1、河北省枣强中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知，且满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质和特殊值法，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，当满足，此时，可得：，故A不一定成立；对于B，当满足，此时，可得：，故B不一定成立；对于C，当满足，此时，可得：，故C不一定成立；对于D，由，将两个不等式相加可得：，故D一定成立.综上所述，只有D符合题意故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握不等式的基本性质和灵活
2、使用特殊值法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理可知，则故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.3. 已知实数满足则的最大值是（ ）A. 7B. C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，令，根据目标函数几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下：令，则，因此表示直线在轴截距的相反数，由图像可得，当直线过点时，最大，由解得：，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查求目标函数的最值，利用数形结
3、合的方法求解即可，属于常考题型.4. 已知，且，则的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于基础题型.5. 在中，角，的对边分别为，若，则为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关
4、系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论6. 某几何体三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积（单位：）是（ ）A. 10B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体直观图为直四棱柱，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱，如下图所示该几何体的侧面积为故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.7. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结
5、果.【详解】设等比数列的公比为，且，由题意可得，即，即，解得，因此.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列前项和基本量的运算，熟记公式即可，属于常考题型.8. 已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据组合计算法,先求得从中取出两个球都是白球的所有情况,再求得从5个球中取出2个球的所有情况,即可求得“取到全是白球”的概率.【详解】袋子中装有3个白球,2个黑球则从中取出两个球都是白球的情况为 从5个球中取2个球出来,所有的情况为 所以从5个球取2个球“取到全
6、是白球”的概率为故选:A【点睛】本题考查了组合数的应用,古典概型概率求法,属于基础题.9. 在区间上随机取一个数，则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式，再由与长度有关的几何概型的概率计算公式， 即可得出结果.【详解】由得或，因此在区间上随机取一个数，则的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.10. 若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】关于的不等式的解集为，根据韦达定理求得，在关于的不等式的两边同除以，得，即可求得答案.【详解】关于的不
7、等式的解集为，且1，3是方程的两根，根据韦达定理可得：，在关于的不等式的两边同除以，得，不等式变，解得：不等式的解集为：.故选：B.【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式，解题关键是掌握一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11. 已知是等差数列，若，数列满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据是等差数列，且，解得，利用等差数列的通项公式得到，进而得到，然后利用裂项相消法求解.【详解】已知是等差数列，且，所以，解得，所以，所以，所以，所以，故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8、12. 如图，在菱形中，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为，则圆周率的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为菱形的内角和为360，所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，故由几何概型可知，解得.选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 如图，茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次数学比赛中的成绩（单位：分）若甲10次成绩数据的中位数为76，乙10次成绩平均分为75分，则_；_【答案】 (1). ； (2). 【解析】【分析】根据茎叶图，得到甲和乙成绩的原始数据，从小到大排列，分别找中位数和计算平均数与所给的数据
9、列出等式，即可求得答案.【详解】甲的数学成绩从小到大排列依次为，其中，得乙的数学成绩从小到大排列依次为，平均数，得.故答案为： ；【点睛】本题主要考查茎叶图，会从茎叶图中找出中位数、众数等，会计算或者估计平均数. 茎叶图在给出数据分布情况的同时，又能给出每一个原始数据，保留了原始数据的信息，直方图适用于大批量数据，茎叶图适用于小批量数据.14. 某人为了检测自己的解题速度，记录了5次解题所花的时间（单位：分）分别为，55，60，50已知这组数据的平均数为55，方差，则_【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的求解方法列出方程组，求解即可.【详解】不妨设，由题意可知解得：则故答案为：【点睛】本
10、题主要考查了平均数和方差的应用，属于基础题.15. 在中，内角的对边长分别为，已知，且，则_【答案】4【解析】根据正弦定理与余弦定理可得：，即故答案为416. 已知不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先将不等式，对任意恒成立，转化为不等式，对任意恒成立，再令，转化为 ，对任意恒成立求解即可.【详解】因为不等式，对任意恒成立，所以不等式，对任意恒成立，令，所以 ，对任意恒成立， 令，所以 ，所以 故答案为：【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及不等式的性质，二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤17. 已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）求出公比后可得的通项公式.（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）设等比数列的公比为.由，得，得，所以，解得.故数列的通项公式是.（2），则，由-，得，故【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18. 在中，角的对边分别为，且 求角A；若，且的面积为，求的值.【答案】（1）
12、； （2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理得即可求A; （2）由面积公式求得c,再由余弦定理求a即可【详解】（1），又,所以；又因为，所以. （2），又，所以，所以，所以【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，熟记定理，准确计算是关键，是基础题19. 某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数分数段【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由频率之和为1求解即可；（2
13、）由平均数的计算方法求解即可；（3）求出数学成绩在的人数，再根据比例得出英语成绩在的人数，即可得出答案.【详解】（1），（2）这200名学生的平均分（3）数学成绩在的人数分别为设英语成绩在的人数分别为则英语成绩在的人数为【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图，计算平均数等，属于中档题.20. 某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：单价（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568（1）求销量（件）关于单价（元）的线性回归方程；（2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量关于单价的线性回归方程，要使利润最
14、大，应将价格定为多少？参考公式：，.参考数据：，【答案】（1）（2）当销售单价定为10元时，销量为50件（3）要使利润达到最大，应将价格定位8.75元.【解析】【分析】（1）由均值公式求得均值，再根据给定公式计算回归系数，得回归方程；（2）在（1）的回归方程中令，求得值即可；（3）由利润可化为二次函数，由二次函数知识可得利润最大值及此时的值.【详解】（1）由题意可得， ， 则， 从而，故所求回归直线方程为.（2）当时，故当销售单价定为10元时，销量为50件. （3）由题意可得， . 故要使利润达到最大，应将价格定位8.75元.【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题时只要根据已知公式计算，计算能
15、力是正确解答本题的基础.21. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的位于该市的某大学与市中心的距离，且现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学其中，（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）在 中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（）由，且 为锐角，可求 ，由正弦定理可得 ，结合，可求 ， ，结合AO=15，由正弦定理即可解得的值【详解】（I）在中，且，由余弦定理得，即大学与站的距离为（II），且为锐角，在中，由正弦定理得，即，又，在中，由正弦定理得，即，即铁路段的长为考点：1、正弦定理，余弦定
16、理；2、同角三角函数关系式，诱导公式的应用【点睛】本题以实际生活为背景考查了解三角形的应用，属于中等题解三角形的核心问题就是处理好边和角的关系，即如何灵活的进行边角的转化，可以选择的知识有五点需要注意：内角和定理、面积公式（特别是正弦形式）、正弦定理、余弦定理、平面基本性质我们的思路就是对这五点知识进行整合，同时，要注意对角的范围的挖掘，以及对局部小三角形性质的挖掘成为了解题的关键22. 在数列中，.（1）判断数列是否为等比数列？并说明理由；（2）若对任意正整数，恒成立，求首项的取值范围.【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）转化条件得，由等比数列的概念即可得解；（2）易得当时，符合条件；当时，根据为奇数、为偶数分类讨论，由恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以当即时，所以当时，数列不是等比数列；当，即时，所以，所以当时，数列是等比数列；（2）由（1）知，当时，所以恒成立；当时，数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，即.当为奇数时，所以.又单调递减，所以时，取得最大值，所以；当为偶数时，所以.又单调递增，所以当时，的最小值为2，所以，所以；综上，首项的取值范围为.【点睛】本题考查了等比数列的判定及数列不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力，属于中档题.