1、专题二 数 列第一讲 等差数列、等比数列通项与求和解答题专项练 选择填空题专项练 栏目导航 题型专项练 专题限时训练 新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页 从 20172019 年全国卷可主要看出：年份卷别考查内容及考题位置命题分析2019卷 等差数列的通项公式及前n项求和T181.数列是高考的必考内容，在历年的高考试题中占有一定的比重，而且与函数、方程、不等式有着密切的联系，知识综合性较强2最近几年没有把数列作为压轴题，一般是两个问题，第一问基础题，考查基本概念和基本性质；第二问一般是数列求和，难度较低卷等比数列的通项公式及等差数列前n项求和公式T18卷等比数列的通项公式及前
2、n项求和T6等差数列的通项公式及前n项求和T14新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2018卷数列递推公式、等比数列概念、通项公式T173从考查的内容来看，主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、数列求和等基础知识4在数列复习过程中，要以基本概念和基本公式为主，掌握好基础知识点卷 等差数列的通项公式及前n项求和T17卷 等比数列的通项公式及前n项求和T172017卷等比数列的通项公式及前n项和、等差中项的性质T17卷等差、等比数列通项和前n项求和公式T17卷 数列的通项公式、裂项求和T17新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页第一讲 三角函数图象与性质等差数列等
3、比数列性质(1)若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则_；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则_；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)amanapaqamanapaq新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2.前 n 项和公式变形(1)前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列；Snmqnm(m为常数，m0，q0 且 q1)an是等比数列(2)等差数列中 Sn 和 an 的关系：Snna1an2，即 an2Snn a1，等比数
4、列中 Sn 与an 的关系为 Sna1anq1q，即 anqa1(1q)Sn.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(3)在等差数列中，当项数为偶数 2n 时，有 S 偶S 奇nd，S偶S奇an1an；当项数为奇数 2n1 时，有 S 奇S 偶an，S偶S奇n1n.(4)在等比数列中，当项数为偶数 2n 时，S偶S奇q.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3常见的求和裂项公式数列(n 为正整数)裂项方法1nnk(k 为非零常数)1nnk1k1n 1nk14n2114n211212n112n1新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1n n11n n1
5、n1 nloga11n(a0，a1)loga11n loga(n1)logan新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型一 等差、等比数列基本量运算突破公式的结合与变形例 1(本题满分 13 分)已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S392.(1)求an的通项公式；解析(1)设an的公差为 d.则由已知条件得a12d2,3a1322 d92，(2 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页化简得 a12d2，a1d32，(4 分)解得 a11，d12.(6 分)故an的通项公式 an1n12，即 ann12.(7 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返
6、回导航下一页(2)设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn的前 n 项和 Tn.解析(2)由(1)得 b11，b4a1515128.(9 分)设bn的公比为 q.则 q3b4b18，从而 q2.(11 分)故bn的前 n 项和Tnb11qn1q112n122n1.(13 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【知规则规范解答】采点得分说明 必须用 a1 和 d 表示 a3 和 S3，否则扣 2 分无化简过程，直接解出 a1 和 d 不扣分 必须求出 b4，否则扣 2 分新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页 不能直接写出 q2，无计算过程扣 1 分 求
7、Tn 时，无论公式写错，还是代入错或是化简错，该步都为 0 分若只代入不化简扣 1 分新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1(2018蚌埠二模)已知等差数列an满足 a22，a1a45.(1)求数列an的通项公式；解析：(1)等差数列an满足 a22，a1a45，则2a1d，52a13d，解得 a1d1.an1(n1)n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若数列bn满足：b13，b26，bnan为等比数列，求数列bn的前 n 项和Tn.解析：(2)b13，b26，bnan为等比数列，设公比为 q.b1a1312，b2a2624.q2，bnan22n12n
8、，bnn2n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页数列bn的前 n 项和Tn(123n)(2222n)nn12212n12 nn122n12.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个基本的元素(2)解题思路：设基本量 a1 和公差 d(公比 q)若 a1，d(或 q)，n，an，Sn 中任意三个已知，则可求出其余的两个量列、解方程(组)：把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量如等比数列求和时，有时需
9、整体代换，以减少运算量，提高速度，同时注意对 q1 和 q1 的讨论新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型二 数列的裂项相消法求和突破裂项方法与抵消规律例 2(2019岳阳市二模)已知数列an，a13，且 nan1annan.(1)求数列an的通项公式；解析 由 nan1annan，得 nan1(n1)an，所以an1an n1n，由累乘法得 an3n.所以数列an的通项公式为 an3n(nN*)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)记 Sn 为数列an的前 n 项和求数列1Sn 的前 n 项和
10、 Tn.解析(2)由等差数列前 n 项和公式得 Sn3nn12，所以 1Sn23nn1.1Sn23nn1231n 1n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页数列1Sn 的前 n 项和Tn2311212131n 1n1231 1n1 2n3n3.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2018凌源市模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn 满足 Sn32an12a1(nN*)，且a11,2a2，a37 成等差数列(1)求数列an的通项公式；解析：(1)由 Sn32an12a1 得 2Sn3ana1.由2Sn3ana1，2Sn13an1a1n2，作差得 an3an
11、1(n2)，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页数列an是公比为 3 的等比数列又 a11,2a2，a37 成等差数列，4a2a1a36，即 12a1a19a16，解得 a13，an3n.数列an的通项式为 an3n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)令 bn2log9an(nN*)，求数列1bnbn1 的前 n 项和 Tn.解析：(2)bn2log93nn，1bnbn11n 1n1.Tn11212131n 1n1 nn1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1形如canan1(其中 an 是各项均不为 0 的等差数列，
12、c 为常数)，可用裂项法求和2裂项后相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第 1 项和最后一项，也可能前面剩两项和后面剩两项将通项公式裂项后，有时需调整前面的系数，保证裂开两项之差和系数之积与原通项公式相等新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型三 数列的错位相减法求和突破错位相减法的过程例 3 已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；解析(1)设an的公比为 q.由题意知 a1(1q)6，a21qa1q2.又
13、 an0，解得 a12，q2，所以 an2n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和 Sn，已知 S2n1bnbn1，求数列bnan 的前 n 项和 Tn.解析(2)由题意知 S2n12n1b1b2n12(2n1)bn1，又 S2n1bnbn1，bn10，所以 bn2n1.令 cnbnan，则 cn2n12n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页因此 Tnc1c2cn32 522 7232n12n1 2n12n，又12Tn 322 523 7242n12n2n12n1，两式相减得12Tn3212 122 12n1 2n
14、12n132121 12n11122n12n1 522n52n1，所以 Tn52n52n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3(2018长郡中学二次月考)设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 12n1，bn为等差数列，且 a1b1，a2(b2b1)a1.(1)求数列an和bn的通项公式；解析：(1)当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn12 12n1 2 12n2 12n1，经验证当 n1 时，此式也成立，所以 an 12n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页从而 b1a11，b2b1a1a22，又因为bn为等差数列，所以公差 d2，
15、所以 bn1(n1)22n1.故数列an和bn通项公式分别为 an 12n1，bn2n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)设 cnbnan，求数列cn的前 n 项和 Tn.解析：(2)由(1)可知 cn2n112n1(2n1)2n1.所以 Tn120321522(2n1)2n1，2Tn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，由得Tn12(2222n1)(2n1)2n新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页12212n112(2n1)2n12n14(2n1)2n3(2n3)2n.所以数列cn的前 n 项和 Tn3(2n3)2n.新课标高考第二轮总复
16、习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1形如anbn，anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)，可以用错位相减法求和2利用错位相减法求和时，应注意(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应注意两式“错项对齐”，相减的是关于 q 的同次项(2)当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为 1 进行讨论新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型四 证明等差、等比数列突破数列的通项和定义例 4(2018长沙市一中期末)已知数列an是等差数列，且 a11，a25.(1)求数列an的前 n 项和 Sn；解析(1)
17、a11，a25，等差数列an的公差为 4，Snn1nn1242n2n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)在(1)中，设 bn Snnc，求证：当 c12时，数列bn是等差数列解析(2)证明：当 c12时，bn Snnc2n2nn122n，b12，bn1bn2(n1)2n2，bn是以 2 为首项，2 为公差的等差数列新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页4设 Sn 为数列an的前 n 项和，对任意的 nN*，都有 Sn2an，数列bn满足b12a1，bn bn11bn1(n2，nN*)(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；解析：(1)当 n1
18、时，a1S12a1，解得 a11，当 n2 时，anSnSn1an1an，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以 anan112(n2，nN*)所以数列an是首项为 1，公比为12的等比数列故数列an的通项公式为 an12n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)判断数列1bn 是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式解析：(2)因为 a11，所以 b12a12.因为 bn bn11bn1，所以 1bn 1bn11，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页即 1bn 1bn11(n2)所以数列1bn 是首项为12，公差为 1 的等差数列
19、所以 1bn12(n1)12n12.故数列bn的通项公式为 bn22n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】1判定数列an是等差数列的一般方法(1)利用定义，证明 an1and(nN*)为一常数；(2)利用等差中项性质，即证明 2anan1an1(n2)；(3)通项公式法：数列的通项公式 an 是 n 的一次函数；(4)前 n 项和公式法：数列的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数且常数项为 0.提示：证明数列an为等差数列，要用方法(1)或(2)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2判定数列an是等比数列的一般方法：(1)利用定义，证明a
20、n1an q(nN*)为一常数；或 anan1q(n2，nN*)，其中 q 为非零常数，则an为等比数列；(2)利用等比中项性质，即证明 a2nan1an1(n2，an0)；新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(3)通项公式法：若数列通项公式 ancqn1(c，q 是不为 0 的常数，nN*)，则 an为等比数列；(4)前 n 项和公式法，若数列an前 n 项和 Snkqnk(k0，q0,1)，则an为等比数列提示：证明数列an是等比数列，要用方法(1)或(2)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点
21、一 求等差数列的项例 5 已知an是公差为 1 的等差数列，Sn 为an的前 n 项和，若 S84S4，则 a10()A.172B.192C.10 D.12答案 B新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：利用求和公式直接求 a1.由 S84S4 得8a1872 d44a1432 d，d1，a112.a10a19d129192.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页提速方法：利用求和公式推导 a1，a4，a8 的关系求 a1.设首项为 a1，由 S84S4 得8a1a8244a1a42，a8a12a4，a17da12a16d，d2a1，a112.a10a
22、19d129192.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1(2018徐州一模)已知等差数列an满足 a1a3a5a7a910，a28a2236，则 a11 的值为_答案：11新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：设等差数列an的公差为 d.a1a3a5a7a910，5a510，可得 a14d2.a28a2236，6d(a8a2)36，即 2a5d6，d32，a14，a114103211.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点二 求等比数列的项例 6(2018高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，
23、为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为()A.3 2fB.3 22fC.12 25fD.12 27f答案 D新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：利用等比数列的特征，结合已知条件求出通项公式由题意得，十三个单音的频率构成以第一个单音的频率 f 为首项，12 2为公比的等比数列，所以第八个单音的频率为 f(12 2)712 27f，故选 D.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(20
24、18恩施州一模)在正项等比数列an中，a2，a6 是 3x210 x30 的两个根，则 1a2 1a6a24_.答案：133新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：正项等比数列an中，a2，a6 是 3x210 x30 的两个根，a2a6103，a2a61.1a2 1a6a24a2a6a2a6 a2a6103 1133.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点三 等差数列的求和例 7 设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5()A5 B.7 C.9 D.11解析 通性通法：利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式进行整体运算a1a3
25、a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1.S55a1542 d5(a12d)5.故选 A.答案 A新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页提速方法：利用等差数列的性质进行求解a1a52a3，a1a3a53a33，a31.S55a1a525a35.故选 A.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3(2019全国新课标卷)记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 a35，a713，则S10_.答案：100解析：a3a12d5，a7a16d13，得a11，d2.S1010a11092d10110922100.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航
26、下一页考点四 等比数列的求和例 8 已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则 a3a5a7()A21 B.42C63 D.84答案 B新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析 提速方法：利用等比数列的通项公式及 anamqnm 求解设an的公比为 q.由 a13，a1a3a521 得 1q2q47，解得 q22(负值舍去)a3a5a7a1q2a3q2a5q2(a1a3a5)q221242.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页4(2019湖北黄冈模拟)已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a62a3，a4与 2a6 的等差中项为32，则 S
27、5()A36 B.33 C.32 D.31答案：D新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：设an的公比为 q(q0)a1a62a3，而 a1a6a3a4，a3a42a3，a42.又 a42a63，a612，q12，a116.S516112511231.故选 D.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S23，S415，则 S6()A31 B.32 C.63 D.64答案：C新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：方法一 利用等比数列前 n 项和的性质：Sm，S2mSm，S3mS2m 成等比数列在等比数列
28、an中，S2，S4S2，S6S4 也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得 S663.方法二 猜想构造特殊数列直接求 S6.由 S23，可猜想 a11，a22，此时公比 q2，则 a34，a48，完全适合 S4124815，故 S612612 63.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2017全国新课标卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a4a524，S648，则an的公差为()A1 B.2 C.4 D.8答案：C新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：方法一 设公差为 d.a4a5a13da14d2a
29、17d24，S66a1652d6a115d48，联立2a17d24，6a115d48，解得 d4.故选 C.方法二 S6a1a662a3a46248，得 a3a416.而 a4a5(a3a4)2d24，代入解得 d4.故选 C.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm15，Sm11,Sm121，则 m_.答案：5新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：已知得 SmSm1am16，Sm1Smam132，公比为2.又 Sma12am12 11，a11.又 ama1(2)m116，m5.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一
30、页返回导航下一页4(2019 春温洲期末)已知数列an的前 n 项的和 Sn，满足2Snn an1(nN*)，且a23.(1)求数列an的通项公式；解析：(1)根据题意，2Snn an1(nN*)，即 2Snnann，2Sn1(n1)an1n1，两式相减得，nan(n1)an11，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页则有(n1)an1nan21，两式相减得，anan22an1，an是等差数列，当 n1 时，2a1a11，a11，又 a23，公差 d2，an2n1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若数列bn满足 bnan2n，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析：(2)Tn 121 322 5232n12n，12Tn 122 3232n12n1，两式相减得，12Tn122141 12n11122n12n1，Tn32n32n.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页专题限时训练