1、江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简，再由，求.【详解】因为又因为所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.设（3，3），（5，1），则等于（ ）A. （2，4）B. （1，2）C. （4，1）D. （1，2）【答案】D【解析】【分析】由（3，3），（5，1），求得即可.【详解】因为（3，3），（5，1）所以所以故选：D【点睛】本
2、题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意可得圆心角，半径，所以弧长,故扇形面积为.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型.4.tan255=A. 2B. 2+C. 2D. 2+【答案】D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解
3、能力5.将函数y2sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（）A. y2sin（2x）+3B. y2sin（2x）+3C. y2sin（2x）+3D. y2sin（2x）3【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的平移变换，左加右减，上加下减来求解.【详解】将函数y2sin2x的图象向左平移个单位，得到，再向上平移3个单位，得到故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知向量，满足（x，1），（1，2），若，则（）A （4，3）B. （0，3）C. （，3）D. （4，3）【答案】C【解析】【分析】根据（x，
4、1），（1，2），且，求得向量的坐标，再求的坐标.【详解】因为（x，1），（1，2），且，所以 ，所以 ，所以（，1），所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.设函数，则函数是（ ）A. 偶函数，且在上是减函数B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数D. 奇函数，且在上是增函数【答案】D【解析】定义域为，因为，所以，所以函数为奇函数，为增函数，为增函数，所以在定义域内仍为增函数，故选D8.已知,，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，所以T=
5、所以=1，并且sin（+）与sin（+）分别是最大值与最小值，0，所以=故选：A9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.20.7，1g0.30.5，1g0.70.15，1g0.80.1）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析
6、】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，两边取对数得， ， ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.10.已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数
7、形结合即可判断.【详解】解：由得，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、的图象，由图象知，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.11.已知ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，在线段DE取点F，使得DF2FE，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将用表示，再由三角形为边长为2的等边三角形，得到，最后用数量积公式计算 .【详解】根据题意， ，又因为三角形为边长为2的等边三角形，所以 ，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了向量的表示及运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12
8、.已知函数f（x），若0ba，且f（a）f（b），则bf（a）取值范围为（ ）A. （，B. ，+）C. 0，D. ，【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，易知b的范围，再将bf（a）转化为bf（b），用二次函数法求解.【详解】如图所示：因为f（a）f（b），可知： ，所以bf（a）= b f（b）=b(b+ )= ，所以bf（a）的取值范围为（，.故选：A【点睛】本题主要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设2，1，1，2使yxa为奇函数且在（0，+）上单调递减的值为_【答案】-1【解析】【分析】先根据单调性确定值
9、为负，然后再验证奇偶性.【详解】因为yxa在（0，+）上单调递减，所以 ，当=-2时， 是偶函数，当时，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，当时，是奇函数.故答案为：-1【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，向量（3，4），向量，（0），若1，则向量的坐标是_【答案】【解析】【分析】先由向量（3，4）及，表示向量的坐标，再利用1求解.【详解】因为向量（3，4），所以向量，所以，所以 ，又因为0，所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.计算lgln的结果是_【答案】【解
10、析】【分析】先将lgln，变形为，再利用对数的性质求解.【详解】lgln， ， .故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.对于函数yf（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）1成立，则称函数f（x）具有性质M（1）下列函数中具有性质M的有_f（x）x+2f（x）sinx（x0，2）f（x）x，（x（0，+）f（x）（2）若函数f（x）a（|x2|1）（x1，+）具有性质M，则实数a的取值范围是_【答案】 (1). (2). a或a0【解析】【分析】（1）因为f（x）x+2，若存在，则，解一元二次方程即可.若存在，则，即，再利用零点存在定理
11、判断.若存在，则，直接解方程.若存在，则，即，令，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f（x）a（|x2|1）（x1，+）具有性质M，则ax（|x2|1）=1，x1，+）有解，将问题转化 ：当 时， 有解，当 时， 有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）因为f（x）x+2，若存在，则，即，所以 ，存在.因为f（x）sinx（x0，2），若存在，则，即，令，因为，所以存在 .因为f（x）x，（x（0，+），若存在，则，即，所以不存在.因为f（x），（x（0，+），若存在，则，即，令，因为，所以存在.（2）若函数f（x）a（|x2|1）（x1，+）具有性质M，则ax（|x2|1）=1，x1
12、，+）有解，当 时， 有解，令 ，所以 .当 时， 有解，令 ，所以 .综上：实数a的取值范围是a或a0.故答案为：(1). (2). a或a0【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知不共线的向量满足，的夹角为（1）30，求的值；（2）若，求cos的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，的夹角30，通过求解.（2）由，得，展开求解.【详解】（1）因为，的夹角）30，所以.（2）因为，所以，所以，所以，所以 .【点睛】本题主要考查了数量积的运算，还考
13、查了运算求解的能力，属于基础题.18.已知集合Ax|yln（x2x+12），Bx|m1x2m+1，mR（1）若m2，求（RA）B；（2）若ABB，求实数m的取值范围【答案】（1）x|3x5；（2）（，1【解析】【分析】（1）先化简集合A，再求得RA，由m2，得Bx|1x5，然后求（RA）B.（2）由ABB，得到BA，再分B时，由m12m+1求解，当B时，有求解，最后取并集.【详解】（1）集合Ax|yln（x2x+12）x|x2x+120x|4x3，所以RAx|x4或x3，当m2时，Bx|m1x2m+1，mRx|1x5，所以（RA）Bx|3x5.（2）因为ABB，所以BA，当B时，m12m+1，
14、解得m2；当B时，有，解得2m1，综上：实数m的取值范围是（，1.【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P的坐标是（3a，a），其中a0（1）求cos（）的值；（2）若tan（2+）1，求tan的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，当a0时，点P在第一象限，求出cos，sin，再利用两角差的余弦求解，同理，当a0时，点P在第三象限，按同样的方法求解（2）由终边上点P（3a，a），可得tan，用二倍角公式求出tan2，又因为 tan（2
15、+）1，利用角的变换转为tan求解.【详解】（1）由题意可得，当a0时，点P在第一象限，cos，sin，所以cos（），当a0时，点P在第三象限，cos，sin，所以cos（）.（2）由题意可得，tan，故tan2，因为tan（2+）1，故tan.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知向量（2sinx，cosx），（cosx，2cosx）（1）若xk，kZ，且，求2sin2xcos2x值；（2）定义函数f（x），求函数f（x）的单调递减区间；并求当x0，时，函数f（x）的值域【答案】（1）；（2）单调递减区间为k，kZ，值域1
16、，4【解析】【分析】（1）由，得，从而求得tanx，再用商数关系，转化2sin2xcos2x求解.（2）化简函数f（x）=2sin（2x）+2，利用整体思想，令2x可求得减区间.由x，得到2x，从而有sin（2x）求解.【详解】（1）因为，所以，因为x，所以cosx0，所以tanx，所以2sin2xcos2x.（2）f（x）2sinxcosx+2cos2x+1cos2x+22sin（2x）+2，令2x，解得，故函数的单调递减区间为k，kZ.因为x，所以2x，所以sin（2x），所以函数f（x）的值域1，4【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21
17、.已知奇函数f（x），函数g（）cos2+2sin，m，m，bR（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在0，1上的单调性，并证明；（3）当x0，1时，函数g（）最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围【答案】（1）b0；（2）在0，1上的单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数，令f（0）0求解. （2）函数f（x）在0，1上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f（x）在0，1上的单调递增，得到即g（）的最小值为，再令tsin，转化为二次函数求解.【详解】（1）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（0）0，解得b0（2）函数f（
18、x）在0，1上的单调递增证明：设则：f（x2）f（x1），因为，所以x2x10，1x1x20，所以，即f（x2） f（x1），所以函数f（x）在0，1上的单调递增（3）由（2）得：函数f（x）在0，1上的单调递增，所以所以g（）的最小值为令tsin，所以y的最小值为，令解得所以，即，所以 又因为m，m，bR，所以【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22.已知函数yf1（x），yf2（x），定义函数f（x）（1）设函数f1（x）x+3，f2（x）x2x，求函数yf（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，g（x）mx+2（mR），函数h（x）f（
19、x）g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；（3）设函数f1（x）x22，f2（x）|xa|，函数F（x）f1（x）+f2（x），求函数F（x）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据函数f（x）的定义，两个函数中取小的.（2）函数h（x）f（x）g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）g（x）有三个不同的实数根，因为函数 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.（3）根据题意F（x）按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.【详解】（1）f1（x）x+3，当f1（x）f2（x），即x3或x1时，f（x）x+3，当f1（x）
20、f2（x），即1x3时，综上：（2）函数h（x）f（x）g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）g（x）有三个不同的实数根，因为函数，函数g（x）mx+2（mR），所以当x1或x3时，mx+2x+3恰有一个实数解，所以或，解得，当1x3时，mx+2x2x恰有两个不同的实数解，即当1x3时x2（m+1）x2=0恰有两个不同的实数解，设函数h（x）x2（m+1）x2，由题意可得，所以，解得，综上，m的取值范围为（3）F（x）f1（x）+f2（x）x2+|xa|2若a，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为；若，则函数F（x）在（，a）上是单调减函数，在（a，+）上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为F（a）a22；若，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为；综上：【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.