1、2017届高三第一轮复习专题训练之数列不等式常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：形如（为常数）；形如；形如；形如（为常数）.分析：表面是证数列不等式，实质是数列求和.；分析：实质是错位相减求和.,分析：注意到.然后求和.放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项放缩后再求和. 问题是将通项放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，大多是等比模型或裂项相消模型. 2证明：对一切正整数有证明：因为所以 变式
2、（加强）证明：对一切正整数有 证明:不妨设，则，令，可得显然，当时，（）即从而原不等式得证.评注：对于（或）型不等式，若分母为指数函数型，则可利用待定系数法放缩为等比数列型求和证明；当且时，有，下列变式均用此式.变式3.设求证：变式4.设求证：分析：左边不能直接求和，能否将通项也放缩为等比模型后求和？ ,再求和. 一般地，形如(这里)的数列，在证明（为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.变式6.已知,证明不等式.证明：为使恒成立,则,则,从而,故.3证明：证明：由则于是评注：对于（或）型不等式，若分母为二次函数型，则可利用配方法放缩为等差数列相邻或相近两项证明.放缩法证
3、明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小. 分析：左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩. 分析：不等式形如，左、右两边的式子都是某等差数列的和，因此考虑将通项放缩为等差模型后求和.显然不等式的中间是数列的前项和，设为，要证，则只要证即可.利用公式易得：，同理.因此，问题转化为只要证.评注：一般的，形如的数列不等式证明的思维策略：设和分别为数列和的前项和，显然，若，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有. 这启发我们，要证明不等式，如果记看作是数列的前项和，则，那么只要证其通项满足即可.证明： 评注：形如的数列不等式证明的思维策略：设和分别为数列和的前项积，显然，若，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有. 这启发我们，要证明不等式，如果记看作是数列的前项积，则，那么只要证其通项满足即可. 6.求证: 证明： 设则,从而,相加后就可以得到所以7.求证:证明：设，则,从而,相加后就可以得到8.求证:若,求证:证明： 所以就有 评注：借助数列递推关系证明. 技巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) (13) (14) (15) (16) (17)
