1、2020-2021学年江西省景德镇一中1班高一（下）期中数学试卷一选择题（共10小题）.1已知f（x）2x1，g（x）1x2，规定：当|f（x）|g（x）时，h（x）|f（x）|；当|f（x）|g（x）时，h（x）g（x），则h（x）（）A有最小值1，最大值1B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值2已知函数f（x）x2x，实数x，y满足，则的取值范围是（）A1，4B1，8C1，2D1，3某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A2B4CD4半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）ABC2cmD4cm5
2、给出下列四个命题：的对称轴为；函数的最大值为2；函数f（x）sinxcosx1的周期为2；函数上的值域为其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个6如图，抛物线y22px（p0）的焦点为F，斜率k1的直线l过焦点F，与抛物线交于A、B两点，若抛物线的准线与x轴交点为N，则tanANF（）A1BCD7已知数列an满足，首项a1a，若数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（）AB（0，1）（2，+）C（0，1）D（2，+）8已知函数f（x）|log2|x1|，且关于x的方程f（x）2+af（x）+2b0有6个不同的实数解，若最小的实数解为1，则a+b的值为（）A2B1C0D19如图所示，A
3、，B，C是双曲线1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD310已知数列A：a1，a2，an（0a1a2an，n3）具有性质P：对任意i，j（1ijn），aj+ai与ajai两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：数列0，1，3具有性质P；数列0，2，4，6具有性质P；若数列A具有性质P，则a10；若数列a1，a2，a3（0a1a2a3）具有性质P，则a1+a32a2，其中真命题有（）A4个B3个C2个D1个二填空题11已知函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，若对任意x（0，+），都有，则的值
4、是 12给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120点C在以O为圆心的圆弧上变动，若x+y，其中x，yR，则x+y的最大值是 13已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为 14以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若|PA|PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；抛物线xay2（a0）的焦点坐标是；曲线与曲线（35且10）有相同的焦点其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号15如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中
5、，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是 cm三解答题16如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线求圆C的方程；求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ab，且cos2Acos2B（）求角C的大小；（）若，求ABC面积的最大值18已知数列an中，a13，a25，其前n项和Sn满足Sn+Sn22Sn1+2n1（n3）令bn（）求数列an的通项公式；（）若f（x）2
6、x1，求证：Tnb1f（1）+b2f（2）+bnf（n）（n1）19如图所示，四棱锥PABCD，底面ABCD为四边形，ACBD，BCCD，PBPD，平面PAC平面PBD，AC2，PCA，PC4（1）求证：PA平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，BAD120，ABBC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由20已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率kON；（2）设M椭圆C上任意一点，且，求+的最大值和最小值21已知二次函数f（x）
7、ax2+bx+c（1）若f（1）0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2），试证明x0（x1，x2），使f（x0）f（x1）+f（x2）成立（3）是否存在a，b，cR，使f（x）同时满足以下条件：对xR，f（x4）f（2x），且f（x）0；对xR，都有0f（x）x（x1）2若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由参考答案一选择题（共10小题）.1已知f（x）2x1，g（x）1x2，规定：当|f（x）|g（x）时，h（x）|f（x）|；当|f（x）|g（x）时，h（x）g（x），则h（x）（）A有最小值1，最大值1B有最大值1，无最小值C有最
8、小值1，无最大值D有最大值1，无最小值解：画出y|f（x）|2x1|与yg（x）1x2的图象，它们交于A、B两点由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|g（x）故h（x）|f（x）|；在A、B之间，|f（x）|g（x），故h（x）g（x）综上可知，yh（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值1，无最大值故选：C2已知函数f（x）x2x，实数x，y满足，则的取值范围是（）A1，4B1，8C1，2D1，解：f（x）x2x由可得而，利用线性规划的知识可知当过（1，1）时，2x+y取得最大值3，当过（0，0）时2x+y取得最小值0，122x+y8故选：B3某四面体三视图如图所示，则该四面体的四
9、个面中，直角三角形的面积和是（）A2B4CD解：由三视图可得原几何体如图，PO底面ABC，平面PAC底面ABC，而BCAC，BC平面PAC，BCAC该几何体的高PO2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，ACB为直角所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBCPC，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和故选：C4半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）ABC2cmD4cm解：设圆的半径为R，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为：H根据题意：2rRR2rh最高处距桌面距离：H2故选：A5给出下列四个命题：的对称轴为；函数的最大值为2；函数f（
10、x）sinxcosx1的周期为2；函数上的值域为其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个解：由k+，kz，解得 x+，kz，故 的对称轴为 ，故正确由于函数2（）2sin（x+），其最大值等于2，故正确由于函数f（x）sinxcosx1sin2x1，它的周期为T，故不正确由 0x 可得 2x+，故当2x+时，有最小值，故当2x+ 时，有最大值1，故 函数上的值域为，1故选：B6如图，抛物线y22px（p0）的焦点为F，斜率k1的直线l过焦点F，与抛物线交于A、B两点，若抛物线的准线与x轴交点为N，则tanANF（）A1BCD解：直线l的斜率k1，可设A（+y，y），代入抛物线y22px
11、，可得y22p（+y），yp+p，tanANF故选：C7已知数列an满足，首项a1a，若数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（）AB（0，1）（2，+）C（0，1）D（2，+）解：数列an满足，首项a1a，若数列an是递增数列，所以，则，即，当a0时，解得a（0，1）（2，+）当a0时，不等式无解若a1，此时a2a32，不满足题意，排除B，C，若a1，此时a2，a3，满足题意，排除D故选：A8已知函数f（x）|log2|x1|，且关于x的方程f（x）2+af（x）+2b0有6个不同的实数解，若最小的实数解为1，则a+b的值为（）A2B1C0D1解：作出函数f（x）|log2|x1|的图象方
12、程f（x）2+af（x）+2b0有6个不同的实数解如图所示：令tf（x），方程f（x）2+af（x）+2b0转化为：t2+at+2b0则方程有一零根和一正根，又最小的实数解为1由f（1）1方程：t2+at+2b0的两根是0和1由韦达定理得：a1，b0a+b1故选：B9如图所示，A，B，C是双曲线1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD3解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|2|OA|2|OF|2c，设A（m，n），则m2+n2c2，又1，解得m，n，即有A（，），B（，），又F（
13、c，0），由于BFAC且|BF|CF|，可设C（x，y），即有1，又（c+）2+（）2（xc）2+y2，可得x，y，将C（，）代入双曲线方程，可得1，化简可得（b2a2）a3，由b2c2a2，e，可得（2e21）（e22）21，对照选项，代入检验可得e成立另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|CF|AE|m，|AF|n，由双曲线的定义有，|CE|CF|AE|AF|2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2（m+2a）2，代入2amn，化简可得m3n，又mn2a得na，m3a，在直角三角形EAF中，m2+n2（2c）2，即为9a2+a24c2，可得e故选：A10已知数列A：a1，a2，a
14、n（0a1a2an，n3）具有性质P：对任意i，j（1ijn），aj+ai与ajai两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：数列0，1，3具有性质P；数列0，2，4，6具有性质P；若数列A具有性质P，则a10；若数列a1，a2，a3（0a1a2a3）具有性质P，则a1+a32a2，其中真命题有（）A4个B3个C2个D1个解：对任意i，j（1ijn），aj+ai与ajai两数中至少有一个是该数列中的项，数列0，1，3中，a2+a31+34和a3a2312都不是该数列中的数，故不正确；数列0，2，4，6，aj+ai与ajai（1ij3）两数中都是该数列中的项，并且a4a32是该数列中
15、的项，故正确；若数列A具有性质P，则an+an2an与anan0两数中至少有一个是该数列中的一项，0a1a2an，n3，而2an不是该数列中的项，0是该数列中的项，a10；故正确；数列a1，a2，a3具有性质P，0a1a2a3a1+a3与a3a1至少有一个是该数列中的一项，且a10，1若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3a3，a10，易知a2+a3不是该数列的项a3a2a2，a1+a32a22若a3a1是该数列中的一项，则a3a1a1或a2或a3若a3a1a3同1，若a3a1a2，则a3a2，与a2a3矛盾，a3a1a1，则a32a1综上a1+a32a2，故选：B二填空题11已知函数f（
16、x）在定义域（0，+）上是单调函数，若对任意x（0，+），都有，则的值是6解：函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且f（f（x）2，f（x）为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）n+，且f（n）2再令xn可得 n+2，解得n1，因此f（x）1+，所以f（）6故答案为：612给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120点C在以O为圆心的圆弧上变动，若x+y，其中x，yR，则x+y的最大值是2解：由已知条件知：x2xy+y2（x+y）23xy；（x+y）213xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y0，；，（x+y）24，x+y2，即x+y的最大值为2故答案为：213已知
17、正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为解：正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，球O的半径为，正方体的棱长为2，即PAPBPC2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积VSABChSPABPC222ABC为边长为2的正三角形，SABC2，h正方体中心O到截面ABC的距离为故答案为 14以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若|PA|PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；过
18、定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；抛物线xay2（a0）的焦点坐标是；曲线与曲线（35且10）有相同的焦点其中真命题的序号为写出所有真命题的序号解：因为双曲线的定义中要求k|AB|故不成立设定圆C的方程为x2+y29，点A（3，0），B（a，b），点P（x，y），则由+得动点P为动弦AB的中点，所以有又因为点B在圆上所以有（2x3）2+（2y）29即动点P的轨迹为圆所以为假命题先把抛物线转化为标准形式y2x，a0，2p，焦点坐标是；a0，2p，焦点坐标是；为真命题因为曲线的焦点为（5，0）（5，0）而当35且10时，可知：表示的是椭圆：a235，b210，
19、c225，所以焦点为（5，0）（5，0）当35且10时，可知：表示的是双曲线：a235，b210，c225，所以焦点为（5，0）（5，0）即为真命题故答案为 15如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是5cm解：解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，小球的半径为5cm，三个球心之间的长度为10cm，即OA10cm，在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），和切点A构成直角三角形，则OA2+AB2OB2，其中OBR5，AB5，（）2+52（R5）
20、2即（R5）2R5，R5+cm故答案为：5三解答题16如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线求圆C的方程；求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解：（1）由得圆心C为（3，2），圆C的半径为1，圆C的方程为：（x3）2+（y2）21，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为ykx+3，即kxy+30，2k（4k+3）0k0或者，所求圆C的切线方程为：y3或者即y3或者3x+4y120（2）圆C的圆心在在直线l：y2x4上，所以，设圆心
21、C为（a，2a4），则圆C的方程为：（xa）2+y（2a4）21，又MA2MO，设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）24设为圆D，点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点，1CD3，由5a212a+80得aR，由5a212a0得，综上所述，a的取值范围为：17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ab，且cos2Acos2B（）求角C的大小；（）若，求ABC面积的最大值解：（）cos2Acos2B，sin2Asin2B，可得：cos2Acos2Bsin2Asin2B，可得：sin（2A）sin（2B），ABC中，ab，可得AB，2A+2B，A+B，可得：C（）
22、由（）c，C，所以由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得：3a2+b2ab2ababab，得ab3（当且仅当ab时取等号），所以ABC的面积SabsinC，故ABC的面积的最大值是18已知数列an中，a13，a25，其前n项和Sn满足Sn+Sn22Sn1+2n1（n3）令bn（）求数列an的通项公式；（）若f（x）2x1，求证：Tnb1f（1）+b2f（2）+bnf（n）（n1）解：（）由题意知SnSn1Sn1Sn2+2n1（n3）即anan1+2n1（n3）an（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+a22n1+2n2+22+52n+1（n3）检验知n1、2时，结论也成立，故a
23、n2n+1（）由于bn，f（x）2x1，故Tnb1f（1）+b2f（2）+bnf（n）19如图所示，四棱锥PABCD，底面ABCD为四边形，ACBD，BCCD，PBPD，平面PAC平面PBD，AC2，PCA，PC4（1）求证：PA平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，BAD120，ABBC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由解：（1）证明：设ACBDO，连接POBCCD，ACBD，O为BD中点，PBPD，POBD，平面PAC平面PBD，平面PAC平面PBDPO，BD平面PAC，PA平面PAC，PABD，在PCA中，由余弦定
24、理得PA2PC2+AC22PCACcos30，即PA216+1224，PA2+AC2PC2，PAAC，BDACO，BD平面ABCD，AC平面ABCD，PA平面ABCD（2）以A为原点，AB为x轴，在平面ABCD中过A作AB的垂线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，0，0），C（，3，0），D（，0），（，0，2），（，2），设PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且，则，设M（a，b，c），则（a，b，c2）（a，3b，c），a，b，c，M（，），（，），设平面PBD法向量为（x，y，z），则，取x2，得（2，2，），直线B
25、M与平面PBD所成的角的正弦值为，|cos|，解得1，PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且120已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率kON；（2）设M椭圆C上任意一点，且，求+的最大值和最小值解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为，所以有，故有a23b2从而椭圆C的方程可化为：x2+3y23b2易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：由，有：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），由及韦达定理有：所以，即为所求（2）显然与可作为
26、平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）（x1，y1）+（x2，y2），所以xx1+x2，yy1+y2又点在椭圆C上，所以有（x1+x2）2+3（y1+y2）23b2整理为2（x12+3y12）+2（x22+3y22）+2（x1x2+3y1y2）3b2由有：所以又A、B在椭圆上，故有（x12+3y12）3b2，（x22+3y22）3b2将，代入可得：2+21.，故有+，所以（+）max，（+）min21已知二次函数f（x）ax2+bx+c（1）若f（1）0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对
27、x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2），试证明x0（x1，x2），使f（x0）f（x1）+f（x2）成立（3）是否存在a，b，cR，使f（x）同时满足以下条件：对xR，f（x4）f（2x），且f（x）0；对xR，都有0f（x）x（x1）2若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由解：（1）因为f（1）0，所以ab+c0，即ba+c，因为b24ac（a+c）24ac（ac）2，当ac时，0，函数f（x）有一个零点；当ac时，0，函数f（x）有两个零点；（2）证明：令g（x）f（x）f（x1）+f（x2），则g（x1）f（x1）f（x1）+f（x2），g（x2）f（x2）f（x1）+
28、f（x2），所以g（x1）g（x2）f（x1）f（x2）20，由于f（x1）f（x2），所以g（x1）g（x2）0，所以g（x）0在（x1，x2）内必有一个实根，即x0（x1，x2），使f（x0）f（x1）+f（x2）成立（3）假设a，b，c存在，由可得抛物线的对称轴为x1，且f（x）的最小值为0，所以1，0，可得b2a，b24ac，即有ac，由可得对xR，都有0f（x）x（x1）2可令x1，可得0f（1）10，即f（1）1，可得a+b+c1，由a+b+c1，ac，b2a，解得ac，b，则f（x）x2+x+（x+1）2，其顶点为（1，0），满足条件，又f（x）x（x1）2，即有0f（x）x（x1）2，满足条件所以存在a，b，cR，同时满足条件