实数k，使得=k，即+（1
20、+）=k（2+），得（1+2k）=（k1），是平面内两个不共线的非零向量，解得k=，=（2）=+=3=（6，3）+（1，1）=（7，2）A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，=设A（x，y），则=（3x，5y），=（7，2），解得，即点A的坐标为（10，7）19已知f（x）=2asin（2x）+2a+b，x，（1）是否存在常数A、bQ，使得f（x）的值域为y|3y1？若存在，求出A、B的值；若不存在，说明理由（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性【分析】（1）由x，可得sin（2x）1，分当a0时、当a0时两种情况分别求得a、b的值，从
21、而得出结论（2）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调区间【解答】解：（1）存在a=1，b=3，满足条件x，2x，sin（2x）1，2sin（2x）2，若存在这样的有理数a、b，则当a0时，解得a=1，b=3，当a0时，解得a=1，b=1，故存在a=1，b=3，满足条件（2）由（1）可得f（x）=2asin（2x）1，x，也即f（x）=2sin（2x）1，x，由由+2k2x+2k，得+kx+k，kZxx函数f（x）的单调递减区间为，由+2k2x+2k，得+kx+k，kZxx，函数f（x）的单调递增区间为，20已知向量=（cos，sin），=（cosx，sinx），=（sinx+2sin，cos
22、x+2cos），其中0x（1）若，求函数f（x）=的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求tan2的值【考点】平面向量的坐标运算【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由ac可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+）+2sin2=0，再将代入即可得到答案【解答】解：（1）=（cosx，sinx），=（sinx+2sin，cosx+2cos），f（x）=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=令t=sinx+cosx（0x），则t=，则2sinxcosx=t2
23、1，且1t则，1t时，此时由于x，故所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；（2）与的夹角为，0x，0x，cos（sinx+2sin）+sin（cosx+2cos）=0sin（x+）+2sin2=0，21已知函数f（x）=sin（x+）+b（0，）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3g（x）2+mg（x）+2=0在区间0，上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）由周期求得，由函数y=Asin（x
24、+）的图象变换规律可得g（x）=sin（2x+）+b1，再根据g（x）的为奇函数求得和b的值，可得f（x）和g（x）的解析式以及f（x）的对称中心（2）由（1）可得 g（x）=sin2x，由题意可得可得关于t的方程 3t2+mt+2=0在区间（0，1）上有唯一解再利用二次函数的性质求得m的范围【解答】解：（1）由题意可得=，=2，f（x）=sin（2x+）+b，g（x）=sin2（x+）+b1=sin（2x+）+b1再结合函数g（x）的为奇函数，可得+=k，kz，且b1=0，再根据，可得=，b=1，f（x）=sin（2x）+1，g（x）=sin2x令2x=n，nz，可得 x=+，f（x）的对称
25、中心（+，1）（2）由（1）可得 g（x）=sin2x，在区间0，上，2x0，令t=g（x），则t0，1由关于x的方程3g（x）2+mg（x）+2=0在区间0，上有两个不相等的实根，可得关于t的方程 3t2+mt+2=0在区间（0，1）上有唯一解令h（t）=3t2+mt+2，h（0）=20，则满足h（1）=3+m+20，或，求得m5，或 m=222定义区间I=（，）的长度为，已知函数f（x）=ax2+（a2+1）x，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求区间I的长度；（）设区间I的长度函数为g（a），试判断函数g（a）在（，1上的单调性；（）在上述函数g（a）中，若a（，1，问：是否存在实数k
26、，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由【考点】二次函数的性质；对勾函数【分析】（）解不等式f（x）0，可得区间I的长度；（）由（I）知，a（，1，根据定义法，可证得函数g（a）在（，1上为减函数；（）设存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，则，解得答案【解答】（本小题满分13分）解：（）f（x）0，即ax2+（a2+1）x0a0ax2（a2+1）x0xax+（a2+1）0，即I的长度为（）由（I）知，a（，1设任意的a1，a2（，1且a1a2，则g（a1）g（a2）=a1a21，a1a21，a1a210，又a2a10，即g（a1）g（a2）函数g（a）在（，1上为减函数（说明：如果运用对勾函数的知识解决问题，参照给分）（）设存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，则存在实数使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立2017年1月4日