1、2021年江西省赣州市高考数学摸底试卷（理科）（一模）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Mx|yln（12x），Nx|xx20，则MN（）ABCD2已知复数z满足（z+i）（12i）i3（其中i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）ABCD3某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.16x30.75，以下结论中不正确的为（）A15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B15名志愿者身高和臂展成正相关关系C可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘
2、米D身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米4已知点（m，n）在关于x，y的不等式所表示的平面区域内，则的最小值为（）ABCD5设函数f（x）axax+bsin3x+c（a0且a1）若f（t）1，f（t）3，则c（）A1B2C3D46斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（）ABCD
3、7已知数列an满足a12，am+nam+an，记Sn为正项等比数列bn的前n项和若b4a8，bn+4bn4bn+12，则log2（Sn+2）（）An1Bn+1Cn2Dn8在的展开式中，除x2项外，其余各项的系数之和为（）A230B231C232D2339已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0）的周期若，则（）ABC3D10已知函数f（x）2sin（x），当x0，10时，把函数F（x）f（x）1的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，记数列xn的前n项和为Sn，则Sn（）ABCD11已知M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是C上异于M，N的动点，设直线PM，PN的斜率
4、分别为k1，k2若直线与曲线C没有公共点，当双曲线C的离心率取得最大值时，且2k13，则k2的取值范围是（）ABCD12在三棱锥SABC中，SA平面ABC，SAAB2，BC2，SC2若P，Q分别是SB，BC的中点，则平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13平面向量与的夹角为30，则 14记Sn为数列an的前n项和若a11，则数列an的通项公式为 15已知函数f（x）lnxax，若是f（x）的极值点，则f（x）在x1处的切线方程为 16设抛物线C：y22x的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的
5、圆交l于B，D两点若，则ABD的面积为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且（1）求角C；（2）设BC5，AB7，若延长CB到D，使，求CD的长18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，平面PBD底面ABCD，且BDPC（1）求证：PAPC；（2）设BDPB，BAD60，E为PC的中点，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值19有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球
6、和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏（1）求先摸球者获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第1次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球每次游戏获胜者得1分，但若先摸球者输则1分，后摸球者输则得0分记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望EX20设离心率为的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在E上，且满足F1PF260，PF1F2的面积为（1）求a，b的值；（2）设直线l：ykx+2（k0）与E交于M，N两点，点A在x轴上，且满足，求点A横坐标的取值范围21
7、已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）是否存在一条直线l与曲线yf（x）相切于两个不同的点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，且t0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4，）（1）求C1的极坐标方程；（2）设曲线C2的直角坐标方程为x2+y216，以A为直角顶点的等腰直角三角形A
8、BC的顶点B，C均在C2上若B在第二象限，直线BC交C1于点M，求|BM|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x21|+|x25|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）tx对任意x1，+）恒成立，求实数t的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Mx|yln（12x），Nx|xx20，则MN（）ABCD解：，故选：A2已知复数z满足（z+i）（12i）i3（其中i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）ABCD解：因为（z+i）（12i）i3i，所以zi，虚部为故选：B3某运动制衣品牌为了
9、成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.16x30.75，以下结论中不正确的为（）A15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B15名志愿者身高和臂展成正相关关系C可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米解：对于A，身高极差大约是25，臂展极差大于等于30，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B正确；对于C，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂
10、等于189.65厘米，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10厘米的两人展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；故选：D4已知点（m，n）在关于x，y的不等式所表示的平面区域内，则的最小值为（）ABCD解：由约束条件作出可行域如图，点（m，n）在平面区域内，的最小值为O到直线2xy20的距离，等于故选：C5设函数f（x）axax+bsin3x+c（a0且a1）若f（t）1，f（t）3，则c（）A1B2C3D4解：根据题意，函数f（x）axax+bsin3x+c，则f（x）axax+bsin3（x）+c（axax+bsin3x）+c，则有f（
11、x）+f（x）2c，则f（t）+f（t）2c，若f（t）1，f（t）3，则f（t）+f（t）2c4，必有c2，故选：B6斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（）ABCD解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧对应的圆面半径是5+813，对应的弧
12、长是l213，设圆锥底面半径为r，则2r，解得r，所以圆锥的高为h故选：B7已知数列an满足a12，am+nam+an，记Sn为正项等比数列bn的前n项和若b4a8，bn+4bn4bn+12，则log2（Sn+2）（）An1Bn+1Cn2Dn解：数列an满足a12，am+nam+an，当mn1时，解得a22+24，当mn2时，a4a2+a28，同理，当mn4时，a8a4+a416，记Sn为正项等比数列bn的前n项和，若b4a8，bn+4bn4bn+12，则，整理得q2（负值舍去），故则，所以log2（Sn+2）n+1故选：B8在的展开式中，除x2项外，其余各项的系数之和为（）A230B231C
13、232D233解：在的展开式中，令x1，可得各项系数和为 32而表示5个因式（2x+1）的乘积，要得到含x2的项，需有2个因式取x，其余的3个因式都取（1）；或有3个因式取x，一个因式取，一个因式取1，故含x2的项的系数为 22（1）3+23（1）40160200，除x2项外，其余各项的系数之和为 32（200）232，故选：C9已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0）的周期若，则（）ABC3D解：因为f（x）Acos（x+），可得T（，），（2，4），所以cos（+）0，即+k，kZ，又，所以AcosAcos（+），可得coscos（+），所以+m，或+2m，mZ，若+m，则2m，mZ，
14、又24，可得无解；若+2m，mZ，则2+2m，mZ，所以，解得（4n2m），所以3（2nm），（n，mZ），所以为整数，且（2，4），所以3故选：C10已知函数f（x）2sin（x），当x0，10时，把函数F（x）f（x）1的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，记数列xn的前n项和为Sn，则Sn（）ABCD解：F（x）f（x）1的零点即f（x）1，即sin（x），由xk+，kZ，解得xk+，k0，2，4，6，8，即为y2sin（x）的图象的对称轴方程，则x1+x2，x3+x4，x9+x10，可得Sn（+）5，故选：D11已知M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是C上异
15、于M，N的动点，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2若直线与曲线C没有公共点，当双曲线C的离心率取得最大值时，且2k13，则k2的取值范围是（）ABCD解：因为直线与双曲线没有公共点，所以渐进线的斜率，而双曲线的离心率取得最大值，故，即a2b，则双曲线方程为，设M（x1，y1），N（x1，y1），P（x0，y0），则，两式相减得：，即，又2k13，故选：A12在三棱锥SABC中，SA平面ABC，SAAB2，BC2，SC2若P，Q分别是SB，BC的中点，则平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积为（）ABCD解：如图，SA平面ABC，AC平面ABC，SAAC，又SA2，SC2，AC，
16、又AB2，BC2，AB2+BC2AC2，即ABBC，则SC的中点O即为三棱锥SABC外接球的球心，半径为SC，P，Q分别是SB，BC的中点，PQSC，AQ，SAB为等腰直角三角形，AP，AQ2AP2+PQ2，即APPQ，由图可知，O到平面APQ的距离等于B到平面APQ的距离，设B到平面APQ的距离为h，由VPABQVBAPQ，可得，解得h，可得平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面圆的半径r平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积为故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13平面向量与的夹角为30，则解：由已知，所以，所以故答案为：14记Sn为数列an的前n
17、项和若a11，则数列an的通项公式为ann解：因为，则（n+1）an2Sn所以（n+2）an+12Sn+1可得（n+2）an+1（n+1）an2an+1，所以nan+1（n+1）an，即，所以，所以ann，故答案为：ann15已知函数f（x）lnxax，若是f（x）的极值点，则f（x）在x1处的切线方程为x+y+10解：f（x）lnxax的导数为f（x）a，由是f（x）的极值点，可得f（）2a0，解得a2，所以f（x）lnx2x，导数为f（x）2，则f（x）在x1处的切线的斜率为121，切点为（1，2），所以f（x）在x1处的切线方程为y+2（x1），即为x+y+10故答案为：x+y+1016
18、设抛物线C：y22x的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若，则ABD的面积为解：如图所示，设l与x轴交于H，且F（，0），l：x，因为若，则BFFD，可得B（，1），D（，1）可得|FB|，所以圆的半径为|FA|FB|FD|，A的横坐标为：，A到抛物线的准线的距离为：所以ABD的面积为|BD|d2，故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且（1）求角C
19、；（2）设BC5，AB7，若延长CB到D，使，求CD的长解：（1）由正弦定理及条件得，即，整理得，又C为三角形内角，所以C60；（2）在ABC中，由余弦定理得，AC2+255AC49，解得AC8，ACD中，由正弦定理得：，所以CD1018在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，平面PBD底面ABCD，且BDPC（1）求证：PAPC；（2）设BDPB，BAD60，E为PC的中点，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O连PO，因为ABCD是菱形，所以ACBD，又BDPC，AC平面POC，PC平面POC，从而BD平面POC，PO平面POC，所以POBD，又平面
20、PBD底面ABCD，所以PO平面ABCD，AC平面ABCD，于是POAC，而O是AC的中点，故PAPC（2）解：设BD2，则ABD，BCD，PBD均为边长为2的正三角形如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系则B（1，0，0），设平面PAB的一个法向量为，则，令，得，设直线BE与平面PAB所成角为，则，所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值为19有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏（1）求先摸球者获胜的概率；（2）小李
21、和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第1次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球每次游戏获胜者得1分，但若先摸球者输则1分，后摸球者输则得0分记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望EX解：（1）记事件A：“在一次游戏中先摸球者获胜”，先摸球者获胜等价于将这5个球进行排序，第2个黑球排在3号位置或5号位置，共有2+46种，而2个黑球共有种位置，故（2）小李得分的所有可能取值为3，1，0，1，2，3，记事件Ai为“第i次游戏中小李先摸球获胜”，记事件Bi为“第i次游戏中小张先摸球获胜”，则，所以X的分布列为X310123p20设离心率为的椭圆的左、右焦点分别为F1、
22、F2，点P在E上，且满足F1PF260，PF1F2的面积为（1）求a，b的值；（2）设直线l：ykx+2（k0）与E交于M，N两点，点A在x轴上，且满足，求点A横坐标的取值范围解：（1）设椭圆短轴的端点为B，则，所以，所以点P即为点B，所以，又，a2b2c2，所以a2，（2）设A（m，0），M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点H（x0，y0），由，得（4k2+3）x2+16kx+40，所以（16k）216（4k2+3）48（4k21）0，又k0，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以AHMN，所以，得，因为，所以，当且仅当时取“”号，所以，故点A的横坐标的取值范围是21已知函数（1）
23、讨论函数f（x）的单调性；（2）是否存在一条直线l与曲线yf（x）相切于两个不同的点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由解：（1），a28，当0，即时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，当0，即或时，（i）若，因x0，所以f（x）0，f（x）在（0，+）递增，（ii）若，方程x2ax+20的两根，且0x1x2，x（0，x1）时，f（x）0，x（x2，+）时，f（x）0，所以f（x）在（0，x1），（x2，+）上递增，x（x1，x2）时，f（x）0，故f（x）在（x1，x2）上递减，综上：若a2，则f（x）在（0，+）递增，若，则f（x）在（0
24、，），（，+）上递增，在（，）上递减；（2）假设这样的直线存在，则曲线在A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（0x1x2）两处的切线方程分别为：yf（x1）f（x1）（xx1），yf（x2）f（x2）（xx2），依假设知f（x1）f（x2）且f（x1）x1f（x1）f（x2）x2f（x2），即x1x22且，消去x2，得（*），令，由0x1x2且x1x22，得t（0，1），设，则，所以p（t）在（0，1）上递减，所以当0t1时，P（t）p（1）0，故（*）式不能成立，所以假设不成立即不存在一条直线与曲线yf（x）相切于两个不同点（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，
25、如果多做，则按所做的第1题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，且t0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4，）（1）求C1的极坐标方程；（2）设曲线C2的直角坐标方程为x2+y216，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点B，C均在C2上若B在第二象限，直线BC交C1于点M，求|BM|解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数，且t0），整理得xyt，所以t，代入，得到x2+y22y0，根据，转换为极坐标方程为2sin（2）点A的极坐标为（4，），曲线C
26、2的直角坐标方程为x2+y216，所以点A在曲线C2上，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点B，C均在C2上故BC为曲线C2的直径，且点B在第二象限，如图所示：易知：原点O为BC与圆的交点，此时|BM|BO|4，另一交点在第二象限内，BOx，代入曲线C1的方程，得到，所以|OM|，所以|BM|BO|OM|4故|BM|4或4选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x21|+|x25|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）tx对任意x1，+）恒成立，求实数t的取值范围解：（1）因为函数f（x）|2x21|+|x25|，设mx2，则m0，所以不等式f（x）5可化为|2m1|+|m5|5，等价于，或，或，解得m，或m1，或m，即m1，所以x21，解得1x，或x1，所以f（x）5的解集为（1，）（，1）；（2）x1，+）时，f（x）2x21+|x25|，当1x时，f（x）tx等价于（2x21）+（5x2）tx，即x+t，又x+24，当且仅当x2时取“”，所以t4；当x时，f（x）tx等价于（2x21）+（x25）tx，即3xt，又y3x在x（，+）上单调递增，所以3x3，所以t；综上知，实数t的取值范围是t4
