1、专题二 数 列第三讲 数列的综合应用解答题专项练 选择填空题专项练 栏目导航 题型专项练 专题限时训练 新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页数列与不等式中常见的放缩变形1.1n 1n11nn1_ 1n1n 1n11n.2.1n2bmamba0，m0.)42n1 n 2n n1 1n2n n12n n1.1n2121n1 1n1新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型一 数列与不等式综合突破不等关系的构造方法例 1(本题满分 12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，nN*，且 a23，S525.(1)求数列an的通项公式；解析(1)设等差数列an的首项为
2、 a1，公差为 d.因为 a23，S525，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以a1d3，52a14d225，(2 分)解得a11，d2.(4 分)所以 an2n1，nN*.(5 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若数列bn满足 bn1SnSn1，记数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn1.解析(2)证明：由(1)知，an2n1，所以 Snn12n12n2.(7 分)所以 bn1n2n121nn11n 1n1.(8 分)所以 Tnb1b2b3bn(9 分)112 1213 1n 1n1(10 分)1 1n11.(12 分)新课标高考第二轮总复
3、习文科数学 上一页返回导航下一页1已知单调递增的等比数列an满足 a2a3a428，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；解析：(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q.由题意知 2(a32)a2a4，代入 a2a3a428，可得 a38，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以 a2a420，所以a1q28，a1qa1q320，解得q2，a12或q12，a132.又因为数列an单调递增，所以 q2，a12.所以数列an的通项公式为 an2n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若 bnanlog12an，Snb1b2bn
4、，求使 Snn2n130 成立的正整数 n 的最小值解析：(2)因为 bnanlog12an2nlog122nn2n，所以 Sn(12222n2n)，2Sn122223(n1)2nn2n1，两式相减，得 Sn222232nn2n12n12n2n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页由 Snn2n130，可得 2n1230，即 2n13225，所以 n15，即 n4.所以使 Snn2n130 成立的正整数 n 的最小值为 5.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【知规则规范解答】采点得分说明 必须用 a1，d 表示 a2，S5，否则 0 分 无化简过程，直接写出
5、 a1 和 d 不扣分 先求通项，再裂项，没给出通项 扣 1 分 必须化简为 1 1n1，否则 扣 1 分不给出最后结论 Tn1 1n11 扣 1 分新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1证明数列不等式的关键：一是会灵活运用等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式及裂项相消法；二是会利用放缩法证明不等式2求数列an的前 n 项和 Sn 的最值，主要有两种思路：研究数列 anf(n)的项的情况，根据 an 的正负性求 Sn 的最值；直接研究 Sn 的通项公式，根据函数思想求最值，如利用二次函数的性质新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3求数列
6、an的最值，主要有两种方法：从函数角度考虑，利用函数 yf(x)的性质，求数列 anf(n)的最值；利用数列离散的特点，根据akak1akak1 或akak1akak1，然后判断数列an的最值情况4对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法：通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；通过分类讨论，解决恒成立问题新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型二 数列与函数综合突破数列中的函数思想例 2 已知正项数列an，bn满足对于任意的 nN*，都有点(n，bn)在直线 y 22(x2)上，且 bn，an1，bn1 成等比数列，
7、a13.(1)求数列an，bn的通项公式；解析(1)因为点(n，bn)在直线 y 22(x2)上，所以 bn 22(n2)，即 bnn222.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页又因为 bn，an1，bn1 成等比数列，所以 a2n1bnbn1n22n324，所以 an1n2n32，所以 n2 时，ann1n22，a13 适合上式，所以 ann1n22.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)设 Sn 1a1 1a2 1an，如果对任意的 nN*，不等式 2aSn2bnan恒成立，求实数 a 的取值范围解析(2)由(1)知，1an2n1n221n1 1n2.所
8、以 Sn21213 1314 1n1 1n2212 1n2 nn2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页故 2aSn2bnan可化为2ann22n222n1n222n2n1 nn1，即 a12恒成立，故 a12.综上知，实数 a 的取值范围是，12.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2019岳阳楼区校级一模)数列an的前 n 项和记为 Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线 y3x1 上，其中 nN*.(1)当实数 t 为何值时，数列an是等比数列；解析：(1)由题意可知，an13Sn1，则 an3Sn11(n2)两式相减得，新课标高考第二轮总复习文科数学
9、 上一页返回导航下一页an1an(3Sn1)(3Sn11)3(SnSn1)3an，an14an，n2.又a23S113a113t1，则 a24a1，3t14t，解得 t1，当 t1 时，数列an为等比数列新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)在(1)的结论下，设 bnlog4a2n，cnbnan，Tn 是数列cn的前 n 项和，求 Tn.解析：(2)由(1)，可得，an4n1，nN*.a2n42n1，bnlog4a2nlog4 42n12n1，nN*.cn(2n1)4n1，nN*.Tn134542(2n3)4n2(2n1)4n1，4Tn4342543(2n3)4n1(2n1
10、)4n，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页两式相减得，3Tn12(4424n1)(2n1)4n12414n114(2n1)4n5356n34nTn596n594n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前 n 项和公式都可以看成是关于 n 的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于 n 的一次函数(公差 d0 时)，而其求和公式可以看成是关于 n 的二次函数；等比数列常取对数变为等差数列，将等比数列与等差数列相结合数列单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直
11、观性来比较因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型三 数列的探索性问题突破函数与方程思想和 nN*的应用例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中 为常数(1)证明：an2an；解析(1)证明：由题设知 anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得 an1(an2an)an1，由于 an10，所以 an2an.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解析(2)由题
12、设知 a11，a1a2S11，可得 a21.由(1)知，a31.令 2a2a1a3，解得 4.故 an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n4n1.所以 an2n1，an1an2，因此存在 4，使得数列an为等差数列新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3(2018顺义区一模)对于数列an，如果存在一个数列bn，使得对于任意的 nN*，都有 anbn，则把数列bn叫做数列an的“基础数列”(1)设 ann2，bn2n1，求证：数列bn是数列an的“基础数列”；解析：(1)证明：ann2，b
13、n2n1，anbn(n1)2.对于任意的 nN*，都有 anbn0，即 anbn.故数列bn是数列an的“基础数列”新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)设 ann2，数列bn是数列an的“基础数列”，请判断数列bn是否可能为等差数列？并加以证明解析：(2)数列bn不可能为等差数列，证明：ann2，设数列bn是等差数列，即 bnknb，(k，b 为实数)数列bn是数列an的“基础数列”，可得n2knb 对于任意的 nN*恒成立，即 n2knb0 对于任意的 nN*恒成立但根据二次函数的性质，n2knb0 不可能对任意的 nN*恒成立，数列bn不可能为等差数列新课标高考第二轮
14、总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】处理探索性问题的一般方法假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点一 求数列中的最值问题例 4 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S170，S180，a1a180，a10a90，a100 且a6a5 911，则当 Sn 取最大值时，n 的值
15、为()A9 B.10 C.11 D.12解析：由题意，不妨设 a69t，a511t，则公差 d2t，易知 t0.因此 a10t，a11t，即当 n10 时，Sn 取得最大值答案：B新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2等比数列an的前 n 项和 Sn123n1c(c 为常数)，若 an3S2n 恒成立，则实数 的最大值是()A3 B.4 C.5 D.6答案：C新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：由题意可知 c32且 an3n，可得 31232n1323n，化简为 323n 13n，由于均值不等式等号不成立，由函数 f(x)3x13x(x0)的性质可知，当
16、n1 时，min5.选 C.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3已知函数 f(x)sin(x)0，|2 的部分图象如图所示，令 anfn6，则a1a2a2 017_.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：函数 f(x)sin(x)(0，|2)，14T512614，T，2T 2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页又函数 f(x)的图象经过点6，1，sin26 1，解得 6，f(x)sin2x6.anfn6 sinn3 6，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页则 a1a2a2 017sin36 sin23 6 sin2 017
17、3611212112121033611.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页4已知等比数列an满足 anan1，a2a3a428，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；解析：(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，依题意，有 2(a32)a2a4，代入 a2a3a428，得 a38.因此 a2a420，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页即有a1qa1q320，a1q28，解得q2，a12或q12，a132.又数列an单调递增，则q2，a12，故 an2n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若 bnanlog12an，Snb1b2bn，对任意正整数 n，Sn(nm)an10 恒成立，试求 m 的取值范围解析：(2)bn2nlog122nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页得 Sn222232nn2n12n1n2n12.Sn(nm)an10，2n1n2n12n2n1m2n10 对任意正整数 n 恒成立，m2n122n1 对任意正整数 n 恒成立，即 m 12n1 恒成立 12n11，m1，即 m 的取值范围是(，1新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页专题限时训练