1、专题三 立体几何第二讲 锥体中的线面关系及计算解答题专项练 选择填空题专项练 栏目导航 题型专项练 专题限时训练 新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的_，这样的棱锥叫做正棱锥2正棱锥的性质：(1)各侧棱长度_，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高(2)棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形中心相等新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3若球面上四点 P，A，B，C 构成的线段 PA，
2、PB，PC 两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R2_，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)a2b2c2新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型一 锥体中的线面关系及体积突破锥体概念及体积公式例 1(本题满分 12 分)(2017全国新课标卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(1)证明：平面 PAB平面 PAD；解析(1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.(1 分)由于 ABCD，故 ABPD.(2 分)而 PDAPP，从而 AB平面 PAD.(3 分)又
3、 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(4 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积解析(2)在平面 PAD 内作 PEAD 于 E，由(1)知 AB平面 PAD，而 PE平面 PAD，所以 ABPE.又 ABADA，故 PE平面 ABCD.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页设 ABx，则由已知可得 AD 2x，PE 22 x.(5 分)由于 AB平面 PAD，AD平面 PAD，故 ABAD，底面 ABCD 为矩形(6 分)故四棱锥 PABCD 的体积为1
4、3ABADPE13x383，解得 x2.(7 分)从而 PAPD2，ADBC2 2，PBPC2 2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页直角三角形 PAB，PAD 与 PDC 的面积均为12222，(10 分)等边三角形 PBC 的面积为 34(2 2)22 3，(11 分)所以四棱锥的侧面积为 232 362 3.(12 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【知规则规范解答】采点得分说明 每缺少一步扣 1 分每一步中只写“所以”，无“因为”扣 1 分若条件不够，就得结论者扣 1 分只全部罗列条件，而不得结论者 0 分新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返
5、回导航下一页 只要正确求出 AB2，该步可得 6 分若 AB 求错，则按评分标准得上面该步的相应分数分别计算四个三角形的面积对一个得 1 分新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1如图在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD90，ABBC12ADa，E是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(1)证明：CD平面 A1OC；解析：(1)证明：题图中连接 EC.因为 ABBC12ADa，BAD90，ADBC，E 是 AD 的中点，所以四边形 ABC
6、E 为正方形，所以 BEAC.即在题图中，BEA1O，BEOC.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页又 A1OOCO，从而 BE平面 A1OC，因为 ED 綊 BC，所以四边形 EBCD 为平行四边形，所以 CDBE，所以 CD平面 A1OC.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值解析：(2)因为平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)可知 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高新课标高考第二
7、轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页由题图知，A1O 22 AB 22 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBCABa2.从而四棱锥 A1BCDE 的体积V13SA1O13a2 22 a 26 a3，由 26 a336 2，解得 a6.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1运用面面关系的判定定理或性质定理，要写清写全相应条件2进行计算时，写清在什么图形中，利用什么知识计算3作证求于一体新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型二 锥体中线面关系及点到面距离突破线面垂直关系及直角三角形
8、求解例 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E为 PD 的中点新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(1)证明：PB平面 AEC；解析(1)证明：设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO.因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB.因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)设 AP1，AD 3，三棱锥 PABD 的体积 V 34，求 A 到平面 PBC 的距离解析(2)V16PAABAD 36 AB
9、.由 V 34，可得 AB32.作 AHPB 交 PB 于 H.由题设知 BC平面 PAB，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以 BCAH，又 BCBPB，故 AH平面 PBC.在 RtPAB 中，由勾股定理可得 PB 132，所以 AHPAABPB 3 1313，所以 A 到平面 PBC 的距离为3 1313.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ABB1A1 是矩形，BAC90，AA1BC，AA1AC2AB4，且 BC1A1C.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(1)求证：平面 ABC1平面
10、 A1ACC1；解析：(1)证明：在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ABB1A1 是矩形，AA1AB.又 AA1BC，ABBCB，AA1平面 ABC，AA1AC.又 AA1AC，A1CAC1.又 BC1A1C，BC1AC1C1，A1C平面 ABC1.又 A1C平面 A1ACC1，平面 ABC1平面 A1ACC1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)设 D 是 A1C1的中点，判断并证明在线段 BB1上是否存在点 E，使 DE平面 ABC1，若存在，求点 E 到平面 ABC1 的距离解析：(2)当点 E 为 BB1 的中点时，DE平面 ABC1.证明如下：连接 AE，
11、EC1，DE.如图，取 AA1 的中点 F，连接 EF，FD.EFAB，DFAC1，又 EFDFF，ABAC1A，平面 EFD平面 ABC1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页又 DE平面 EFD，DE平面 ABC1.又VEABC1VC1ABE，C1A1平面 ABE，设点 E 到平面 ABC1 的距离为 d.131224 2d1312224，解得 d 2.点 E 到平面 ABC1 的距离为 2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1点到面的距离，可利用线面垂直求垂线段长或采用等体积法求高2判断或证明线面平行的三种常用方法(1)利用线面平行的定
12、义(常用反证法)(2)利用线面平行的判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面与已知平面相交找它们的交线(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点一 求锥体的棱长或距离例3(2019南昌调研)已知三棱锥 PABC的所有顶点都在球 O的球面上，ABC满足 AB2 2，ACB90，PA 为球 O 的直径且 PA4，则点 P 到底
13、面 ABC 的距离为()A.2B.2 2C.3D.2 3答案 B新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：求锥体中的距离问题一般转为解直角三角形，通过连接截面圆圆心和球心构造直角三角形取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图在ABC 中，AB2 2，ACB90，所以ABC 所在截面圆是以 AB 为直径的圆O1，所以 O1A 2，且 OO1AO1，又球O 的直径 PA4，所以 OA2，所以 OO1 OA2O1A2 2，且 OO1底面 ABC，所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO12 2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1(2018衡阳二模)
14、已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱长为()A2 B.5C1 D.2 2答案：C新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：三棱锥的直观图如图所示在三棱锥 PABC 中，过点 P 作 PDAC，垂足为 D，连接 BD.由已知可得 PD2，BD2，AC1，CD1，PA 22222 2，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页PB 22222 2，AB 22222 2，PC 2212 5，BC 2212 5，最短的棱长为 AC1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点二 锥体的表面积或体积例 4 一个四面体的三视图如图所示，则该四
15、面体的表面积是()A1 3B.2 3C12 2D.2 2答案 B新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：具体计算各面的面积四面体的直观图如图所示新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页侧面 SAC底面 ABC，且SAC 与ABC 均为腰长是 2的等腰直角三角形，SASCABBC 2，AC2.设 AC 的中点为 O，连接 SO，BO，则 SOAC，SO平面 ABC，SOBO.又 OSOB1，SB 2，故SAB 与SBC 均是边长为 2的正三角形，故该四面体的表面积为 212 2 22 34(2)22 3.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页
16、提速方法：根据结论的数字特征用排除法求解由三视图特征看出，侧面 ASC 与底面 ABC 是全等的等腰直角三角形，其面积和为2，故几何体表面积一定有“2？”形式，不是 A，C，D 的答案形式，故选 B.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2017高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.21 B.23 C.32 1 D.32 3答案：A新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：方法一(分解法)由三视图知该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为1、高为 3 的圆锥沿母线截去一半，体积为 V112131232(c
17、m3)，另一部分是三棱锥，体积为 V213122131(cm3)，故几何体的体积为 VV1V221(cm3)故选 A.方法二(估算排除法)观察俯视图，显然其中三角形部分的面积小于半圆部分的面积，故该几何体的体积一定小于补全成圆锥的体积，即 V13123，只有 A选项符合故选 A.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28D32答案：C新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：由三视图可知圆柱的底面直径为 4，母线长(高)为 4，所以圆柱的侧面积为22416，底面积为 224；圆锥
18、的底面直径为 4，高为 2 3，所以圆锥的母线长为 2 32224，所以圆锥的侧面积为 248.所以该几何体的表面积 S164828.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2018陕西一模)已知ABC 与BCD 均为正三角形，且 AB4.若平面 ABC 与平面 BCD 垂直，且异面直线 AB 和 CD 所成角为，则 cos()A 154B.154C.14D.14答案：D新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：过 B 作 BECD，过 D 作 DECB，交 BE 于点 E，则ABE 是异面直线 AB 和 CD 所成角(或所成角的补角)ABC 与BCD 均为正三
19、角形，且 AB4.取 BC 中点 O，连接 AO，DO.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页又平面 ABC平面 BCD，AOBC，DOBC，且 AD AO2DO22 6.又AODOO，ADBC，ADDE.AE AD2DE2 24162 10，cosABE161640244 14.又异面直线 AB 和 CD 所成角为，cos 14.故选 D.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3(2017全国新课标卷)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O
20、的表面积为_答案：36新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：取 SC 的中点 O，连接 OA，OB(图略)因为 SAAC，SBBC，所以 OASC，OBSC.因为平面 SAC平面 SBC，所以 OA平面 SBC.设 OAr.则 VASBC13SSBCOA13122rrr13r3，所以13r39，解得 r3，所以球的表面积为 4r236.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页4(2018全国新课标卷)如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90，以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA.新课标高考第二轮总复习文科数学
21、 上一页返回导航下一页(1)证明：平面 ACD平面 ABC；解析：(1)证明：由已知可得，BAC90，BAAC.又 BAAD，且 ACADA，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ23DA，求三棱锥 QABP 的体积解析：(2)由已知可得，DCCMABAC3，DAAM AC2CM23 2.又 BPDQ23DA，所以 BP2 2.作 QEAC，垂足为 E，则 QE 綊13DC，QE1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页由已知及(1)可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC.因此，三棱锥 QABP 的体积为VQABP13QESABP1311232 2sin 451.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页专题限时训练