1、第三章 4 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.学习目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目索引 知识梳理 自主学习 知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值e.当时，该圆锥曲线为椭圆；当时，该圆锥曲线为抛物线；当时，该圆锥曲线为双曲线.知识点二 曲线的交点 答案 设曲线 C1：f1(x，y)0，C2：f2(x，y)0，P0(x0，y0)是 C1 与 C2 的公共点，故求曲线交点即求方程组f1x，y0
2、f2x，y0 的实数解.e1f1x0，y00f2x0，y00一个定点一条定直线0e1e1答案 知识点三 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：、.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是_；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不_.这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)0；(2)0；(3)0.相离相交相切相离相切相切相交相切返回 答案 思考 1.圆锥曲线具有什么样的共同特征？它们的区别何在？答案 圆锥曲线均可定义为平面上到定点距离和到定直线距离之比为常数的点的轨迹；它们的区别在于这个比值的范围不同.2.直线与圆锥曲线有一个交点
3、时，一定是直线与圆锥曲线相切吗？答案 直线与圆锥曲线有一个交点时不一定相切，也可能是相交.如直线与抛物线的对称轴平行，则直线与该抛物线交点是只有一个交点.题型探究 重点突破 题型一 圆锥曲线的共同特征及应用 例 1 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(1,0)的距离和它到定直线 l：x2 的距离的比是常数 22，求曲线方程.解 设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，曲线上的点 M 满足：|MF|d 22.由此得x12y2|2x|22，即有 2x12y2 2|2x|，将上式两边平方，化简得x22y21.解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(3
4、，0)的距离和它到定直线 l：x2 33的距离的比是常数 62，求曲线方程.解 设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，曲线上的点 M 满足：|MF|d 62.由此得，x 32y22 33 x 62，即有 2x 32y2 62 33 x，将上式两边平方，化简得x22y21.故所求曲线方程为x22y21.解析答案 反思与感悟 题型二 直线与圆锥曲线的公共点问题 例2 已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.解析答案 求l的斜率k的取值范围.(1)相切；跟踪训练 2 过点 P(0,2)作直线 l，分别与椭圆 C：x124y21：解析答案(2)相交；当 k23
5、 133 时，直线 l 与椭圆 C 相交；(3)相离.当23 133 k0，得 k23 133；解 令 0，得23 133 k23 133.解析答案 题型三 弦长、弦中点问题 例 3 已知椭圆x22y21.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；解析答案(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求l被椭圆截得的弦的中点轨迹方程；解 不妨设l交椭圆于A、B，弦中点为M(x，y).由式，klkAB x2y，又klkMNy2x1，x2yy2x1.整理得x22y2x4y0，此式对l的方程为x1时也成立.所求中点轨迹方程是x22y2x4y0(在已知椭圆的内部).即2x4y30.(3)求过点 P12，12
6、且被 P 点平分的弦所在直线的方程.解析答案 反思与感悟 解 由式，弦所在的直线的斜率 kx02y012，故其方程为 y1212x12，反思与感悟 将圆锥曲线上的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关系式.(这种方法一般称之为点差法)此关系式可用于解决如下问题：(1)以定点为中点的弦的方程；(2)平行弦中点的轨迹；(3)过定点的弦的中点的轨迹；(4)对称问题.解析答案(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(3，0)，且渐近线为 y 2x，过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1
7、、P2 两点.解析答案(2)过点B(1,1)，能否作直线l，使l与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？请说明理由.解 假设存在直线l，同(1)可得l的斜率为2，l的方程为y2x1.y2x1，x2y221无解，与假设矛盾，满足条件的直线l不存在.题型四 对称问题 例4 已知椭圆3x24y212，试确定实数m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆上总有两点A，B关于直线l对称.解析答案 反思与感悟 跟踪训练 4 已知双曲线 x2y231，双曲线上存在关于直线 l：ykx4对称的两点 A、B，求实数 k 的取值范围.解析答案 返回 1.直线 yxm 与椭圆x24y21 有两个
8、不同的交点，则 m 的范围是()A.5m5B.m 5，或 m 5C.m 5D.5m 5 当堂检测 12345解析答案 有5x28mx4m240，64m280(m21)0，得m25，D解析 将 yxm 代入x24y21，5m 5.解析答案 2.设A、B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于()A.30B.45C.60D.90 D12345解析 由|OA|OB|，知抛物线上点 A、B 关于 y 轴对称，设 Aa，a24，Ba，a24，SAOB122aa24 16，解之得 a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.3.已知圆 M：x2y22mx30(m0)的左焦点为 F(c，0)，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切，则 a 的值为()A.34B.1C.2D.4解析 圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m0，则直线l与曲线C相交；若0，则直线l与曲线C相切；若0，直线l与曲线C相离.当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点.此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴.当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交.返回