1、-1-1.2.2 同角三角函数的基本关系-2-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sincos=tan x;掌握这两个基本关系的推导.2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.-3-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 同角三角函数的基本关系(
2、1)关系式:平方关系:sin2+cos2=1.商关系:sincos=tan +2,Z.(2)文字叙述:同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 的正切.名师点拨 1.对于同角三角函数的基本关系的理解,应注意两个方面:一是“角相同”,如 3 与 3,4与4,5+7 与5+7 都是同一个角;二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立.2.根据问题的需要,应注意同角三角函数基本关系式的变形和逆用.如基本关系式有如下的变形形式:sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2;sin=tan cos,cos=sintan;1 2sin cos=(sin c
3、os)2.-4-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航【做一做 1】已知 sin=78,cos =158,则 tan 等于()A.78 B.158C.157 D.7 1515答案:D【做一做 2】sin22 016+cos22 016=.答案:1-5-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 三角函数式的化简与证明方
4、法 剖析:三角函数式的化简是将三角函数式化为最简单的形式,其基本要求是,尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,而且还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具有较高的要求.三角函数恒等式的证明是一种指定答案的恒等变形,与三角函数式的化简相比要简单一些.-6-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI
5、 TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:(1)直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.(2)综合法:由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.(3)中间量法:证明等式左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等,即“若a=c,b=c,则a=b”,它可由等量关系的传递性推出.(4)分析法:即从结论出发,逐步推向已知条件,其证明过程的书写格式为“
6、要证明,只需”,只要所需的条件都已经具备,则结论就成立.-7-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一已知 cos(或 sin),求 tan 和 sin(cos)【例 1】已知 cos=817,求 sin,tan 的值.分析:先利用平方关系求出 sin 的值,再利用商的关系求出 tan 的值.在求 sin 的值时,先由余弦值为负确定角 的终边在第二或第三象限,再分象限讨论.-8-1.2.2 同角三角函数的 基
7、本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:由 cos=817 0,知 是第二或第三象限角.若 是第二象限角,则 sin=1-cos2=1-817 2=1517,tan=sincos=1517-817=158;若 是第三象限角,则 sin=1-cos2=1517,tan =sincos=158.反思已知cos(或sin)求tan 时,先利用平方关系求出sin(或cos),再利用商关系求出tan.注意在求sin(或cos)时,往往需分类讨论所在的
8、象限.-9-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练 1】若 sin=45,求 cos,tan 的值.解:sin=45 0,cos 0.故 tan 1sin2-1=tan 1-sin2sin2=tan cos2sin2=sincos cossin=sincos -cossin=1.(2)证法一:sin2+cos2=11-cos2=sin2(1-cos)(1+cos)=sin sin sin1-cos=1+c
9、ossin.-15-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 证法二:sin1-cos 1+cossin=sin2-(1+cos)(1-cos)(1-cos)sin=sin2-(1-cos2)(1-cos)sin=sin2-sin2(1-cos)sin=0,sin1-cos=1+cossin.-16-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIA
10、NLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四已知 tan 的值求其他代数式的值【例4】已知tan=7,求下列各式的值.(2)sin2+sin cos+3cos2.分析:对于(1),可以将分子和分母同时除以cos,则分子和分母中都只含有tan,再将tan=7代入;对于(2),可将分母看成是sin2+cos2,将分子和分母同时除以cos2.(1)sin+cos2sin-cos;-17-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MU
11、BIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)sin+cos2sin-cos=sin+coscos2sin-coscos=tan+12tan-1=7+127-1=813.(2)sin2+sin cos+3cos2=sin2+sincos+3cos2sin2+cos2=sin2+sincos+3cos2cos2sin2+cos2cos2=tan2+tan+3tan2+1=49+7+349+1=5950.-18-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUB
12、IAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1.已知tan=m,求关于sin,cos 的齐次式的值的问题时,需注意以下几点:(1)一定是关于sin,cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos 0,所以可用cosn(nN*)去除原式分子、分母的各项,这样可以将原式化为关于tan 的表达式,再将tan 的值代入,从而求值.2.形如 sin+cossin+cos 或 sin2+sincos+cos2sin2+sincos+cos2的分式,直接将分子、分母同时除以 cos 或 cos2,将正弦、余弦转化为正切,从而求值.3.形如 asin2+bsin
13、 cos+ccos2 的式子,可先将其看成分母为 1的分式,再将分母 1 变形为 sin2+cos2,转化为sin2+sincos+cos2sin2+cos2,再进行求解.-19-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练 4】设 tan=2.求:(1)1+2sincossin2-cos2;(2)2sin2 3sin cos +5cos2.解:(1)1+2sincossin2-cos2=sin2+cos2+2
14、sincossin2-cos2=tan2+1+2tantan2-1=22+1+2222-1=93=3.(2)2sin2-3sin cos+5cos2=2sin2-3sincos+5cos2sin2+cos2=2tan2-3tan+5tan2+1=2 4-3 2+54+1=75.-20-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五易错辨析易错点 忽视 sin 与 cos 的制约关系致错【例 5】已知 是第二象限角,
15、且 sin=-3+5,cos =4-2+5,则实数的取值范围是()A.3m9B.-5m9C.m=0 或 m=8D.m=8错解:为第二象限角,0 sin 1,-1 cos 0.0 -3+5 1,-1 4-2+5 3,2 9.解得 3m9,故选 A.-21-1.2.2 同角三角函数的 基本关系 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 答案:A错因分析:上述解法看似合理,但其结果是错误的.如我们在上述解法所得结果即 3m 0,cos=4-2+5 0,sin2+cos2=-3+5 2+4-2+5 2=1.3,2,=0 或=8.=8,故选D.答案:D 反思sin2+cos2=1是恒等式,往往是作为一个隐含条件,如果忽视该恒等式,那么就易出错.