1、江苏省无锡市辅仁高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,选B.2.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据解析式，直接代入相应的那一段求解即可.【详解】故选：A【点睛】本题考查分段函数求值，分段函数求值要注意自变量的取值落在哪个范围内，要能熟练应用指数运算法则和对数运算法则，属简单题3.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接由对数型函数的真数大于0求解x的取值集合即可得到函数的定义域【详解
2、】要使原函数有意义，则4x30，解得：x函数的定义域是故选：D【点睛】本题考查了对数复合函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，是基础题4.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄
3、傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则与故事情节相吻合的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化的情况，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于乌龟，其运动过程可分为两端，从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，到达终点后等兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑的快，所以路程增加快，中间睡觉时路程不变，图象为水平线段，醒来时追赶乌龟路程加快，分析图象，可知只有选项B符合题意.故选B.【点睛】本
4、题主要考查了函数图象的识别与应用，其中解答根据题意判断时间关于路程的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.函数的零点所在区间是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断【详解】在上为增函数，且，的零点所在区间为故选C【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.7.已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】x20.2201，0，yzx故选：B【点睛】本题考查指数函数、对数函数单调性的应用，解决此
5、类问题时经常利用“0或1”作为中间量进行比较，是基础题8.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将集合A、B表示在同一数轴上，利用数轴求解【详解】Bx|x1故选：B.【点睛】本题考查集合的包含关系，利用数轴数形结合解题，属于数学中常用的数学思想9.设，且，则（ ）A. B. C. 或D. 10【答案】A【解析】由题意可得，由等式（）两边取对数，可得，所以可得，选A.【点睛】指数式的等式常与对数式互化把指数表示出，再进行合理运算如本题把指数利用指数式与对数式互化用m表示，从而进行运算10.已知函数，若的最小值为，则实数m的值为A B. C. 3D
6、. 或3【答案】C【解析】【分析】函数，讨论，和，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值【详解】函数，即，当时，不成立；当，即时，在递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，在递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得故选【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想和反比例函数的单调性，考查运算能力，属于基础题11.设函数，对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若对任意实数b，关于x的方程f（x）b0总有实数根，即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线yb总有交点，即函数f（x）的值域为R，结合二次函数和一次函数
7、的图象和性质，可得a的取值范围【详解】若对任意实数b，关于x的方程f（x）b0总有实数根，即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线yb总有交点，即函数f（x）的值域为R，f（x），在同一坐标系中画出yx与yx2的图象，由图可得：当a0，1时，函数f（x）的值域为R，故a的取值范围是0，1，故选：B【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象和性质，其中分析出已知条件等价于函数f（x）的值域为R，是解答的关键12.定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）A. -1B. -2C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得f（x）为偶函数，求得f（x）在
8、x0上连续，且为减函数，f（|2x|）f（|x+m|），即为|x2|x+m|，平方得到（2m+4）x4m2，分类讨论分离参数即可得到m的最大值.【详解】f（x）f（x），可得f（x）为偶函数，当x0时，f（x），可得0x1时，f（x）1x2递减，f（x）（0，1；当x1时，f（x）递减，且f（1）0，f（x）（，0，f（x）在x0上连续，且为减函数，对任意的xm1，m，不等式f（2x）f（x+m）恒成立，可得f（|2x|）f（|x+m|），即为|x2|x+m|，平方得到（2m+4）x4m2，当2m+40即m2时，得到x任意的xm1，m成立，m，得到m，2m；当2m+40，不满足题意；当2m+4
9、0即m2时，得到x任意的xm1，m成立，m1，得到m，不满足题意；综上，2m，故m的最大值为，故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查分类与转化思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设集合，若，则_【答案】【解析】因为，所以为方程的解，则，解得，所以，集合14.已知函数（且），则的图象恒过定点_.【答案】【解析】【分析】由函数的翻折和平移，结合指数函数的性质得解.【详解】因为指数函数yax恒过点（0，1），函数y2ax+1的图象可看作把yax的图象先沿轴反折，再左移1个单位，最后向上平移2个单位得到，函数y2ax+1恒过
10、（1，1）点，故答案为：【点睛】此题主要考查指数函数的图像变换及其性质，是一道基础题；15.关于的二次函数有两个不相等的实数根，其中一个根小于1，另一个根大于2，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先设f（x），又二次函数的开口向上，两个实数根一个小于1，另一个大于2，可得f（1）0，且f（2）0，即可求得实数m的取值范围【详解】x的方程有两个不同的实根，0，m3或m1，方程对应的二次函数f（x）的开口向上，而方程有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于2，f（1）0，且f（2）0，m，故答案为：m【点睛】此题考查了一元二次方程根的分布，函数的性质与一元一次不等式（组）的
11、解法，解题的关键是掌握二次方程与二次函数的性质的灵活应用16.已知函数是定义在上的奇函数，且，偶函数的定义域为，且当时，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求x0时，f（x）的值域为0，1，再由f（x）是定义在R上的奇函数，求出x0时f（x）的值域为1，0，从而得到在R上的函数f（x）的值域为1，1由g（x）为偶函数，求出g（x）的表达式，由条件可令1log2|b|1解出即可【详解】f（x），当0x1时，2x10，1，当x1时，（0，1，即x0时，f（x）的值域为0，1，f（x）是定义在R上的奇函数，x0时f（x）的值域为1，0，在R上的函数f（x）的值域为1
12、，1定义在x|x0上的偶函数g（x），x0的g（x）log2x，g（x）log2|x|（x0）存在实数a，使得f（a）g（b）成立，令1g（b）1即1log2|b|1即有|b|2，b2或2b故答案为：【点睛】本题考查分段函数及运用，考查分段函数值域，注意各段的情况，考查函数的奇偶性及应用，考查对数不等式的解法，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.计算下列各式的值：（1）化简：；（2）计算：.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质及平方和公式得解.（2）直接由指数幂的运算性质、对数恒等式及对数的运算法则运算求解.【详解】（1），.（2）=.【点睛】本题
13、考查了指数幂的运算性质、对数恒等式及对数的运算法则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，先求出集合和，然后再求；（2）由，得，由此能够求出实数的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，或,又 ，所以.（2）若，由，得当，即时，此时有，综上，实数的取值范围是：.19.已知函数.（1）请写出分段函数并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（请用列表描点法作图）；（2）根据函数的图象回答下列问题：求函数的单调区间；求函数的值域；求关于的方程在区间上解的个数.（回答上述3个小题只需直接写
14、出结果，不需给出演算步骤）【答案】（1）详见解析 （2）单调增区间为；单调减区间为； 1个【解析】分析】（1）分段去绝对值可得函数f（x）的解析式，根据解析式可得函数的图象（2）结合函数的图象直接可得，函数f（x）的单调递调区间函数f（x）的值域.由f（x）的图像与y=2的交点个数可得方程解的个数【详解】（1）去绝对值可得解析式，根据函数f（x）2|x1|x+1可得函数的图象，如图所示：（2）结合函数的图象可得，函数f（x）的单调递增区间为1，+），函数f（x）的单调递减区间为（，1；函数f（x）值域为0，+），方程f（x）2在区间0，2上解的个数为1个【点睛】本题主要考查函数的图象的作法，方
15、程根的存在性以及个数判断，函数的单调性和值域，体现了数形结合的数学思想，属于中档题20.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断并用定义证明的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）在上是增函数，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）利用f（1）+f（1）0，即可解得a的值，并利用定义检验即可；（2）判断：单调递增设x1R，x2R且x1x2，只要证明f（x1）f（x2）0，即可；（3）利用函数f（x）的奇偶性和单调性可得：对任意的，不等式f（mt2+1）+f（1mt）0恒成立mt2+1mt1对任意的恒成立对m分类讨论和利用二次函数的性质即可
16、得出【详解】（1）由f（1）+f（1）0，得检验：a2时，f（x）+f（x）0对xR恒成立，即f（x）是奇函数（2）判断：单调递增证明：设x1R，x2R且x1x2，则f（x1）f（x2），即又，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）f（x）在R上是增函数（3）f（x）是奇函数，不等式f（mt2+1）+f（1mt）0f（mt2+1）f（mt1），f（x）在R上是增函数，对任意的tR，不等式f（mt2+1）+f（1mt）0恒成立，即mt2+1mt1对任意的tR恒成立，即mt2mt+20对任意的tR恒成立m0时，不等式即20恒成立，合题意；m0时，有即0m8综上：实数m的取值范围为0m8【点
17、睛】本题综合考查了函数的奇偶性和单调性、“三个二次的关系”、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题21. 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：时间第4天第32天第60天第90天价格（千元）2330227（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；（2）销售量与时间的函数关系：，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？【答案】（1）；（2）第天和第天，最高销售额为（千元）.【解析】试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等
18、于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.试题解析：（1）由题意，设同样设(2)设该产品的日销售额为此时当此时综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）考点：函数应用问题.【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.22.集合是满足下列条件的函数全体：如果对于任意的，都有.（1）函
19、数是否为集合的元素，说明理由；（2）求证：当时，函数是集合的元素；（3）对数函数，求的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）由f（x1）224，f（x2）329，f（x1+x2）5225f（x1）+f（x2）可判断函数f（x）是否是集合M0的元素（2）要证明当0a1时，函数f（x）ax是集合M1的元素，只要证对于任意的x1，x2（1，+），都有f（x1）+f（x2）f（x1+x2），即证f（x1）+f（x2）f（x1+x2）0（3）由对数函数f（x）lgxMk，可得任取x1，x2（k，+），f（x1）+f（x2）f（x1+x2）成立，代入整理可得对一切x1，x2（k，+）成立，结合（0，），可求k的范围【详解】（1）取，函数不是集合M0的元素（2）任取，根据指数函数的性质，得，同理，函数是集合的元素（3）对数函数，任取，成立，即成立，对一切成立，对一切成立，.【点睛】本题以新定义为载体主要考查了阅读新知识并转化为解题的工具，指数函数的函数值、对数函数的函数值的综合应用