1、第一章 3 全称量词与存在量词3.3 全称命题与特称命题的否定1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出全称命题与特称命题的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.学习目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目索引 知识梳理 自主学习 知识点一 全称命题的否定 全称命题p：任意xM，p(x)，它的否定綈p：.知识点二 特称命题的否定 特称命题p：存在x0M，p(x0)，它的否定綈p：.知识点三 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是命题.特称命题的否定是命题.答案
2、 特称全称存在x0M，綈p(x0)任意xM，綈p(x)答案 返回 思考(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对省略量词的命题怎样否定？答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.题型探究 重点突破 题型一 全称命题的否定 例1 写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；解 是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的
3、对边不都平行.(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；解 是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)任意a，bR，方程axb都有惟一解；解 是全称命题，其否定：存在a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在.(4)可以被5整除的整数，末位是0.解 是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)所有自然数的平方都是正数；解 綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)任何实数x都是方程5x120的根；解 綈
4、p：存在实数x0不是方程5x0120的根.(4)对任意实数x，x210.解 綈p：存在实数x0，使得 11，使x22x30；解 綈p：任意x1，x22x30.(假).(2)p：有些素数是奇数；解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3)p：有些平行四边形不是矩形.解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)某些平行四边形是菱形；解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”
5、，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)存在 x0，y0Z，使得 2x0y03.解 命题的否定是“任意 x，yZ，2xy3”.当 x0，y3 时，2xy3，因此命题的否定是假命题.解析答案 题型三 特称命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由；解 不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可.故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.解析答案 反思与感悟(2)
6、若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围.解 不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，).反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，af(x)恒成立，只要af(x)max；若存在一个实数x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.解析答案 跟踪训练3 已知f(x)3ax26x1(aR).(1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0；证明 当a3
7、时，f(x)9x26x1，364(9)(1)0，对任意xR，都有f(x)0.解析答案 返回(2)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围.解 f(x)4x恒成立，3ax22x10恒成立，a0，0，即a100.解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.解析答案 C12345解析答案 4.命题“任意x0，)，x3x0”的否定是()A.任意x(，0)，x3x0 B.任意x(，0)，x3x0 C.存在x00，)，x00 D.存在x00，)，x00 解析 全称命题的否定是特称命题.全称命题：任意x0，)，x3x0的否定是特
8、称命题：存在x0 0，)，x00.x30Cx30 x3012345解析答案 5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_.解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.有的向量与零向量不共线课堂小结 返回 1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.