1、-1-2.2 平面向量的线性运算-2-2.2.1 向量加法运算及其几何意义-3-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来.2.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行向量计算,并初步掌握向量加法的实际应用.-4-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦
2、DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 1.向量的加法(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.(2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作 =a,=b,则向量 叫做向量a 与 b 的和,记作 a+b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.-5-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2(3)平行四边形法则:已知两个不共线向量 a,b(如图
3、乙所示),作 =a,=b,则 A,B,D 三点不共线,以 ,为邻边作平行四边形,则向量 =a+b.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.-6-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2【做一做 1-1】+等于()A.B.C.D.答案:C【做一做 1-2】在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,则|+|=()A.3B.4C.7D.5答案:D【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|+|等于()A.0B.1C.2D.3解
4、析:|+|=|+|=|=1.答案:B-7-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 2.向量加法的运算律交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)【做一做 2】化简 +=.解析:+=(+)+=+=0.答案:0-8-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 向量加法与实数加法的异同 剖析:讨论两
5、种运算的异同,主要从它们的运算结果、运算律、运算的意义来分析.(1)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数.(2)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律;向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形法则来验证.-9-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 如图,作 =a,=b,=c,连接 AC,AD,BD,则 =a+b,=b+c.=+=a+(b+c),=+=(a+b)+c,(a+b)+c=a+(b+c).(
6、3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.-10-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一作向量的和【例1】如图,已知向量a,b,c,试作出向量a+b+c.分析:本题是求作三个向量的和向量的问题,首先应作出两个向量的
7、和,这两个向量的和仍为一个向量,然后再作出这个向量与另一个向量的和,方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则.解:作法一:如图,首先在平面内任取一点 O,作向量 =a,接着作向量 =b,则得向量 =a+b;然后作向量 =c,则向量 =(a+b)+c=a+b+c 即为所求.-11-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 作法二:如图,首先在平面内任取一点 O,作向量 =a,=b,=c,以 OA,OB 为邻边作OADB,连接 OD,
8、则 =+=a+b.图 图再以 OD,OC 为邻边作ODEC,连接 OE,则 =+=a+b+c 即为所求.-12-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思应用三角形法则、平行四边形法则作向量的和时需注意的问题:(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”.即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
9、(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.(4)当两个向量共线时,利用三角形法则,即两个向量首尾相接,以第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量就是两个向量的和向量.-13-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练1】已知向量a和向量b,如图,分别用三角形法则和平行四边形法则作出a+b.解:三角形法则:
10、作向量 =a,向量 =b;连接 OB,则向量 =a+b,如图甲.平行四边形法则:作向量 =a,向量 =b;以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则向量 =a+b,如图乙.-14-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二化简含有向量的关系式【例 2】化简下列各式:(1)+;(2)+.分析:首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利用向量加法的结合律求和.解:(1)+=+=+=+=0.(2)+=(+)+(+)=
11、+=.-15-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思化简含有向量的关系式一般有两种方法:(1)利用几何方法通过作图实现化简;(2)利用代数方法,先通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,再用向量加法的结合律求和,有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.-16-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAOD
12、AOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】如图,在平行四边形 ABCD 中,(1)+=_.(2)+=_.(3)+=_.答案:(1)(2)(3)-17-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三向量加法的实际应用【例3】如图,在重力为300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30,60,求当整个系统处于平衡状态时,两根绳子拉力的大小.-18-2.2.1 向量加法运算 及其几何
13、意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:如图,作OACB,使AOC=30,BOC=60,和 分别表示两根绳子的拉力,则 表示这两根绳子拉力的合力,|=300 N.在OAC 中,ACO=BOC=60,OAC=90.则|=|cos 30=300 32=150 3(N),|=|sin 30=300 12=150(N),即|=|=150(N).则可得与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 3 N,与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150 N.-19-2.2.1 向
14、量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思解决与向量有关的实际应用题,应按照如下步骤解题:弄清实际问题数学问题正确画出图形用向量表示实际量向量运算回扣实际问题作出解答-20-2.2.1 向量加法运算 及其几何意义 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 解:如图,表示水流速度,表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,表示船实际航行的速度,AOC=30,|=5 km/h.四边形 OACB 为矩形,|=|tan30=5 3(km/h),|=|sin30=10(km/h),水流速度大小为 5 3 km/h,船的实际速度为 10 km/h.题型一 题型二 题型三【变式训练3】一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度和船的实际速度.