1、题型专题(九)导数的简单应用导数运算及几何意义师说考点1导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0)；(4)(logax)(a0，且a1)2导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)典例(1)(2016全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_解析设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)e
2、x1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案2xy0(2)(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案3利用导数几何意义解题的思路利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解 演练冲关1(2016郑州模拟)函数f
3、(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选C依题意，f(0)e0cos 01，因为f(x)excos xexsin x，所以f(0)1，所以切线方程为y1x0，即xy10，故选C.2(2016兰州质检)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1，3) B(1，3)C(1，3)和(1，3) D(1，3)解析：选Cf(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)经检验，点(1，3)，(1，3)均不在直线y2x1上，故选C.3(2016开封模拟)已知直线y
4、kx1与曲线yx3mxn相切于点A(1，3)，则n()A1 B1 C3 D4解析：选C对于yx3mxn，y3x2m，k3m，又k13，1mn3，可解得n3.利用导数研究函数的单调性师说考点1若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调
5、性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制 演练冲关1.定义在R上的可导函数f(x)，已知yef(x)的图象如图所示，则yf(x)的增区间是_解析：由题图知f(x)0的区间是(，2，故函数yf(x)的增区间是(，2答案：(，22已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f
6、(x)ex，讨论g(x)的单调性解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1，0)上为减函数，在(4，1)和(0，)上为增函数.利用导数研究函数的极值(最值)问题师说考点1若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左
7、侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得典例(2016山东高考改编)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求正实数a的取值范围解(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)2a.当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(
8、x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当0a时，1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0，1)时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取极大值，符合题意综上可知，正实数a的取值范围为.研究极值、最值
9、问题的3个注意点(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论(3)含参数时，要讨论参数的大小 演练冲关1(2016江西两市联考)直线ya分别与曲线y2(x1)，yxln x交于A，B，则|AB|的最小值为_解析：设A(x1，a)，B(x2，a)，则2(x11)x2ln x2，x1(x2ln x2)1，|AB|x2x1(x2ln x2)1，令y(xln x)1，则y，函数y(xln x)1在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当 x1时，函数取得最小
10、值，即|AB|min.答案：2(2016云南模拟)已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为x(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.(2)f(x)，当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，f(x)在上单调递减当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据
11、题意得faln2a，即aln(a)ln 20.a0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为()A2 B3 C6 D9解析：选Df(x)4x3ax22bx2，f(x)12x22ax2b，又f(x)在x1处取得极值，f(1)122a2b0，即ab6，taba(6a)(a3)29，当且仅当ab3时，t取得最大值9，故选D.6已知函数f(x)的导函数为f(x)，若x2f(x)xf(x)sin x(x(0，6)，f()2，则下列结论正确的是()Axf(x)在(0，6)上单调递减Bxf(x)在(0，6)上单调递增Cxf
12、(x)在(0，6)上有极小值2Dxf(x)在(0，6)上有极大值2解析：选D因为x2f(x)xf(x)sin x，x(0，6)，所以xf(x)f(x)，设g(x)xf(x)，x(0，6)，则g(x)f(x)xf(x)，由g(x)0得0x，g(x)0得x0，即(ex1)(x1)0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)8已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立又yx在上单调递减，2a，即a.答案：9设函数f(x)ln xax2bx，
13、若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a0)(1)若x2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)f(x)，x(1，)依题意，得f(2)0，解得a.经检验，a符合题意，故a的值为.(2)令f(x)0，得x10，x21.当0a1时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1
14、)f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)综上，当0a1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)11(2016兰州模拟)已知函数f(x)ax，x1.(1)若f(x)在(1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a2，求函数f(x)的极小值解：(1)f(x)a，由题意可得f(x)0在(1，)上恒成立，a.x(1，)，ln x(0，)，当0时函数t的最小值为，a，即实数a的取值范围为.(2)当a2时，f(x)2x，f(x)，令f(x)0得2ln2xln x10，解得ln x或ln x1(舍)，即xe.当1xe时，f(x)e时，f(x)0，f(x)的极小值为f(e)2e4e.12已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解：(1)f(x)a(x0)，由题意可知f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，根据题意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2，3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0)由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a.故a的取值范围为.