1、江苏省无锡市普通高中2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）2019.6一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分.请将答案填写在答题卡（卷）相应的位置上.）1.已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部为_.【答案】【解析】【分析】通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简，从而得到答案.【详解】由题意复数，因此复数的实部为.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，实部的相关概念，难度不大.2.矩阵的逆矩阵为_.【答案】【解析】【分析】通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.【详解】由逆矩阵的定义知：,设，由题意可得：，即解得，因此.【点睛】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不
2、大.3.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则_.036【答案】【解析】【分析】通过概率和为1建立方程，再通过得到方程，从而得到答案.【详解】根据题意可得方程组：，解得，从而.【点睛】本题主要考查分布列与期望相关概念，难度不大.4.已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有_个不同的编号（用数字作答）.【答案】45【解析】【分析】通过分步乘法原理即可得到答案.【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，
3、按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.5.在极坐标系中，已知两点，则线段的长度为_.【答案】4【解析】【分析】可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解.【详解】根据，可将化为直角坐标点为，将化为直角坐标点为，从而.【点睛】本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大.6.已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于_.【答案】【解析】【分析】可设出复数z，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【详解】由题意可设，由于，所以，因此，解得，因此复数的模为：.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等
4、的条件，比较基础.7.若的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是_.【答案】240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为，则 ；则展开式的通项公式为 令，求得，可得展开式中的常数项是故答案为：240点睛：本题主要考查二项式定理应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8.引入随机变量后，下列说法正确的有：_（填写出所有正确的序号）.随机事件个数与随机变量一一对应；随机变量与自然数一一对应；随机变量的取值是实数.【答案】【解析】【分析】要判断各项中对随机变量描述的正误，需要
5、牢记随机变量的定义.【详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故正确.【点睛】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.9.在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，则四面体的外接球半径_【答案】【解析】【分析】通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径.【详解】若两两垂直,可将四面体补成一长方体，从而长方体外接球即为四面体的外接球，于是半径，故答案为.【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先
6、的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_.【答案】【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.观察下列等式，从中可以归纳出一个一般性的等式是：_.
7、【答案】【解析】【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.12.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程是，（为参数），直线与圆交于两个不同的点、，当点在圆上运动时，面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】通过将面积转化为以AB为底，P到AB的距离为高即可求解.【详解】直线的直角坐标方程为：，圆的直角坐标方程为：，即圆
8、心为坐标原点，半径为1.因此圆心到直线的距离为，因此，设P到线段AB的高为h，则，因此.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，面积最值问题.意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.13.已知直线（，是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_条（用数字作答）.【答案】60【解析】【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答即可得到答案.【详解】可知直线的截距存在且不为0，即与坐标轴不垂直，不经过坐标原点，而圆上的公共点共有12个点，分别为：，,前8个点中，过任意一点的圆的切线满
9、足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条垂直于y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），满足题设的直线有52条，综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故答案为60.【点睛】本题主要考查排列组合知识，解决此类问题一定要做到不重不漏，意在考查学生的分析能力及分类讨论的数学思想，难度较大.14.在如图三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第_行（填行数）.【答案】98【解析】【分析】通过杨辉三角可知每一行由二
10、项式系数构成，于是可得方程组，求出行数.【详解】三角形数阵中，每一行的数由二项式系数，组成.如多第行中有，那么，解得，因此答案为98.【点睛】本题主要考查杨辉三角，二项式定理，意在考查学生数感的建立，计算能力及分析能力，难度中等.二、解答题（本大题共6题，计90分.请在答题卡（卷）指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知复数，其中是虚数单位，根据下列条件分别求实数的值.（）复数是纯虚数；（）复数在复平面内对应的点在直线上.【答案】（）；（）或.【解析】【分析】（）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；（）将复数在复平面内对应的点表示出来，代
11、入直线上，即可得到答案.【详解】解：因为，复数可表示为，（）因为为纯虚数，所以解得；（）复数在复平面内对应的点坐标为因为复数在复平面内对应的点在直线上所以即解得或.【点睛】本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.16.在平面直角坐标系中，直线，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点，点在点的下方.（）当时，求，两点的直角坐标；（）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）根据题意，可将直线与曲线C联立求得，两点的直角坐标；（II）（解法一）当变化时，于是可知点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程
12、；（解法二）设，可用相关点法表示出的坐标，代入，于是得到轨迹方程.【详解】解：（）当时，直线，曲线的普通方程为：，由解得或，点在点的下方，所以，两点的直角坐标为：，.（II）（解法一）当变化时，所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外），因为曲线是圆心为的圆，则以为直径的圆的圆心坐标，半径为2.所以点轨迹的直角坐标方程为，所以点轨迹的极坐标方程为.（解法二）设，因为点是线段中点，是极点，所以点的坐标为，代入中，得，因为，不重合，所以，所以点轨迹的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考查学生的转化能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.17.已如变换对应的变换矩阵是，变
13、换对应的变换矩阵是.（）若直线先经过变换，再经过变换后所得曲线为，求曲线的方程；（）求矩阵的特征值与特征向量.【答案】（）；（）详见解析【解析】【分析】（）先求出变换矩阵，然后设曲线上一点，列出方程即可得到方程；（）先利用多项式求出特征根，然后求出特征向量.【详解】解：（），在曲线上任取一点，在变换的作用下得到点，则即，整理得，则即代入中得.（）矩阵的特征多项式为，令得或，当时，由，得即令，则.所以矩阵的一个特征向量为；当时，由，得，即令，则.所以矩阵的一个特征向量.【点睛】本题主要考查矩阵变换，特征值和特征向量的相关运算.意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等.18.新高考方案的考试科目
14、简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.（）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；（）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.【答案】（）；（）详见解析【解析】【分析】（）显然各类别中，一共有种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通
15、过古典概率公式即可得到答案；（）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，从而得到分布列和数学期望.【详解】解：（）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件，因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等则，答：该同学选修物理、化学和生物的概率为.（）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.因为，所以的分布列为0123所以数学期望.【点睛】本题主要考查分布列和数学期望的相关计算，意在考查学生处理实际问题的能力，对学生的分析能力和计算能力要求较高.19.已知数列满足，且.（）求，的值；（）是否存在实数，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】
16、（），；（）存在实数，符合题意.【解析】【分析】（）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；（）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.【详解】（）因为，整理得，由，代入得，.（）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.当时，当时，由解得：，.下面用数学归纳法证明：存在实数，使对任意正整数恒成立.（1）当时，结论显然成立.（2）当时，假设存在，使得成立，那么，当时，.即当时，存在，使得成立.由（1）（2）得：存在实数，使对任意正整数恒成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，比较综合，难度较大.20.已知.（）计算的值；（）若，求中含项的系数；（）证明：.【答案】（）-2019；（）196；（）详见解析.【解析】【分析】（）由于，代入-1即可求得答案;（）由于，利用二项式定理即可得到项的系数；（）可设，找出含项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以，再找出含项的系数，于是整理化简即可得证.【详解】解：（），；（），中项的系数为；（）设（且）则函数中含项系数为，另一方面：由得：-得：，所以，所以，则中含项的系数为，又因为，所以，即，所以.【点睛】本题主要考查二项式定理的相关应用，意在考查学生对于赋值法的理解，计算能力，分析能力及逻辑推理能力，难度较大.
