1、2016-2017学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填写在下表中）1已知命题p：c0，使方程x2x+c=0有解，则p为（）Ac0，方程x2x+c=0无解Bc0，方程x2x+c=0有解Cc0，使方程x2x+c=0无解Dc0，使方程x2x+c=0有解2若=（2x，1，3），=（1，2y，9），如果与为共线向量，则（）Ax=1，y=1Bx=，y=Cx=，y=Dx=，y=3从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在
2、样本中，则该样本中产品的最小编号为（）A8B10C12D164下列判断中，正确的有（）一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；在ABC中，“B=60”是“A，B，C三个角成等差数列”的充要条件；是的充要条件；“am2bm2”是“ab”的必要不充分条件ABCD5如图，茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为（）A8B10C11D136下列说法正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若l，则lD若l，则l7函数f（x）=sinx（x0，），在区间0，上任取一点x0，则f（x0）的概率为（）AB
3、CD8已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.159一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面
4、积为（）ABCD10如图是计算+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci20Di2011在一个封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，AC=10，AA1=3，则球的体积的最大值为（）AB4C6D12若椭圆+=1（ab0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD二、填空题：（本大题共有4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据，根据上表提供的数据，求出y
5、关于x的线性回归方程y=0.75x+0.35，那么表中m=X3456y2.5m44.514袋中有大小形状相同的红球，黑球各一个，现依次有放回的随机摸去3次，每次摸取一球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为15双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线的方程为16如图，圆C内切于扇形AOB，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17某校100名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，7
6、0），70，80），80，90），90，100（1）求图中物理成绩的众数及a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生物理成绩的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位）18给出命题p：a（1a）0；命题q：y=x2+（2a3）x+1与x轴交于不同的两点如果命题“pq”为真，“pq”为假，求a的取值范围19将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）（1）若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数
7、）上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值20已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=2于点M，N（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）求证：OM与ON相互垂直21如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：BE平面PAC（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值22如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程
8、（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由2016-2017学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填写在下表中）1已知命题p：c0，使方程x2x+c=0有解，则p为（）Ac0，方程x2x+c=0无解Bc0，方程x2x+c=0有解Cc0，使方程x2x+c=0无解Dc0，使方程x2x+c=0有解【考点】命题的否
9、定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，命题p：c0，使方程x2x+c=0有解则命题p的否定p是：c0，方程x2x+c=0无解故选：A2若=（2x，1，3），=（1，2y，9），如果与为共线向量，则（）Ax=1，y=1Bx=，y=Cx=，y=Dx=，y=【考点】共线向量与共面向量【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值【解答】解：=（2x，1，3）与=（1，2y，9）共线，故有=x=，y=故选C3从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小
10、编号为（）A8B10C12D16【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为805=16，42=162+10，该样本中产品的最小编号为10，故选：B4下列判断中，正确的有（）一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；在ABC中，“B=60”是“A，B，C三个角成等差数列”的充要条件；是的充要条件；“am2bm2”是“ab”的必要不充分条件ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】，一个命题的逆命题与它的否命题互逆否，同真假，在ABC中，“B=60”是A，B，C三个角成等差数列的充要条件，由内角和及等差数列的性质判断，例如x=1，y=9满足x+y5，x
11、y6，但是不满足x1，y3成立；，由“am2bm2”可以得出“ab”成立，反之，当m=0时，不能得出“am2bm2”故am2bm2”是“ab”的充分非必要条件【解答】解：对于，一个命题的逆命题与它的否命题互逆否，同真假，故正确；对于，因为三角形内角和为180，即A+B+C=180，等差中项概念可知，2B=A+C，可得B=60根据B=60推出A、B、C成等差数列，在ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B=60，故正确；对于，若x1，且y2，则x+y3，xy2一定成立即x2，y3x+y5，xy6例如x=1，y=9满足x+y5，xy6，但是不满足x1，y3成立，x2，且y3，是x+y5，xy6
12、的充分不必要条件，故错；对于，由“am2bm2”可以得出“ab”成立，反之，当m=0时，不能得出“am2bm2”故am2bm2”是“ab”的充分非必要条件，故错；故选：A5如图，茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为（）A8B10C11D13【考点】茎叶图【分析】甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，由茎叶图列出方程组求出x，y，由此能求出x+y的值【解答】解：甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，由茎叶图知：，解得x=5，y=8，x+y=13故选：D6下列说法正确
13、的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若l，则lD若l，则l【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，若l，l，则或，相交，不正确；对于B，若l，经过l的直线与的交线为m，则lm，l，m，根据平面与平面垂直的判定定理，可得，正确；对于C，若l，则l或l，不正确；对于D，l，则l、位置关系不确定，不正确，故选：B7函数f（x）=sinx（x0，），在区间0，上任取一点x0，则f（x0）的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】求出不等式f（x0）的解，利用几何概型的概率公式即可
14、得到结论【解答】解：若f（x），即sinx，解得，则在区间0，上任取一点x0，则f（x0）的概率P=，故选：A8已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（
15、）A0.35B0.25C0.20D0.15【考点】模拟方法估计概率【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、431、393、113共7组随机数，所求概率为=0.35故选A9一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图
16、的数据，求出几何体的侧面积即可【解答】解：该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥ABCDE，如图所示，在直角三角形ABE中，AB=1，BE=，AE=，在三角形AED中，AE=，ED=，AD=，AE2+DE2=AD2，三角形AED是直角三角形，则该几何体的侧面积为S=2（）+2（）=+，故选C10如图是计算+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci20Di20【考点】程序框图【分析】根据算法的功能是计算+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件【解答】解：根据算法的功能是计算+的值，终止程序运行的i=11，判断框中应填入的条件是
17、：i10或i11故选：B11在一个封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，AC=10，AA1=3，则球的体积的最大值为（）AB4C6D【考点】球的体积和表面积【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，AC=10，BC=8故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：D12若椭圆+=1（ab0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD【考点】圆与
18、圆锥曲线的综合【分析】由题设知，由，得2cb，再平方，4c2b2，；由，得b+2c2a，综上所述，【解答】解：椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，圆的半径，由，得2cb，再平方，4c2b2，在椭圆中，a2=b2+c25c2，；由，得b+2c2a，再平方，b2+4c2+4bc4a2，3c2+4bc3a2，4bc3b2，4c3b，16c29b2，16c29a29c2，9a225c2，综上所述，故选A二、填空题：（本大题共有4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据，根
19、据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y=0.75x+0.35，那么表中m=3.9X3456y2.5m44.5【考点】线性回归方程【分析】根据表中数据，计算、，由线性回归方程过样本中心点（，），代入求出m的值【解答】解：根据表中数据，计算=（3+4+5+6）=4.5，=（2.5+m+4+4.5）=，又线性回归方程=0.75x+0.35过样本中心点（，），=0.754.5+0.35，解得m=3.9故答案为：3.914袋中有大小形状相同的红球，黑球各一个，现依次有放回的随机摸去3次，每次摸取一球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为【考点】列举法计算基本事件数
20、及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数为：n=23=8，再求出3次摸球所得总分为5包含的基本事件个数m=3，由此能求出3次摸球所得总分为5的概率【解答】解：袋中有大小形状相同的红球，黑球各一个，现依次有放回的随机摸去3次，每次摸取一球，基本事件总数为：n=23=8，摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，3次摸球所得总分为5包含的基本事件个数m=3，3次摸球所得总分为5的概率p=故答案为：15双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线的方程为【考点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的离心率求出a，然后求解b，
21、即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，可得c=2，a=1，则b=，所求的双曲线方程为：故答案为：16如图，圆C内切于扇形AOB，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为【考点】几何概型【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与C的面积比【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆
22、，其面积为C的面积=r2，连接OC，延长交扇形于P由于CE=r，BOP=，OC=2r，OP=3r，则S扇形AOB=，C的面积与扇形OAB的面积比是概率P=，故答案为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17某校100名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中物理成绩的众数及a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生物理成绩的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位）【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【分析】（1）频率最大的组
23、中值，即为众数，各组的累积频率为1，可得a的值；（2）累加各组组中值与频率的乘积可估得平均分，均为图中矩形面积，可估得中位数【解答】解：（1）众数是65依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005（2）这100名学生物理成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73（分）设中位数为70+x分，则由0.00510+0.0410+0.03x=0.5解得，所以这100名学生物理成绩的中位数约为71.718给出命题p：a（1a）0；命题q：y=x2+（2a3）x+1与x轴交于不同的两点如果命题“pq”为真，“pq”为假，求a的取值范
24、围【考点】复合命题的真假【分析】先求出命题p，q为真命题时对应的等价条件，然后利用pq为假命题，pq为真命题，确定a的取值范围【解答】解：命题p为真a（1a）00a1命题q为真，命题“pq”为真，“pq”为假p，q中一真一假，当p真q假时，得，当p假q真时，得，所以a的取值范围是19将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）（1）若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事件的概率P最大，求m和
25、P的值【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为66，画出图形，满足条件的事件A可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果（2）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x，y1，6，画出图形，直线x+y=m过（1，6）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，得到结果【解答】解：（1）基本事件总数为66=36当a=1时，b=1，2，3；当a=2时，b=1，2；当a=3时，b=1共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件
26、区域内，P（A）（2）当m=7时，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种，此时P=最大20已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=2于点M，N（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）求证：OM与ON相互垂直【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（）将E（2，2）代入y2=2px，得p，然后求解抛物线方程，焦点坐标（）设，M（xM，yM），N（xN，yN），直线l不经过点E，所以直线l的斜率一定存在，设直线l方程为y=k（x2），联立，通过韦达定理，求解直线AE的
27、方程求出M，N坐标，利用向量的数量积为0，证明OMON【解答】解：（）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（）设，M（xM，yM），N（xN，yN），因为直线l不经过点E，所以直线l的斜率一定存在，设直线l方程为y=k（x2）与抛物线方程联立得到 消去x，得：ky22y4k=0则由韦达定理得：直线AE的方程为：，即令x=2，得同理可得：又，所以=4+=0所以OMON21如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：BE平面PAC（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面
28、角的平面角（锐角）的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出BEPC，PBAC，ACBC，PBBC=B，从而AC平面PBC，进而ACBE，由此能证明BE平面PAC（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值【解答】证明：（1）因为BP=BC，EP=EC，所以BEPC因为PB平面ABC，所以PBAC又ACBC，PBBC=B，所以AC平面PBC，所以ACBE又PCAC=C所以BE平面PAC（2）建立如图所示的空间直角坐标系则B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，
29、1），=（1，0，0），=（，）设平面BEF的法向量为=x，y，z），则，令x=1，得=（1，1，1）取平面ABC的法向量=（0，0，1）则cos=所以平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为22如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）根据过F1
30、的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2c2=3，即可求得椭圆E的方程（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m0，=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可【解答】解：（）过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为84a=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=3椭圆E的方程为（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0动直线l：y
31、=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）m0，=0，（8km）24（4k2+3）（4m212）=04k2m2+3=0此时x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x2）2+（y）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x）2+（y）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上设M（x1，0），则=0对满足式的m，k恒成立因为=（x1，），=（4x1，4k+m），由=0得+4x1+x12+3=0，整理得（4x14）+x124x1+3=0由于式对满足式的m，k恒成立，所以，解得x1=1故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M2017年3月15日