1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1设不等式x2x0的解集为M，函数f（x）=ln（1|x|）的定义域为N，则MN为（）A0，1）B（0，1）C0，1D（1，02复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”D“x=1”
2、是“x25x6=0”的必要不充分条件4等差数列an中，a3=8，a7=20，若数列的前n项和为，则n的值为（）A14B15C16D185某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A8B2C1D06向量，满足|=1，|=，（ +）（2），则向量与的夹角为（）A45B60C90D1207为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（）A46B48C50D608已知圆（x2）2+（y+1）2=16的一条直径通过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直
3、径所在的直线方程为（）A2x+y5=0Bx2y=0C2x+y3=0Dx2y+4=09实数x，y满足条件，则z=xy的最小值为（）A2B1C0D110设0，函数y=sin（x+）（）的图象向左平移个单位后，得到下面的图象，则，的值为（）ABCD11某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A92+14B82+14C92+24D82+2412已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）0，f（x）g（x）f（x）g（x），f（x）=axg（x），在有穷数列（n=1，2，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共2
4、0分）13已知抛物线H：4x2=y的准线l与双曲线C：的渐近线交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e=_14设n=6sinxdx，则二项式展开式中，x3项的系数为_15已知正四棱锥SABCD的侧棱长为2，侧面积为，则其外接球的体积为_16直线l与函数y=sinx（x0，）的图象相切于点A，且lOP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=_三、解答题（共70分）17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求ABC的面积18某公司准备将100万元资
5、金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：投资A项目一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E（X1）=12；投资B项目一年后获得的利润X2（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0p1）和1p经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如下表所示：X（次）012X2（万元）4.1211.7620.40（1）求a，b的值；（2）求X2的分布列；（3）若E（X1）E（X2），则选择投资B项目，求此时 p的取
6、值范围19如图，已知四棱锥SABCD是底面边长为的菱形，且，若，SB=SD（1）求该四棱锥体积的取值范围； （2）当点S在底面ABCD上的射影为三角形ABD的重心G时，求直线SA与平面SCD夹角的余弦值20设椭圆E：的离心率，右焦点到直线=1的距离，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆E分别交于A、B两点，求点O到直线AB的距离21已知函数f（x）=aln（xa）x2+x（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）若1a2（ln21），求证：函数f（x）只有一个零点x0，且a+1x0a+2选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交
7、O于点E（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）圆C的参数方程为，（为参数）（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）判断直线l与圆C的位置关系选修4-5：不等式选讲24选修45：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|x|+a（）若a=0，求不等式f（x）0的解集；（）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（下）第七次月考数学试卷（理
8、科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1设不等式x2x0的解集为M，函数f（x）=ln（1|x|）的定义域为N，则MN为（）A0，1）B（0，1）C0，1D（1，0【考点】函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集【解答】解：不等式x2x0转化为x（x1）0解得其解集是x|0x1，而函数f（x）=ln（1|x|）有意义则需：1|x|0解得：1x1所以其定义域为1x1，所以MN=0，1），故选A2复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分
9、析】根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限【解答】解：z1=3+i，z2=1i复数z=（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=12i，对应复平面内的点P（1，2），为第四象限内的点故选D3下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】命题
10、的否命题需即否定题设，又否定结论，故排除A；原命题和其逆否命题互为等价命题，同真假，故只需判断原命题的真假即可；特称命题的否定是全称命题，排除C；解方程x25x6=0，即可发现此结论为充分不必要条件，排除 D【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，故排除A；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，B正确；命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”，故排除C；“x25x6=0”“x=1或x=6”，“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件，排除 D故选 B4等差数列an中，a3=8，a7=20
11、，若数列的前n项和为，则n的值为（）A14B15C16D18【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】根据a3=8，a7=20等差数列的通项公式为3n1，然后根据数列的前n项的和Sn=+，因为=（）可得Sn=解出n即可【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d，因为a3=8，a7=20，所以a+2d=8，a+6d=20，解得a=3，a=2an=3n1；又因为=（），所以Sn=（+）=（）=25，解得n=16故选C5某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A8B2C1D0【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是根据条件累加并输出x
12、+y的值【解答】解：由程序框图在循环执行过程中x、y的值如下表示：x10110y11011i01234故输出的x、y值分别为0和1即x+y=1故选C6向量，满足|=1，|=，（ +）（2），则向量与的夹角为（）A45B60C90D120【考点】平面向量数量积的运算【分析】设向量与的夹角为利用（+）（2），可得（+）（2）=+=0，即可解出【解答】解：设向量与的夹角为（+）（2），（+）（2）=+=0，化为cos=0，0，=90故选：C7为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频
13、数为12，则抽取得学生人数为（）A46B48C50D60【考点】频率分布直方图【分析】设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3设出频率，再根据所有频率和为1，解之即可求出第3组频率，根据第2小组的频数为12，可求得样本容量【解答】解：设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x，2x，3x；由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+（0.0375+0.0125）5=1解得2x=0.25则0.25=，解得n=48抽取的学生数为48故选：B8已知圆（x2）2+（y+1）2=16的一条直径通过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直
14、径所在的直线方程为（）A2x+y5=0Bx2y=0C2x+y3=0Dx2y+4=0【考点】圆的一般方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用【分析】由题意求出圆心坐标（2，1），再由弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直求出斜率，进而求出该直径所在的直线方程【解答】解：由题意知，已知圆的圆心坐标（2，1）弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得，且方程x2y+3=0该直径所在的直线的斜率为：2，该直线方程y+1=2（x2）；即2x+y3=0，故选C9实数x，y满足条件，则z=xy的最小值为（）A2B1C0D1【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，将z=xy化
15、为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=xy化为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，则过点（0，1）时，z=xy取得最小值，则z=01=1，故选：B10设0，函数y=sin（x+）（）的图象向左平移个单位后，得到下面的图象，则，的值为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】函数y=sin（x+）（）的图象向左平移个单位后可得y=sin（x+）由函数的图象可求周期，根据周期公式（可求=2，观察图象可知函数的图象过代入结合已知可求【解答】解：函数y=sin（x+）（）的图象向左平移个单位后可得y=sin（x
16、+）由函数的图象可知，T=根据周期公式可得，y=sin（2x+）又函数的图象过sin（）=1 =故选B11某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A92+14B82+14C92+24D82+24【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合据此即可得出该几何体的表面积【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合该几何体的表面积=543+442+22+25=92+14
17、故选A12已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）0，f（x）g（x）f（x）g（x），f（x）=axg（x），在有穷数列（n=1，2，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（）ABCD【考点】概率与函数的综合；数列与函数的综合【分析】令，由题意可知0a1，由，可知，由此可知Sn的表达式，由，得n4，由此能够求出前k项和大于的概率【解答】解：令，则，故h（x）=ax单调递减，所以0a1，又，解得，则，其前n项和，由，得n4，故所求概率=故选D二、填空题（每小题5分，共20分）13已知抛物线H：4x2=y的准线l与双曲线C：的渐近线交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e
18、=【考点】双曲线的简单性质【分析】利用抛物线4x2=y的准线方程为y=，双曲线C：的渐近线方程为y=x，求出x=，根据，可得a=b，即可求出双曲线C的离心率【解答】解：抛物线4x2=y的准线方程为y=，双曲线C：的渐近线方程为y=x，x=，=，a=b，c=a，e=故答案为：14设n=6sinxdx，则二项式展开式中，x3项的系数为160【考点】二项式系数的性质【分析】n=6sinxdx=6cos=6再利用二项式展开式中展开式中的通项公式即可得出【解答】解：n=6sinxdx=6cos=6则二项式展开式中的通项公式为：Tr+1=（2）rx63r，令63r=3，解得r=3x3项的系数为=160故答
19、案为：16015已知正四棱锥SABCD的侧棱长为2，侧面积为，则其外接球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】利用正四棱锥SABCD的侧棱长为2，侧面积为，求出底面边长、斜高、高，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积【解答】解：设正四棱锥SABCD的底面边长为2a，斜高为h，则正四棱锥SABCD的侧棱长为2，侧面积为，a2+h2=4，42ah=2（ha），a=，h=，正四棱锥SABCD的高为1，设外接球的半径为R，则底面对角线长为2a=2，由勾股定理可得R2=（）2+（R1）2，R=2，外接球的体积为=故答案为：16直线l与函数y=sinx（x0，）的图象相切于点A，且lOP，
20、O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到 cosx1=，点斜式写出AB直线的方程，求出点B的横坐标，由= cosABC=（x1xB）2 求出结果【解答】解：P（，1），直线l的斜率即为OP的斜率=，设 A（x1，y1），由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，cosx1=，y1=sinx1=，AB直线的方程为 yy1= （xx1 ），令y=0 可得点B的横坐标 xB=x1y1，= cosABC=（x1xB）2 =（1）=，故答案为：三、
21、解答题（共70分）17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）2bcosC+c=2a由正弦定理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，sinC=2cosBsinC，cosB=B为三角
22、形内角，B=，（2）在ABC值，cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，=，设b=7x，c=5x，BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD22ABADcosA，=25x2+49x225x7x解得x=1，b=7，c=5，SABC=bcsinA=1018某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：投资A项目一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E（X1）=12；投资B项目一年后获得的利润X2（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品
23、价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0p1）和1p经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如下表所示：X（次）012X2（万元）4.1211.7620.40（1）求a，b的值；（2）求X2的分布列；（3）若E（X1）E（X2），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意得：由此能求出a，b的值（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40分别求出P（X2=4.12），P（X2=11.76），P（X2=20.40），由此能
24、求出X2的分布列（3）由（2）求出E（X2）=p2+p+11.76因为E（X1）E（X2），所以12p2+p+11.76由此能求出当选择投资B项目时，p的取值范围【解答】解：（1）由题意得：解得：a=0.5，b=0.1（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40P（X2=4.12）=（1p）1（1p）=p（1p），P（X2=20.40）=p（1p）所以X2的分布列为：X24.1211.7620.40Pp （1p）p2+（1p）2p （1p）（3）由（2）可得：=p2+p+11.76因为E（X1）E（X2），所以12p2+p+11.76所以0.4p0.6当选择投资B项目时，p的取值范围
25、是（0.4，0.6）19如图，已知四棱锥SABCD是底面边长为的菱形，且，若，SB=SD（1）求该四棱锥体积的取值范围； （2）当点S在底面ABCD上的射影为三角形ABD的重心G时，求直线SA与平面SCD夹角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）证明BD平面SAC，由ASC=可知S的轨迹为与平面ABCD垂直的平面SAC内以AC为直径的半圆上，从而求出S到平面ABCD的距离的取值范围，从而求出棱锥的体积的范围；（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出和平面SCD的法向量，利用与的夹角（或补角）与所求线面角互余即可求出直线SA与平面SCD夹角的余弦值【解答】解：（
26、1）连结AC、BD，设交点为E，连结SE，四边形ABCD为菱形，ACBD，E为BD中点，SB=SD，BDSE，又BDAC，SE平面SAC，AC平面SAC，ACSE=E，BD面SAC又，点S在平面SAC内以AC为直径的圆上运动，设S到平面ABCD的距离为h，则0h=2=3又S菱形ABCD=2=6，当h=3时，四棱锥SABCD的体积取得最大值最大体积为=6四棱锥SABCD的体积的取值范围是（2）G为ABD的重心，AG=2，CG=4，SG2=AGGC，SG=2，E为原点，以AC为x轴，BD为y轴，平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则S（1，0，2），D（0，0），A（3，0，0）
27、，C（3，0，0），=（2，0，2），=（3，0），=（1，2），设平面SDC法向量=（x，y，z），则，令x=1得=（1，），cos=设直线SA与平面SCD夹角为，则，20设椭圆E：的离心率，右焦点到直线=1的距离，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆E分别交于A、B两点，求点O到直线AB的距离【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由e=，可知a=2c，b=c，由点到直线的距离公式d=，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线AB代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x1+x2及x1x2，OAOB，可知x1x2+y1y2=0，代入即可求
28、得7m2=12（k2+1），由点到直线的距离公式即可求得点O到直线AB的距离【解答】解：（1）由，椭圆的焦点在x轴上，由e=，即a=2c，a2=b2+c2，b=c，右焦点（c，0）到=1的距离：d=，代入即可求得c=1，a=2，b=，椭圆C的方程为： （2）设A（x1，y1）B（x2，y2）直线AB的方程为y=kx+m与椭圆，联立消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，由韦达定理可知：，OAOB，x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，若过A，B两点斜率不存在时，检验满足整理得：7m2=12（k2+1），d=点O到直线AB的距离d= 21已知函数f（x
29、）=aln（xa）x2+x（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）若1a2（ln21），求证：函数f（x）只有一个零点x0，且a+1x0a+2【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）先求出函数的导数，得到导函数小于0，从而求出函数的单调区间；（2）根据函数零点的判定定理进行证明即可【解答】解：（1）f（x）=x+1=，a0，x0，xa0，a（x+1）（xa）0，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减；（2）由1a2（ln21），a+10，a+22ln2，（a+2）ln2，a12ln230，由（1）f（x）在（0，+）单调递减，f（a+1）f（a+2），而f（a+1
30、）=aln（a+1a）（a+1）2+（a+1）=a2a+a+1=（a+1）（a1）0，f（a+2）=aln（a+2a）（a+2）2+（a+2）=aln2a（a+2）=aln2a+2）0，函数f（x）只有一个零点x0，且a+1x0a+2选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】（）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得OED=90，可得DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度【解答
31、】解：（）连接AE，由已知得AEBC，ACAB，在RTABC中，由已知可得DE=DC，DEC=DCE，连接OE，则OBE=OEB，又ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CEBE，x2=，即x4+x212=0，解方程可得x=ACB=60选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）圆C的参数方程为，（为参数）（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）判断直线l与
32、圆C的位置关系【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系【解答】解：（）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（）圆C的参数方程（为参数）它的直角坐标方程为：（x2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y2=0，圆心到直线的
33、距离为： =2，所以，直线l与圆C相离选修4-5：不等式选讲24选修45：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|x|+a（）若a=0，求不等式f（x）0的解集；（）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断【分析】（）若a=0，则f（x）=，分 x1时、当1x0时、当x0 时，三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求（）设u（x）=|x+1|x|，由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而求得a的范围【解答】解：（）若a=0，f（x）=|x+1|x|=，当 x1时，不等式 即10，解得x当1x0时，不等式即 2x+10，解得 x综合可得x0当x0 时，不等式即 10，恒成立，故不等式的解集为x0综上，不等式的解集为，+） （）设u（x）=|x+1|x|，则函数u（x）的图象和 y=x的图象如右图：由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而1a02016年10月5日高考资源网版权所有，侵权必究！