1、2016-2017学年江西省宜春市上高二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1已知a，b，则直线a与直线b的位置关系是（）A平行B平行或异面C相交或异面D异面2“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的（）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充要条件D充分不必要条件3已知命题p：c0，方程x2x+c=0 有解，则p为（）Ac0，方程x2x+c=0无解Bc0，方程x2x+c=0有解Cc0，方程x2x+c=0无解Dc0，方程x2x+c=0有解4一个圆锥的表面积为6（单位：m2），且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）（
2、单位：m）ABC1D25已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与C的交点为Q，且，则抛物线C的方程为（）Ax2=2yBx2=4yCx2=8yDx2=16y6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D817设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD8如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A直线AB上B直线BC上
3、C直线CA上DABC内部9已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD10已知四面体PABC中，PA=4，AC=2，PB=BC=2，PA平面PBC，则四面体PABC的内切球半径与外接球半径的比（）ABCD11定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45的直线条数为（）A10B11C12D1312若椭圆+=1（ab0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的
4、交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13在正四棱锥PABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为14已知方程+=1表示椭圆，求k的取值范围15已知条件p：1，条件q：x2+xa2a，且q的一个充分不必要条件是p，求实数a的取值范围16已知实数p0，直线4x+3y2p=0与抛物线y2=2px和圆（x）2+y2=从上到下的交点依次为A，B，C，D，则的值为三、解答题（共70分）17已知p：“x0R，使得x02+mx0+2m30”；q：命题“x1，2，x2m0”，若pq为真，pq为假，求实数m
5、的取值范围18如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（1）在CD上找一点F，使AD平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离19已知圆C：x2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由20如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，ABC=60，E为BC的中点，AA1平面ABCD（）证明：平面A1AE平面A1DE；（）若DE=A1E，试求二
6、面角EA1CD的余弦值21已知过点A（4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p0）相交于B、C两点当l的斜率是时，（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围22已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由2016-2017学年江西省宜春市上高二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1
7、已知a，b，则直线a与直线b的位置关系是（）A平行B平行或异面C相交或异面D异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可【解答】解：a，a与没有公共点，b，a、b没有公共点，a、b平行或异面故选：B2“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的（）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充要条件D充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用点到直线的距离公式与直线与圆相切的性质可得： =，即可判断出结论【解答】解：直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2
8、=2相切，=，解得a+b=2“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的充分不必要条件故选：D3已知命题p：c0，方程x2x+c=0 有解，则p为（）Ac0，方程x2x+c=0无解Bc0，方程x2x+c=0有解Cc0，方程x2x+c=0无解Dc0，方程x2x+c=0有解【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：c0，方程x2x+c=0 有解，则p为c0，方程x2x+c=0无解故选：A4一个圆锥的表面积为6（单位：m2），且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）（单位：m）AB
9、C1D2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3，构造方程，可求出圆锥的底面半径【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由l=2r得l=2r，而S=r2+r2r=3r2=6故r2=2解得r=故选B5已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与C的交点为Q，且，则抛物线C的方程为（）Ax2=2yBx2=4yCx2=8yDx2=16y【考点】抛物线的简单性质【分析】设Q（4，y0），代入x2=2py，得，从而求出|PQ|，|QF|，由此求出P，从而能求出抛物线
10、C的方程【解答】解：设Q（4，y0），代入x2=2py，得，|PQ|=，|QF|=，由题设得，解得p=2（舍去）或p=2，C的方程为x2=4y故选：B6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D81【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：36=18，前后侧面的面积为：362=36，左右侧面的面积为：32=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18故选：
11、B7设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C
12、为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 =1，即 故选D8如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A直线AB上B直线BC上C直线CA上DABC内部【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征【分析】如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC面ABC1就可以了【解答】解： CA面ABC1面ABC面ABC1，过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，点H在两面的交线上，即HAB故选A9已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C
13、的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，可得P（c，），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可
14、得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=故选：A10已知四面体PABC中，PA=4，AC=2，PB=BC=2，PA平面PBC，则四面体PABC的内切球半径与外接球半径的比（）ABCD【考点】直线与平面垂直的判定【分析】确定PBC为等边三角形，ABC为等腰三角形，分别求出四面体PABC的内切球半径与外接球半径，即可得出结论【解答】解：由题意，已知PA面PBC，PA=4，PB=BC=2，AC=2，所以，由勾股定理得到：AB=2，PC=2，所以，PBC为等边三角形，ABC为等腰三角形，等边三角形PBC所在的小圆的直径PD=4，那么，四面体PA
15、BC的外接球直径2R=4，所以，R=2，VPABC=SPBCPA=124=4，表面积S=242+12+25=16，设内切球半径为r，那么4=16r，所以r=，所以四面体PABC的内切球半径与外接球半径的比=故选：A11定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45的直线条数为（）A10B11C12D13【考点】直线的倾斜角【分析】由题意求出函数的图象上“左整点”的个数，然后求出任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45的直线条数【解答】解：函数 “左整点”，共有7个，如图所以任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45的直线，过（3，0）点有5
16、条，（2，）点有3条，过（1，2）1条，过（3，0）有2条，共计11条故选B12若椭圆+=1（ab0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】由题设知，由，得2cb，再平方，4c2b2，；由，得b+2c2a，综上所述，【解答】解：椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，圆的半径，由，得2cb，再平方，4c2b2，在椭圆中，a2=b2+c25c2，；由，得b+2c2a，再平方，b2+4c2+4bc4a2，3c2+4bc3a2，4bc3b2，4c3b，16c29b2，16c29a
17、29c2，9a225c2，综上所述，故选A二、填空题（每小题5分，共20分）13在正四棱锥PABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为45【考点】异面直线及其所成的角【分析】连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OEPA，所以OEB即为异面直线PA与BE所成的角因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PO平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与面ABCD所成的角，即PAO=60
18、，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1PBC中，PB=PC=2，BC=，2（4+2）=4+4BE2，BE=，OE2+OB2=BE2，所以在直角三角形EOB中OEB=45，即面直线PA与BE所成的角为45故答案为为4514已知方程+=1表示椭圆，求k的取值范围（，3）【考点】椭圆的标准方程【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由分母大于0且不相等求得k的取值范围【解答】解：由+=1，得，方程+=1表示椭圆，解得k3k的取值范围是（，3）故答案为：（，3）15已知条件p：1，条件q：x2+xa2a，且q的一个充分不必要条件是p，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析
19、】先化简p，q，根据q的一个充分不必要条件是p等价于p是q的一个必要不充分条件，分类讨论即可求出a的取值范围【解答】解：由1，得p：3x1，由x2+xa2a得（x+a）x（a1）0，当a=时，q：；当a时，q：（a1，a）；当a时，q：（a，a1）由题意得，p是q的一个必要不充分条件，当a=时，满足条件；当a时，（a1，a）3，1得a1，），当a时，（a，a1）3，1得a（，2，综上，a1，216已知实数p0，直线4x+3y2p=0与抛物线y2=2px和圆（x）2+y2=从上到下的交点依次为A，B，C，D，则的值为【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦
20、点为F，由题得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p联立直线4x+3y2p=0与抛物线y2=2px且消去x解出y1=，y2=2p，所以x1=，x2=2p，进而得到答案【解答】解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=，由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p联立直线4x+3y2p=0与抛物线y2=2px且消去x得：2y2+3py2p2=0解得：y1=，y2=2p，所以x1=，x2=2p所以=故答案为三、解答题（共70分）17
21、已知p：“x0R，使得x02+mx0+2m30”；q：命题“x1，2，x2m0”，若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合pq为真，pq为假得到p，q一真一假，根据条件关系解不等式即可【解答】解：命题p为真命题的充要条件是0，即m24（2m3）0，m6或m2命题q为真命题的充要条件是m4 若pq为真，pq为假，则p，q一真一假若p真q假，得m2；若q真p假得4m6实数m的取值范围为m2或4m6 18如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面AB
22、C，得到几何体DABC，如图2所示（1）在CD上找一点F，使AD平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在ACD中，可证ADEF，又EF平面EFB AD平面EFB，可证AD平面EFB（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证ADBD，可得，又三棱锥BACD的高BC=2，SACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点，EF为ACD的中位线ADEF，EF平面EFB，AD平面EFBAD平面EFB（2）设点C到平面
23、ABD的距离为h，平面ADC平面ABC，且BCAC，BC平面ADC，BCAD，而ADDCAD平面BCD，即ADBD三棱锥BACD的高BC=2，SACD=2，=可解得：h=19已知圆C：x2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由【考点】直线与圆相交的性质【分析】将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）因为CMl，则有kCMkl=1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：求解【解答】解：圆C化成标准方程为（x1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M
24、，圆心M的坐标为（a，b）CMl，即kCMkl=1=1b=a1直线l的方程为yb=xa，即xy2a1=0|CM|2=（）2=2（1a）2|MB|2=|CB|2|CM|2=2a2+4a+7|MB|=|OM|2a2+4a+7=a2+b2，得a=1或，当a=时，b=，此时直线l的方程为xy4=0当a=1时，b=0，此时直线l的方程为xy+1=0故这样的直线l是存在的，方程为xy4=0或xy+1=020如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，ABC=60，E为BC的中点，AA1平面ABCD（）证明：平面A1AE平面A1DE；（）若DE=A1E，试求二面角E
25、A1CD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）依题意推导出ABE是正三角形，DEAE，DEAA1，从而DE平面A1AE，由此能证明平面A1AE平面A1DE（）以C为原点，CD，CA，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EA1CD的余弦值【解答】证明：（）依题意，ABE是正三角形，AEB=60，AED=180CEDAEB=90，DEAE，AA1平面ABCD，DE平面ABCD，DEAA1，AA1AE=A，DE平面A1AE，DE平面A1DE，平面A1AE平面A1DE 解：（）连接AC，由题可知ACCD，又DE=A1E，故故以C为原点，CD
26、，CA，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），D（1，0，0），E（，0），A1（0，），故=（，0），=（0，），=（1，0，0），设面EA1C的一个法向量=（x1，y1，z1），则，即，令，则=（），设平面DA1C的一个法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，），故cos=，由图可知二面角EA1CD为钝角，二面角EA1CD的余弦值为21已知过点A（4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p0）相交于B、C两点当l的斜率是时，（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设出B，
27、C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y4由得2y2（8+p）y+8=0又，y2=4y1由及p0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物
28、线方程为：x2=4y（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）由得：x24kx16k=0BC的中垂线方程为BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2对于方程由=16k2+64k0得：k0或k4b（2，+）22已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程【分析】（）利用离心率列出方程，通过点在椭圆
29、上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程（）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1k2为定值即可【解答】（本小题满分14分）（）解：由题意，得，a2=b2+c2，又因为点在椭圆C上，所以，解得a=2，b=1，所以椭圆C的方程为（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r0
30、）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2r2=0，则设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，将m2=4k2+1代入上式，得要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值2017年2月11日
