1、2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期收心考试数学试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽，在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin=()A. 15B. 25C. 35D. 452. 下面五个式子中：aa;a;aa,b;aa;ab,c,a;正确的有()A. B. C.
2、 D. 3. 设a=cos3，b=20.2，c=log23，则()A. abcB. bcaC. acbD. ba0)C. f(3x)=3ex(xR)D. f(3x)=lnx+ln3(x0)5. 若函数f(x)=x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x22x2=0的一个近似根(精确度0.04)为()x11.51.251.3751.43751.40625f(x)20.6250.9840.2600.1650.052A. 1.5B. 1.25C. 1.375D. 1.43756. 已知f(x)是定义在2,2b上的偶函数，且在2b,0上单调递增，则f(x
3、+1)f(1)的解集为()A. 2,0B. 3,1C. 3,20,1D. (,20,+)7. 函数f(x)=log1e(x2+2x+15)的单调递减区间是()A. (,1)B. (3,1)C. (1,5)D. (5,+)8. 定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，则关于x的函数F(x)=f(x)a(0a0，x2+2ax+20”为真命题B. 若关于x的不等式kx26kx+k+80恒成立，则k的取值范围为0k1C. 设集合M=1,2，N=a2，则“a=1”是“NM”的充分不必要条件D. 函数f(x)=|x|与函数g(x)=(x)2是同一个函数11. 已知函数f(x)=sin(2x+)(222|x1
4、|+12,x2，下列说法正确的是()A. 函数f(x)的单调递增区间是1,23,+)B. 若函数g(x)=f(x)m恰有三个零点，则实数m的取值范围是32(52,+)C. 若函数g(x)=f(x)m有四个零点x1，x2，x3，x4则x1+x2+x3+x4(6+e32+e32,6+e52+e52D. 若g(x)=f(x)22af(x)有四个不同的零点，则实数a的取值范围是34(54,+)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知2,1,12,12,1,2,3，若幂函数f(x)=x为奇函数，且在(0,+)上是严格减函数，则取值的集合是14. 一扇形的圆心角=3，半径R=10cm，则该扇
5、形的周长为cm15. 已知a0，b0，且a+b=1，则1a+2b3ab的最大值是16. 设f(x)=x2x+1，g(x)=ax+32a(a0)，若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得g(x0)=f(x1)成立，则a的取值范围是四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)(1)求2log214+(169)12+lg20lg2log32log23的值;(2)已知a+a1=3，求a32+a32的值18. (本小题12.0分)已知角满足sincos=55(1)求tan的值;(2)若角是第三象限角，f()=sin()tan(5+)c
6、os(+)tan(2)cos(32)，求f()的值19. (本小题12.0分)已知函数f(x)=12sin(2x+4)，xR.(1)求f(x)的最大值和对应x的取值;(2)求f(x)在2,2的单调递增区间20. (本小题12.0分)截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题【主题一】【科学抗疫，新药研发】(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位：mg/L)随着时间t(单位：).的变化用指数模型c(t)=c0ekt描述，
7、假定某药物的消除速率常数k=0.1(单位：1)，刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时?(精确到0.01，参考数据：ln20.693，ln31.099)【主题二】【及时隔离，避免感染】(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米(a0)，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，
8、总价最低?21. (本小题12.0分)已知函数f(x)=loga(ax1)(a0,a1)(1)当a=12时，求函数f(x)的定义域;(2)当a1时，求关于x的不等式f(x)m对任意实数x1,3恒成立，求实数m的取值范围22. (本小题12.0分)如果函数f(x)在其定义域D内，存在实数x0D使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”(1)判断函数f1(x)=x2，f2(x)=1x，f3(x)=x，f4(x)=lnx，f5(x)=2x是否为“可拆分函数”?(需说明理由)(2)设函数f(x)=lga2x+1为“可拆分函数”，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案
9、】C【解析】【分析】本题考查了三角形中的几何计算以及利用同角三角函数基本关系式求值，属于中档题【解答】解：作图如下，其中AB=5，EH=1，AHEH=AE，即5cos1=5sin(01，12c=log231，则acb.故选：C4.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数函数与对数函数互为反函数，对数式的化简，属于基础题【解答】解：由y=ex，所以其反函数为y=lnx，即f(x)=lnx，所以f(3x)=ln3x=ln3+lnx.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二分法的应用，属于基础题【解答】解：由表格可知，方程x3+x22x2=0的近似根在(1,1.5)，(1.25,1.5)，(1.37
10、5,1.5)，(1.375,1.4375)，(1.40625,1.4375)内，又因为1.43751.40625=0.031250，即(x+3)(x5)0，解得3x5，所以函数的定义域为(3,5)，又y=x2+2x+15=(x1)2+16在(3,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减，又y=log1ex在定义域上单调递减，所以f(x)=log1e(x2+2x+15)的单调递减区间为(3,1)8.【答案】B【解析】【分析】本题是对分段函数与奇偶性的综合考查，题目较难【解答】解：由题设，画出0,+)上f(x)的大致图象，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如下：F(x)的零点，即为方程f(x)a
11、=0的根，即f(x)图像与直线y=a的交点由图象知：f(x)与y=a有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x1，x2关于x=3对称，x1+x2=6;x30，故方程x2+2ax+2=0总有两个不相等的实数根x1，x2(不妨设x1x2)，由韦达定理得x1x2=20，即x100的解集为(x1,x2)，则当x(0,x2)时，有x2+2ax+20，故A正确;对于B:当k=0时，可得80成立，满足题意，当k0时，可得=(6k)24k(k+8)0，解得0k1，综上k的取值范围为0,1，故B错误;对于C:当a=1时，N=1，所以NM，充分性成立，若NM，则a2=1或a2=2，解得
12、a=1或a=2，必要性不成立，所以“a=1”是“NM”的充分不必要条件，故C正确;对于D:函数f(x)=|x|的定义域为R，函数g(x)=(x)2的定义域为0,+)，定义域不同，故不是同一函数，故D错误11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性以及零点问题，属于中档题【解答】解：因为函数f(x)的图象关于直线x=3对称，所以23+=k+2，kZ，可得=k6，kZ，又22，所以=6，所以f(x)=sin(2x6).对于A，当x3,2时，2x62,56，由正弦函数性质知f(x)是减函数，故A正确;对于B，f(x+3)=sin2(x+3)6=sin(2x+2)=cos
13、2x是偶函数，故B正确;对于C，当x1=6，x2=2时，f(x1)=f(x2)=12，但x1x2=3不是的整数倍，故C错误;对于D，令f(x)=sin(2x6)=0，则2x6=k，kZ，即x=12+k2，kZ，由012+k22，解得16k52，故B正确;函数g(x)=f(x)m有四个零点，则32m52，不妨设x1x2x3x4，令|ln(x2)|=32，解得x=e32+2或e32+2，令|ln(x2)|=52，解得x=e52+2或e52+2，所以由图可知，0x11，1x22，e52+2x3e32+2，e32+2f(e32)=e32+e32+4，所以f(t)(4+e32+e32,4+e52+e52
14、，即x3+x4(4+e32+e32,4+e52+e52又因为x1+x2=2，所以x1+x2+x3+x4(6+e32+e32,6+e52+e52，故C正确;令f(x)22af(x)=0，解得f(x)=0或f(x)=2a，由f(x)=0解得x=3，所以f(x)=2a有三个不同的解，由B选项分析过程可知2a=32，或2a52，解得a=34，或a54，所以实数a的取值范围是3454,+故D正确;故选：BCD13.【答案】1【解析】【分析】本题考查幂函数的图象与解析式，属于基础题【解答】解：2,1,12,12,1,2,3，在(0,+)上递减，0，b0，且a+b=1，所以a(0,1)，b(0,1)，1a+
15、2b3ab=11+b3ab=11+(1a)(13a)=13a24a+2，当a=23时，3a24a+2取最小值23，所以13a24a+2取最大值32，故1a+2b3ab的最大值是3216.【答案】32,52【解析】【分析】本题考查函数的最值，含参数的集合关系的问题，属于综合题【解答】解：由题意，函数f(x)=x2x+1，当x=0时，f(x)=0，当x0时，f(x)=x2x+1=11x2+1x=1(1x+12)214，因为0x1，可得1x1，则(1x+12)2142，所以00)，且g(0)=32a，g(1)=3a，对于任意x10,1，总存在x00,1，使得g(x0)=f(x1)成立，可得0,123
16、2a,3a，即32a03a12，解得32a52，所以实数a的取值范围为32,52.17.【答案】(1)2log214+(169)12+lg20lg2log32log23=14+34+lg2021=1+11=1(2)由a+a1=3，故a0，a12+a122=a+a1+2=5，故a12+a12=5a32+a32=(a12+a12)(a+a11)=5(31)=25【解析】本题考查了指对数运算、指对数互化、换底公式、特殊角三角函数值，属于基础题18.【答案】解：(1)由题意和同角三角函数基本关系式，有sincos=55sin2+cos2=1消去sin得5cos25cos2=0，解得cos=255或co
17、s=55，当角是第一象限角时，cos=255，sin=55，tan=12，因为角是第三象限角，cos=55，sin=255，tan=2(2)由题意可得f()=sintan(cos)tansin=cos，因为角是第三象限角，所以cos=55，所以f()=55【解析】本题考查同角的三角函数关系，诱导公式，属基础题19.【答案】解：(1)因为f(x)=12sin(2x+4)，xR，由2x+4=2+2k，kZ，可得x=8+k，kZ，当x=8+k，kZ时，函数f(x)有最大值12;(2)由2+2k2x+42+2k，kZ，可得38+kx8+k，kZ，又x2,2，函数f(x)的单增区间为38,8.【解析】本
18、题考查正弦型函数的最值，在定区间内的单调性，属于基础题20.【答案】解：(1)由题意得，c(t)=c0ekt=2000e0.1t，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L时需要的时间为t1，由c(t1)=2000e0.1t11000，得e0.1t112，故0.1tln2，tln20.16.93该新药对病人有疗效的时长大约为6.93(2)由题意，正面长为48ax米，故总造价y=400448ax+21504x，即y=76800ax+1200x，(08，即a1时，由对勾函数的性质可得，x=8时总价最低;综上，当01时，x=8时总价最低【解析】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查基本不
19、等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用21.【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=log12(12x1)，故：12x10，解得：x1)，定义域为x(0,+)，用定义法易知f(x)为x(0,+)上的增函数，由f(x)0xm对任意实数x1,3恒成立，故：【解析】本题考查复合函数的单调性，函数最值的求解，属中档题22.【答案】解：(1)f1(x)，f3(x)，f5(x)是“可拆分函数”，f2(x)，f4(x)不是“可拆分函数”理由如下：若f1(x)=x2，则f1(0+1)=f1(0)+f1(1)=1，f3(x)=x，f3(0+1)=f3(0)+f3(1)=1，f5(x)=2x，f5(1+1)=f5(1)+f5(1)=4，假设f2(x)=1x是“可拆分函数”，则存在x0，使得1x0+1=1x0+1，即x02+x0+1=0，而此方程的判别式=14=30，所以a=3(2x0+1)2x0+1+1=3(2x0+1)22x0+1，令t=2x0，则t0，所以，a=3(t+1)2t+1=32+32(2t+1)，由t0得32a3，即a的取值范围是(32,3)