1、第1课 等差数列一、教学目标1理解等差数列的概念；2掌握等差数列的通项公式与前项和公式，体会基本量的方法与方程的思想；3能在具体的问题情境中，发现等差关系，并能运用有关知识来解决问题；4理解等差数列与函数的关系.二、基础知识回顾与梳理1、设公差为的等差数列，若，那么+等于 【教学建议】本题主要是帮助学生解决数列问题时要备整体代入的思想教学时，教师可让学生先口答结合本题，强调整体的思想解析：因为，成等差，公差为设，则，,50成等差数列，即得2、三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，则这三个数为 【教学建议】本题选自课本第38页习题本题主要是帮助学生复习如何设未知数若奇数个数成等
2、差数列，且和为定值时，可设中间三个数为-，+，偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两数为-，+3、一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，则公差d= 【教学建议】本题选自课本第44页习题本题主要是帮助学生复习性质.思路1：运用性质，若成等差数列（其中），则也成等差数列知等差数列中的偶数项，奇数项分别构成首项为公差为以及首项为，公差为的等差数列直接利用等差数列的求和公式可解决问题；思路2：若能巧用整体思想，活用等差数列的性质：记等差数列的奇数项之和为，偶数项之和为，若共有项，则，；若共有项，则，解决问题则显得简捷明快4、已知等差数列中，,，则前项和的最小
3、值为 【教学建议】本题选自课本第44页习题“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；（即找正负项的分界点）法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？5、某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径，满盘时直径,已知卫生纸的厚度为,问:满盘时卫生纸的总长度大约是 米(精确到)?【教学建议】本题选自课本第42页例题本题需要将实际问题转化为等差数列问题，在解题
4、过程中要注意每个数据与五个量、, 的关系本题中空盘时的半径并不是首项，满盘时的半径并不是末项三、诊断练习 题1：在数列中,若(),则= , = .【分析与点评】已知数列的递推关系求通项公式时要先判断该数列是否为等差数列或等比数列若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推关系变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式容易记错公式或等题2：在等差数列中，已知，则 . 答案：【分析与点评】本题已知，显然我们只能获得基本量的关系，而不能直接解出.因此必然包涵的整体能够使用我们从已知中得到的关系题3：设为等差数列前n项和,若，则 .【分析与点评】利用数列
5、的相关性质，能简化解题过程，达到事半功倍的效果教学中要关注学生的解答，引导学生发现与之间的关系，用简捷的途径进行计算通过本题小结两点：解数列题一定要注意已知式和所求式之间的内在联系；等差数列中，与之间的关系.题4： 已知等差数列中，公差，且，则数列的通项公式为 【分析与点评】方法1可以直接根据等差数列的通项公式代入，得到关于的二元二次方程组，解出，从而求出通项公式，方法2利用等差数列的性质再由，解得，从而可以求出公差为2，得通项公式为本题主要考查对等差数列的基本量的运用以及等差数列的下标和性质的运用。3、要点归纳（1）强化 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中运用，用“基本量法”方
6、法求解是处理数列问题的基本方法，要求学生熟练掌握.同时强调，并不是每道题都有捷径，要充分合理地运用条件，时刻注意求解的目标，选择方法时要慎重；（2）等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用；（3）在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形；（4）等差数列的所有问题都要向通项公式、性质、前项和转化；（5）在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题，是必须具备的能力.四、范例导析例1已知等差数列的前项和为Sn，且=30，=50.（1）求通项；（2）若=242，求；（3）求 前项和。【教学处理】在提问学生问题
7、讨论交流后，可教师板书示范，也可让学生练习、板演后点评【引导分析与精讲建议】1、强调应用等差数列的通项公式求和,运用了方程的思想,一般地,可由得求出和,从而确定通项.化归为首项、公差(公比)和项数之间的关系，通过列方程（组）解决问题.这是研究等差(等比)数列的最基本方法.也可从等差数列中任意两项之间关系入手().2、通项公式法： (，是常数)( N*)是等差数列；例：已知数列的各项均为正数，前项的和为，且满足（1）求证：为等差数列；（2）求数列的通项公式【教学处理】本题可让学生自主尝试、相互交流，教师观察巡视并点评【引导分析与精讲建议】学生应该能够直接使用公式进行运算，教师要根据学生实际进行引
8、导：如的检验；得到了如何处理？得到了要进行分类！证明数列是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明（常数）；（2）利用等差中项，即证明（2）.例3：已知在等差数列中，是它的前n项的和，.求； 这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.【教学处理】先给学生独立思考的时间，然后指名学生回答问题（1），学生评议，教师评点并板书过程。问题（1）结束后，可让学生讨论后回答，教师板书、点评问题（2）。【引导分析与精讲建议】（1），又， ，则，又， （2）方法一：由中可知， 当时，有最大值，的最大值是. 方法二：由，可得. 由a，得；由,得； 又为正整数，所以当时，有最大值. 反思：本题考查的知识点
9、是等差数列基本量的求解，数列的函数特性，如何求前项和的最值问题.(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：时，满足的项数m使得取得最大值为；当时，满足的项数m使得取得最小值为.变式题:、设等差数列的前项和为,已知,.(1) 求公差的取值范围.(2)求的前项和为最大时的值.五、解题反思1确定等差数列的关键是确定首项和公差解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a和d(q)的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 2等差
10、数列通项公式中联系着五个量：，根据方程的思想已知其中三个量，可求出另外两个量3若奇数个数成等差数列，且和为定值时，可设中间三个数为-，+，偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两数为-，+4数列是一种特殊的函数，求解数列的问题时要注意函数思想，方程思想及化归思想的应用在应用函数思想时要记牢数列的定义域，要注意和函数的区别。为等差数列中，有五个量、, 通过解方程(组)知三可求二，和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知，是常用的方法方程(组)的数学思想方法在数列部分应用很广泛，注意运用5. 求等差数列最值有三法：借助求和公式是关于的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通
11、过”转折项”求解;借助二次函数图象求解（经过原点）启示：寻找分界点或；借助二次函数图象；等差数列中前项和有最小值，一定是该数列中前面是负数，后面是正数，当然各负数之和最小；另外，等差数列是的二次函数且不含常数项，也可由函数解析式求最值.6. 已知通项,可以求出前项和,反之,给出,也可以求出.而且很多时候,题目中出现的是同时涉及与的关系式,这类问题的解决办法是利用转化与划归的思想,实现与的相互转化.此时,要注意“”的限定条件,以免误解.六、课后训练：1、在等差数列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为 ama1a2a99a1d36da37.2、已知数列an是等差数列，且a72a
12、46，a32，则公差d 法一：由题意得a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得d4，法二：由题意得解得3、等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和Sn的最大值是第 项 Sn的最大值为S5.4、已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_法一：设等差数列an的公差为d，由S510，知S55a1d10，得a12d2，即a122d，所以a2a1d2d，代入a1a3，化简得d26d90，所以d3，a14. 故a9a18d42420.法二：设等差数列an的公差为d，由S510，知5a310，所以a32.由a1a32a2，得a12a22，代入a1a3，化简得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.5、已知等差数列的前三项依次为a,4, 3a，前n项和为Sn，且Sk110. (1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明：由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.